バナッハの不動点定理

この文章ではバナッハの不動点定理を証明する。普通のバナッハの不動点定理のあとに、パラメータ付きのバナッハの不動点定理も証明する。

定義 1.

距離空間$X$のコーシー列がすべて収束するとき距離空間$X$は完備であると言う。

命題 2 (M testもどき).

距離空間$X$内の点列$\{a_n\}$が

を充たすなら$\{a_n\}$はコーシー列であり、特に$X$が完備ならこの点列は収束する。

証明.

$n\le m$として三角不等式を繰り返し用いて

$$d(a_n,a_m)\le d(a_n,a_{n+1})+d(a_{n+1}{a}_{n+2})+\mathrm{\cdots }d(a_{m-1},a_m)=\sum _{k=n}^{m-1}d(a_k,a_{k+1})$$

ここで

なので任意に$\epsilon >0$を与えると適当な$N\in \mathbb{N}$があって

となるので点列$\{a_n\}$はコーシー列である。 ∎

定理 3 (Banachの不動点定理).

$(X,d)$を完備距離空間とし、写像$f:(X,d)\to (X,d)$が

$$\exists q\in [0,1)\forall x,y\in Xd(f(x),f(y))\le qd(x,y)$$

を充たすとする。（これを充たす写像を縮小写像と言う）このとき。$f$には不動点が唯一存在する。

証明.

まずこの写像$f$が連続であることが直ちに分かる。
$X$の点$x_0$を適当に選んで数列$\{x_n\}$を帰納的に

$$x_{n+1}=f(x_n)$$

と定義する。この時$X_{n+1}=f(x_n),x_n=f(x_{n-1})$より

$$d(x_n,x_{n+1})=d(f(x_{n-1}),f(x_n))\le qd(x_{n-1},x_n)$$

が成り立つことから帰納的に

$$d(x_n,x_{n+1})\le q^{n}d(x_0,x_1)$$

がわかる。より

なので補題により$\{x_n\}$はコーシー列で$X$は完備であるからこの数列は収束する。その収束値を$x$とすると$f$の連続性と

$$x_{n+1}=f(x_n)$$

及び

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$$

から

$$f(x)=x$$

がわかる。これで不動点の存在は示された。一意性は$x,y$を$f$の不動点とするともちろん$f(x)=x,f(y)=y$であるから

$$d(x,y)=d(f(x),f(y))\le qd(x,y)$$

でより$d(x,y)\le 0$となり、$x=y$がわかるので$f$の不動点は唯一である。 ∎

定理 4 (パラメータ付きの不動点定理).

$X$を完備距離空間、$T$を位相空間とし写像 $f:X\times T\to X$が連続であるとし、$f(x,t)=f_t(x)$と書くことにする。さらに

$$\exists q\in [0,1)\forall x,y\in X\forall t\in Td(f_t(x),f_t(y))\le qd(x,y)$$

を充たし（$q$が$t$に依存してないことに注意せよ。）

$$\forall x\in X{f}_t(x)\mathrm{が}t\mathrm{に}\mathrm{つ}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{有}\mathrm{界}$$

であるとする。（このとき$x$を固定して$f_t(x)$が$t$について有界で連続になる。）このとき先の命題から存在と唯一性が示される$t$毎の$f_t$の不動点を$h(t)$と書くことにし、写像$h(t):T\to X$とみなしたとき、$h(t)$は連続写像である。

証明.

先とほぼ同様の証明である。一意性などは省き連続性を証明する。 $X$の点$x_0$を適当に選んで数列$\{x_n\}$を帰納的に

$$x_0(t)\equiv x_0,x_{n+1}(t)=f_t(x_n(t))$$

と定義する。また実数$M$を$\forall t\in Td(x_0,x_1(t))\le M$となる$M$とする。このような$M$は$x_1(t)$の有界性から存在する。さてこの時$x_{n+1}(t)=f_t(x_n(t)),x_n=f_t(x_{n-1}(t))$より

$$d(x_n(t),x_{n+1}(t))=d(f_t(x_{n-1}(t)),f_t(x_n(t)))\le qd(x_{n-1}(t),x_n(t))\le d(x_0(t),x_1(t))q^n$$

が成り立つことから帰納的に

$$d(x_n(t),x_{n+1}(t))\le q^{n}d(x_0(t),x_1(t))\le M{q}^n$$

がわかる。より

なので補題より各$t\in T$について

$$d(x_n(t),x_m(t))\le \epsilon$$

よって

$$\underset{t\in T}{sup}d(x_n(t),x_m(t))\le \epsilon$$

つまり$\{x_n(t)\}$を$x_n(t):T\to X$と見なしたときこの関数列は一様距離でコーシー列で$X$は完備であるからこの点列列は収束し。各$n$について$x_n(t)$が連続であることから。その一様極限たる$h(t)$も連続である。これが不動点であることとかは先と同様である。 ∎