族正規と写像の拡張
Dowkerの仕事に基づき、バナッハ空間への連続写像の拡張によって族正規性を特徴付け、その応用を紹介します。
2026年 11件
完全写像をpullbackで記述する，圏を知らぬ私が．
位相空間のpullbackを定義し、それを用いて完全写像を特徴付けます。可換図式を用いた記述に沿って議論します。
バナッハ・ストーンの定理: おまけ
コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数空間から元の位相を復元するBanach–Stoneの定理を、双対空間の極点と測度を使って紹介します。
クレイン・ミルマンの定理：関数解析その0
局所凸空間の凸コンパクト集合を極点から捉えるKrein–Milmanの定理を紹介し、Bernstein関数に関する定理への応用を扱います。
不動点定理と同値な命題
ブラウワーの不動点定理と同値な命題を紹介します。閉球体から境界へのレトラクションが存在しないことを、ホモロジーでも説明します。
次元論からの領域不変性定理の証明
位相次元と帰納的次元を定義から整理し、領域不変性定理の証明とユークリッド空間の次元の計算へ進みます。
廉価版領域不変性定理の証明
ユークリッド空間に特殊化した領域不変性定理の証明です。
Limitation topologyとBing's shrinking criterion
パラコンパクト性と関数空間のlimitation topologyを準備し、商空間と元の空間の同相性に関わるBingの縮小判定法を証明します。
正規空間の被覆次元
正規空間の被覆次元の基本性質を紹介し、可分距離空間の帰納的次元との関係と、球面への写像の拡張による特徴付けを扱います。
被覆次元と埋め込み
アフィン独立性などを準備し、被覆次元とユークリッド空間への埋め込み、普遍空間の関係を調べます。
可分距離化可能空間における次元論
可分距離化可能空間における三つの位相次元の一致、ユークリッド空間への埋め込み、次元の計算を、0次元空間への分解を軸に解説します。
2025年 1件
児玉永見のゼロ集合に関する演習問題について
ゼロ集合のゼロ集合が元の空間のゼロ集合とは限らないという話です。
2024年 33件
論文メモ：Symmetric Product
位相空間の有限部分集合からなるsymmetric productについて、BorsukとUlam以来の研究を紹介する論文メモです。
論文メモ：位相的特徴付け
実直線、順序数、シェルピンスキーの三角形、0次元空間などを位相的に特徴付ける研究の論文メモです。
論文メモ：カントール関数
「悪魔の階段」とも呼ばれるカントール関数について、ほとんど至る所での微分と単調性に関する文献を集めたメモです。
論文メモ：群の固有作用
位相群の固有作用について、その定義と関連する研究を紹介する論文メモです。
論文メモ：固有写像
固有写像と完全写像の定義の違い、およびそれらに関する文献を整理した論文メモです。
論文メモ：多項式近似
ワイエルストラスの近似定理をはじめ、多項式近似に関する解説や研究を集めた論文メモです。
論文メモ：Countable Dense Homogeneity
二つの可算稠密部分集合を自己同相写像で移し合う可算稠密等質性について、ユークリッド空間の例と関連文献を紹介します。
論文メモ：Banach--Mazurの反対側
連続関数空間の距離空間に対する普遍性について、Banach–Mazurの定理と、その性質を持たない関数空間に関する文献メモです。
論文メモ：ボレル階層とか
ボレル階層と絶対ボレル性に関する論文メモです。距離空間への埋め込みで保たれる記述的な性質を話題にします。
論文メモ：Bing
Bingの幾何的なトポロジーに関する論文メモです。実数直線との直積がユークリッド空間になる空間などを動機に文献を紹介します。
論文メモ：位相的フォドアの補題
定常集合についてのFodorの補題を出発点に、その位相的な形に関する文献を紹介する論文メモです。
論文メモ：不動点定理，主にCaristiの
完備距離空間上のCaristiの不動点定理を中心に、不動点定理の拡張に関する和文・英文の文献を紹介します。
論文メモ：カントール集合？
カントール集合の形、測度、自己相似性、野生の埋め込みなどに関する論文と問題を紹介するメモです。
論文メモ：simple proof
シャウダーの不動点定理など、既知の定理の簡潔な証明を集めた文献メモです。
論文メモ：可分性と直積
可分空間の直積の可分性を扱うHewitt–Pondiczery–Marczewskiの定理と、関連する研究の論文メモです。
論文メモ：ハール測度
位相群上のハール測度の存在証明を調べるために集めた論文と解説のメモです。
論文メモ：ティーチェ・ウリゾーン?
