単位閉区間が非空な可算個の閉集合の直和で書けないこと。

電波通信

HTML変換日：2026年7月26日

この文章では単位閉区間が非空な閉集合からなる可算族の直和で書けないことを証明する。このことは連続体、つまり、連結ハウスドルフ空間に対するシェルピンスキーの定理の特別な場合である。

定理 1.

$I=[0,1]$ は非空な開集合からなる可算族の直和で書けない。

証明.

背理法による。 $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ を非空な閉集合の可算族とし、更に互いに交わらないとして、 $\displaystyle I=\coprod_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ となっているとする。ここで

O=\coprod_{n\in\mathbb{N}}\text{{\rm Int}}(A_{n})

とすると、これは開集合であり、 $\{A_{n}\}$ が互いに交わらないことから

F=I\setminus O=\coprod_{n\in\mathbb{N}}(A_{n}\setminus\text{{\rm Int}}A_{n})=% \coprod_{n\in\mathbb{N}}\text{{\rm Bdry}}(A_{n})

は閉集合になる。ここで、

\forall n\in\mathbb{N}\ \text{{\rm Int}}_{F}(\text{{\rm Bdry}}A_{n})=\O

をこれから示そう。ここで $\text{{\rm Int}}_{F}$ は $F$ における内核を表す。このことを示すには、任意の $a\in\text{{\rm Bdry}}A_{n}$ に対して

\forall\varepsilon>0\ \exists j\in\mathbb{N}\ (j\neq n)\land((a-\varepsilon,a+% \varepsilon)\cap\text{{\rm Bdry}}A_{j}\neq\O)

を示せば良い。 $a$ は $A_{n}$ の境界点で、 $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに素な $I$ の被覆を成しているので、

\forall\varepsilon>0\ \exists j\in\mathbb{N}\ (j\neq n)\land((a-\varepsilon,a+% \varepsilon)\cap A_{j}\neq\O)

が成り立つ。 $y\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap A_{j}$ を取ろう。更に $y<a$ と仮定する¹¹1このように仮定しても一般性を失わないのは以下の証明を見ればわかる。。 $y\in\text{{\rm Bdry}}A_{j}$ ならば、何もすることはない。 $y\not\in\text{{\rm Bdry}}A_{j}$ 、つまり $y\in\text{{\rm Int}}A_{j}$ としよう。このとき

[y,\delta)\subset A_{j}

を充たす $\delta$ 全体の $\sup$ を $\eta$ としよう。つまり

\eta=\sup\{\delta\ |\ [y,\delta)\subset A_{j}\}

としよう。もちろん

[y,\eta)\subset A_{j}

も成り立つ。 $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに素であり、 $y<a$ と仮定しているので

y<\eta<a

でなければならない。そして

a-\varepsilon<y<\eta<a

なので

\eta\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)

である。また、 $\eta$ の最大性から $\eta\in\text{{\rm Bdry}}A_{j}$ なので、結局

(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap\text{{\rm Bdry}}A_{j}\neq\O

である。よって以上から $\displaystyle F=\coprod_{n\in\mathbb{N}}\text{{\rm Bdry}}(A_{n})$ において各 $\text{{\rm Bdry}}A_{n}$ は内点を持たないことがわかった。しかし、これはBaireの範疇定理に反する。²²2 $F$ は完備距離空間の閉集合なので完備距離空間であるから範疇定理が成り立つはずである。 ∎

上の定理から直ちに次のことが分かる。

系 2.

可算な $T_{1}$ 空閑は弧状連結ではない。

これに対して、連結ハウスドルフ可算空間は存在する。