点可算被覆と可算コンパクト性

この文書では位相空間に如何なる分離公理も課さない。

定義 1 (星型集合).

集合$X$とその部分集合族$𝒜$、及び$x\in X$について

$$\text{St}(x,𝒜)=\bigcup \{A|A\in 𝒜,x\in A\}$$

を$𝒜$による$x$を中心とする星型集合という。

定義 2 (完全集積点).

位相空間$X$の部分集合$A$について、$x\in X$が$A$の完全集積点であるとは、$x$の任意の開近傍$U$について

$$\text{card}(A)=\text{card}(U\cap A)$$

となること。

定理 3.

位相空間$X$について以下は同値である。

1. $X$は可算コンパクト

2. $X$の可算部分集合$A$に完全集積点が存在する。

3. $X$の無限部分集合$A$について点$a\in X$が存在して$a$の任意の近傍$N$について

   $$\text{card}(A\cap N)\ge {\mathrm{\aleph }}_0$$

   を充たす。

証明.

$(2)$と$(3)$が同値であることはよくわかる。$(1)$と$(2)$が同値であることを示そう。対偶を証明する。

[$\neg (2)⟹\neg (1)$の証明]

$\neg (2)$より、完全集積点を持たない可算無限集合$A$が存在する。完全集積点を持たないので各点$x\in X$について$x$の近傍$U_x$が存在してとなる。さて$A$の有限部分集合$S$について

$$O_S=\bigcup \{U_x\mid U_x\cap A=S\}$$

と定義しよう。$A$の有限部分集合全体$ℱ$は可算集合であるから、${\{O_S\}}_{S\in ℱ}$は可算な族であり、$X$の開被覆である。しかし構成の仕方からわかるように${\{O_S\}}_{S\in ℱ}$の有限部分被覆$𝒰$の和集合$\bigcup 𝒰$と$A$について$(\bigcup 𝒰)\cap A$は有限集合である。よって$X\ne \bigcup 𝒰$。つまり${\{O_S\}}_{S\in ℱ}$は有限部分被覆を持たない$X$の可算開被覆である。ゆえに$X$は可算コンパクトでない。

[$\neg (2)⟹\neg (1)$終わり]

[$\neg (1)⟹\neg (2)$の証明]

$X$は可算コンパクトでないから有限部分被覆を持たない可算開被覆$𝒰={\{U_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$が存在する。そこで${\{a_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$を

$$a_n\notin \bigcup _{i=0}^n{U}_i$$

でかつ$n\ne m⟹a_n\ne a_m$となるように選ぶ（これはちゃんと実行できる）。そして$A={\{a_n\}}_{n\in \mathbb{N}}$とすると$A$は可算無限集合である。これが完全集積点を持たないことを示そう。任意の$x\in X$について$x\in U_m$となる$𝒰$の元をとると、構成の仕方から$U_m$は高々$m+1$個の$A$の元としか交わらない。よって$x$は任意であったから$A$は完全集積点を持たない$X$の可算部分集合である。

[$\neg (1)⟹\neg (2)$終わり] ∎

定理 4.

可算コンパクト空間$X$の点可算な開被覆$𝒰$は有限部分被覆を持つ。

証明.

$𝒰$を点可算な$X$の開被覆としよう。

$$ℳ=\{M\subset X\mid \forall a\in M\text{St}(a,𝒰)\cap M=\{a\}\}$$

と定義する。このとき$ℳ$は非空でかつ包含関係についてZornian ordered setである。よって極大元が存在する。その一つを$M$としよう。$M$は有限集合である。もしそうでないとしたならば、可算コンパクト性と定理3から$p\in X$が存在し$p$の任意の近傍と$M$との共通部分が無限集合になるが、$p\in U\in 𝒰$となる$U$を取ると、$M$の取り方から$U$は$M$と高々一点でしか交わらないので矛盾する。

さて$M$の極大性から

$$X=\bigcup _{a\in M}\text{St}(a,𝒰)$$

となる。つまり$𝒱=\{V\in 𝒰\mid V\cap M\ne Ø\}$は$X$の被覆である。さらに点可算性から$𝒱$は高々可算であるので$X$の可算コンパクト性から$𝒱$の有限部分被覆が存在するが、$𝒱\subset 𝒰$であるからそれは$𝒰$の有限部分被覆でもある。 ∎

定義 5 (メタリンデレフ).

位相空間$X$の任意の開被覆に点可算な開細分被覆が存在するとき、$X$はメタリンデレフであるという。

系 6.

メタリンデレフかつ可算コンパクトな空間はコンパクトである。

系 7 (Arens-Dugundji).

メタコンパクトかつ可算コンパクトな空間はコンパクトである。

系 8.

${\omega }_1$はメタリンデレフではない。より詳しく、${\omega }_1$の有界開集合からなる開被覆は点可算な細分を持たない。