ティーチェの拡張定理の具体的な構成や同時拡張、連続関数による点の分離に関する論文メモです。
論文メモ：同相写像の構成
集合の配置や性質を変える同相写像の構成に関する論文メモです。古い文献の読解が不確かな箇所も含みます。
論文メモ：同相写像の拡張
部分空間上の同相写像を拡張する問題に関する文献を集めた、読解途中の論文メモです。
論文メモ：大きい帰納次元
大きい帰納的次元の公理的な特徴付けに関する論文を紹介する短いメモです。
論文メモ：エルデシュ的な話：代数？
実数の代数的独立性や和に関する研究を集めた論文メモです。連続体濃度の代数的独立集合の構成にも触れます。
論文メモ：エルデシュ的な話：分割?
カントール集合の分割やラムゼー型の性質など、集合の分割に関する論文を集めたメモです。
論文メモ：エルデシュ的な話：普遍空間？
有限点集合の平行移動を含む性質など、実数の部分集合の普遍性に関する論文メモです。
論文メモ：ガチガチ空間
自己同相写像が恒等写像に限られるrigid spaceについて、直積がヒルベルト空間になる例などを紹介する論文メモです。
論文メモ：n-cardinality
空間の有限直積で正規性や被覆の性質がどこまで保たれるかを指定する、空間の構成に関する論文メモです。
論文メモ：複素関数論基礎論発展編
コーシー・リーマン方程式から正則性を導く条件をはじめ、自然境界、リウビルの定理、リーマンの写像定理などの文献メモです。
二次元以上の球面の基本群
複数ページの図版、定理番号の相互参照、文献参照を含む原稿です。
CW複体のパラコンパクト性
CW複体のパラコンパクト性を解説します。
論文メモ：Noble
任意の冪の正規性からコンパクト性を導くNobleの定理と、直積空間の正規性に関する周辺研究の論文メモです。
論文メモ：連結空間
連結空間に関する古い論文を中心に集めた文献メモです。
論文メモ：アルハンゲルスキー
アルハンゲルスキーの不等式など、位相空間の基数関数の不等式に関する文献メモです。有限等質空間の構造にも触れます。
距離化可能定理part3:花井--森田・ストーンの定理
距離化可能空間の閉写像による像を特徴付ける花井–森田・ストーンの定理を、Bing–長田–Smirnovの定理を基礎に証明します。
ベールの範疇定理
Čech完備性を用い、コンパクトハウスドルフ空間、完備距離空間、局所コンパクトハウスドルフ空間のベール範疇定理を統一的に扱います。
2023年 7件
ボレル同型と確率空間の同型：確率論その4
ボレル空間、確率空間、ボレル集合の同型定理を紹介します。ボレル同型には初等的な方法と一般位相の知識を使う方法を用意しています。
Baire 空間の話
ベール空間の基本性質を、被覆やBanach–Mazurゲームとの関係、および具体例とともに紹介します。
エブリシング・エブリウェア・オール・アット・ワンス・関数
実数上の全射や至る所不連続な関数など、多様な関数の存在と構成を横断的に扱う原稿です。
論文メモ：連結ハウスドルフ可算空間
可算連結ハウスドルフ空間に関する論文メモです。整数上の位相やコホモロジーの話題と、関連する歴史を紹介します。
論文メモ：関数が肩身の狭い思いをする空間
実数値連続関数が定数に限られるような位相空間に関する論文メモです。Hewittの例やJonesの構成などを紹介します。
論文メモ：テイラー級数の収束と円周上の部分集合について
冪級数の円周上での収束に関する論文メモです。一様収束と絶対収束の違いが現れる間隙級数などを取り上げます。
論文メモ：領域不変性定理
領域不変性定理の証明や拡張に関する論文と解説への手掛かりを集めた読書メモです。
2022年 5件
多項式に関する一致の定理
行列式の計算を用い、実係数多項式の零点集合が内点を持つならば多項式は恒等的に零であることを証明します。
次元論ショートコース：0次元から始める位相次元
0次元空間から可分距離化可能空間の位相次元論を組み立て、多様体の埋め込み定理に必要な次元論的補題へ進みます。
ユークリッド空間の可算稠密推移性
ユークリッド空間の任意の二つの可算稠密部分集合を、空間全体の同相写像で移し合えることを、一次元の場合から証明します。
対角化可能な行列は稠密
多項式の共通因子と終結式の関係を説明し、相異なる固有値を持つ行列や対角化可能な行列の稠密性への応用を紹介します。
滑らかな関数の鏡像拡張と，境界付き多様体の座標変換
上半（超）平面で定義された滑らかな関数に対するSeeleyの拡張定理と、境界付き多様体の座標変換への応用を扱います。
2021年 2件
Helly空間とHellyの選出定理
非減少関数に各点収束の位相を入れたHelly空間の基本性質と、Hellyの選出定理を紹介します。
対角的交叉とFodorの補題
基数上のclub集合と対角的交叉の性質を準備し、定常集合についてのFodorの補題を証明します。
2020年 1件
Riesz-Markov-Kakutaniの表現定理II
局所コンパクトハウスドルフ空間上のコンパクト台を持つ連続関数の空間について、双対空間の言葉でRiesz–Markov–Kakutaniの表現定理を述べます。
2019年 1件
可算パラコンパクト空間の特徴付けおよびDowker空間の存在性
可算パラコンパクト空間の特徴付けとDowker空間の存在を扱います。
2018年 3件
アスコリアルツェラの定理
アスコリ・アルツェラの定理と、非コンパクトな定義域の場合を扱います。
ホイットニーの拡張定理（未完成）
閉集合上のWhitney微分可能関数をユークリッド空間全体へ拡張する定理と、その証明を扱う未完成原稿です。
Urysohn universal spaces
約10,600行、88ページ。多数の定理・相互参照と可換図式を含む原稿です。
2017年 5件
多様体の話に出てくる極限集合
多様体の写像の極限集合を定義する際の「集積点」の意味を、点列と集合の違いに注意して説明します。
有理数の順序集合としての特徴づけ
端点を持たない可算な稠密線形順序が有理数の順序と同型になることを、定義から証明します。
不動点定理
閉球体の連続自己写像に不動点が存在するブラウワーの不動点定理を、レトラクションとの関係から扱います。
群作用による商空間のハウスドルフ性
同値関係と商空間を準備し、群作用による商がハウスドルフになる条件を調べます。固有な群作用にも触れます。
極限集合の基本的性質の証明
写像の極限集合を定義し、点列の集積の概念を区別しながら基本的な性質を証明します。多様体の埋め込み定理の準備となる議論です。
2016年 31件
コンパクト性と全有界性と完備性
コンパクト性を全有界性と完備性から調べます。
点列コンパクト性とコンパクト性は無関係
可算コンパクト性を整理し、一般の位相空間では点列コンパクト性とコンパクト性が互いに従わないことを反例で示します。
距離化可能定理part0：破片
正則空間の近傍や開基に関する、距離化可能定理の証明に使う補助的な命題を集めたノートです。
距離化可能定理part1:Alexandroff-Urysohn-Tukey
被覆の星型集合や正規列について準備し、Alexandroff–Urysohn–Tukeyの距離化可能定理を証明します。
距離化可能定理part-1:BNS
擬距離の基本事項から、Bing–長田–Smirnovの距離化可能定理の証明へ進みます。
固有写像と完全写像に関係する反例
コンパクト集合の逆像を保つ固有写像と、閉写像でファイバーがコンパクトな完全写像の違いを反例で調べます。
可算パラコンパクトではないメタコンパクトσコンパクトハウスドルフ空間そんでムーア空間でない展開可能空間
平面の一部分に二点を加えた空間を用い、メタコンパクト性・可算パラコンパクト性・展開可能性に関する反例を構成します。
距離化可能定理part2：近傍
各点の近傍に課す条件から距離化可能性を導く定理を、被覆の正規列による特徴付けを基礎に紹介します。
等高線と連続関数：ウリゾーンの補題とティーチェの拡張定理：正規空間その(-1)(修正あり)
開集合・閉集合の族を等高線として連続関数を構成し、ウリゾーンの補題とティーチェの拡張定理を証明します。
実数の閉部分群
実数の部分集合の集積点と孤立点を調べることから、実数の加法群の閉部分群を扱います。
いわゆる志賀多様体における多様体の埋め込み定理のための次元論的な補題の証明
多様体の埋め込み定理で使う次元論的な補題を証明します。必要な次元論の事実は明示し、一部を前提として用います。
ハウスドルフ空間の中の稠密な局所コンパクト部分集合が開集合であること
局所閉集合の特徴付けを準備し、ハウスドルフ空間の稠密な局所コンパクト部分集合が開集合になることを示します。
一様空間/未完成
フィルターや位相空間の準備から一様空間を導入する未完成ノートです。準備部分の証明は省略しています。
正規空間その0:単位の分割[未完成]
被覆と単位の分割による正規空間の特徴付けを扱う未完成ノートです。正規性にT1公理は含めません。
可算コンパクトとメタコンパクト
可算コンパクトかつメタコンパクトな空間がコンパクトになることを、分離公理を仮定せずに証明します。
完全正則空間とか:未完成
完全正則空間、零集合、Stone–Čechコンパクト化を扱う未完成ノートです。位相的重みとリンデレフ数の関係にも触れます。
コンパクト性と閉射影:Kuratowski－Mrówka's Thoerem
閉射影によるコンパクト性の特徴付け、Kuratowski–Mrówkaの定理を扱い、その一方向に五通りの証明を紹介します。
有理数と無理数の稠密性
床関数から得られる不等式を使い、有理数と無理数がともに実数直線の稠密部分集合になることを証明します。
ストーン・ワイエルストラスの定理の話
多項式近似からStone–Weierstrassの定理への流れを解説し、連続関数環の部分代数や初等的な証明に関する文献を紹介します。
星型領域はユークリッド空間に微分同相
ユークリッド空間内の星型領域と空間全体との微分同相写像を構成します。Good coverの議論に向けたPDF原稿です。
Nobleの定理
任意の基数冪が正規となる空間はコンパクトハウスドルフであるというNobleの定理を、関連する積空間の結果とともに扱う原稿です。
LOTS(線形順序位相空間)の正規性
線形順序から定まる位相を持つ空間（LOTS）の正規性について解説するブログ記事です。
単位閉区間が可算個の非空なる閉集合族の直和で描けないこと
単位閉区間を互いに交わらない可算無限個の非空閉集合に分解できないことを扱います。シェルピンスキーの定理の特別な場合です。
リーマン体積確定集合と太ったカントール集合
リーマン体積確定集合と太ったカントール集合の関係を題材に、体積と集合の性質について考えるブログ記事です。
基本的な0次元距離空間の特徴づけの話
カントール集合や無理数全体など、基本的な0次元距離空間を位相的に特徴付ける定理と文献を紹介します。
カントールの区間縮小法と反例
カントールの区間縮小法を完備距離空間の閉集合列へ一般化し、必要な条件と反例を考えます。
"児玉・永見"の参考文献（未完）
児玉・永見『位相空間論』の内容に対応すると思われる文献を、章ごとに集めた未完のリストです。原著の参考文献についての推測を含みます。
連結ハウスドルフ可算集合
台集合が可算でありながら連結かつハウスドルフとなる空間について、構成や関連研究の文献をまとめます。
点可算被覆と可算コンパクト性
被覆の星型集合を用い、点可算被覆と可算コンパクト性の関係を調べます。分離公理は仮定しません。
線形順序位相空間
線形順序と順序位相を定義し、線形順序位相空間の基本的な性質と部分集合について整理します。
オメガ1の位相的性質。
最小の非可算順序数ω1に順序位相を入れ、その特徴的な位相的性質を具体的な証明とともに紹介します。
2015年 29件
位相空間の事、正規性から正則性が導かれない事。
正規性と正則性の話です。
ウリゾーンの補題の証明。
上半連続・下半連続関数と等高線の考え方を用い、正規空間上で閉集合を分離する連続関数を構成するウリゾーンの補題を証明します。
非可算個の可算離散空間の直積について
可算離散空間の非可算直積が正規でないことを述べるStoneの定理と、その応用を紹介します。
始位相について
与えられた写像族をすべて連続にする最も弱い位相である始位相を定義し、その基本的な性質を紹介します。
ウリゾーンの距離化可能定理
正規空間と連続関数の準備から、ウリゾーンの距離化可能定理の証明へ進みます。
実数直線上の単射連続関数について
実数直線上で定義された単射連続関数の性質を扱う短い原稿です。現在はPDFのみを読めます。
可分距離空間の閉集合全体の濃度
集合までの距離を表す連続関数を用い、可分距離空間の閉集合全体の濃度を調べます。
距離空間の色々
距離空間についての基本的な性質をまとめたノートです。現在はPDFのみを読めます。
閉写像によるコンパクト性の特徴付け
直積からの射影が閉写像になる条件を使い、コンパクト性を特徴付けます。チコノフの定理の証明を削除した修正版PDFです。
コンパクトハウスドルフ空間と正規性と単位の分割など
コンパクトハウスドルフ空間の正規性、局所コンパクトハウスドルフ空間の完全正則性、有限開被覆に従属する単位の分割を扱います。
フィルターとコンパクト性
フィルターと超フィルターを定義し、収束という見方から位相空間のコンパクト性を扱います。
有限次元ベクトル空間のノルムは全部同値
ノルムの定義と基本的な例から、有限次元ベクトル空間上のノルムがすべて同値になることを証明します。
入射角16.225°の測度論入門:-1
測度論の準備として実数に正負の無限大を加え、拡張実数の順序・演算・位相を順に定義します。
バナッハの不動点定理
完備距離空間上の縮小写像についてバナッハの不動点定理を証明し、パラメータを含む場合にも進みます。
リース・マルコフ・角谷の表現定理の証明（入射角16.225°の測度論入門2）
局所コンパクトハウスドルフ空間上の正の線形汎関数を測度で表す、リース・マルコフ・角谷の表現定理を証明します。
陰関数定理
バナッハの不動点定理を使って陰関数定理を証明します。逆関数定理への展開は含めず、現在はPDFのみを読めます。
コンパクト集合の共通部分
二つのコンパクト部分集合の共通部分がコンパクトにならない位相空間を構成します。
閉写像云々とか固有写像とか
閉写像と固有写像の基本的な性質を整理します。正規性にはT1公理を含めない流儀で議論します。
有限濃度の位相空間は連結なら弧状連結
一点の閉包の弧状連結性を手掛かりに、有限位相空間では連結性から弧状連結性が従うことを証明します。
距離空間と位相群のルベーグの被覆補題
距離空間と位相群におけるルベーグの被覆補題の証明を並べ、二つの設定に共通する構造を見ます。
未完成(tube lemma)
Tube lemmaとその応用を目指した未完成ノートです。完成部分では、選択公理を使わずに有限直積のコンパクト性を扱います。
ストーンチェックコンパクト化の構成
完全正則ハウスドルフ空間のStone–Čechコンパクト化を構成します。構成を主題とし、細かい性質の証明は省略しています。
パラコンパクト性など：アドベントカレンダー2015
パラコンパクト性を定義し、コンパクトハウスドルフ空間を用いた特徴付けを紹介します。
遺伝的正規とか完全正規
互いに離れた集合の分離を通じて、遺伝的正規性と完全正規性を扱います。正規性にはT1公理を仮定しません。
正規性の特徴付け
被覆の細分、連続関数の拡張、単位の分割などの観点から、正規空間のさまざまな特徴付けを紹介します。
順序数の位相的重み
開基の最小濃度である位相的重みを、順序位相を入れた順序数について評価します。
パラコンパクト性など２
パラコンパクト性の言い換えからBing–長田–Smirnovの距離化可能定理へ進み、距離空間のパラコンパクト性にも別証明を与えます。
パラコンパクト性など３
閉包保存な集合族とクッション細分を導入し、被覆の細分によるパラコンパクト性の特徴付けを扱います。
未完成（接着、帰納極限、CW複体）
商写像の準備から接着空間、帰納極限、CW複体へ進むための未完成ノートです。