ストーンチェックコンパクト化の構成

一色三良(concious77)

HTML変換日：2026年7月26日

この文書では $T_{3.5}$ 空間のストーンチェックコンパクト化を構成する。構成するだけなので細かい性質の証明は省略する。

定義 1 (完全正則空間).

点 $p$ とその点を含まない閉集合 $C$ との任意の組 $(p,C)$ が関数で分離出来る。つまり任意の組 $(p,C)$ に対してある実連続関数 $f:X\to[0,1]$ で

p\in f^{-1}(0),\ C\subset f^{-1}(1)

を充たすものが存在するとき、その空間を完全正則であると言う。また、完全正則でかつ $T_{1}$ であるような空間を $T_{3\frac{1}{2}}$ 空間もしくは $T_{3.5}$ 空間と呼ぶ。

上と同じ記号を用いると、 $p\in f^{-1}(\mathopen{[}0,\frac{1}{2}\mathclose{)})$ , $f^{-1}(\mathopen{[}0,\frac{1}{2}\mathclose{)})\cap C=\O$ で $f^{-1}(\mathopen{[}0,\frac{1}{2}\mathclose{)})$ は $X$ の開集合なので完全正則空間は正則空間である。よって $T_{3.5}$ 空間は $T_{3}$ 空間である。

命題 2.

$\mathcal{C}$ を完全正則空間 $(X,\mathfrak{O})$ から単位閉区間 $[0,1]$ への連続関数全体とする。このとき、完全正則空間の位相は $\mathcal{C}$ から定まる始位相 $(X,\mathfrak{I}(\mathcal{C}))$ ¹¹1この文書では関数族 $\mathcal{A}$ から誘導される始位相を $\mathfrak{I}(\mathfrak{A})$ と書くことにする。と一致する。²²2実はこの命題の逆も成立するがすこし面倒なので証明はしない。[2]参照のこと

証明.

$\mathcal{C}$ の元は $(X,\mathfrak{O})$ の連続関数なので明らかに

\mathfrak{I}(\mathcal{C})\subset\mathfrak{O}

が成立する。逆向きの包含関係を示そう。 $U\in\mathfrak{O}$ で $x\in U$ とすると、 $X\setminus U$ は $(X,\mathfrak{O})$ の閉集合で $p$ を含まないので $X$ の完全正則性から連続関数 $f:X\to[0,1]$ で

p\in f^{-1}(0),\ X\setminus U\subset f^{-1}(1)

となるものが存在する。 $\mathcal{C}$ の定義から明らかに $f\in\mathcal{C}$ で

p\in f^{-1}(\mathopen{[}0,\frac{1}{2}\mathclose{)})\subset U

なので $f^{-1}(\mathopen{[}0,\frac{1}{2}\mathclose{)})\in\mathfrak{I}(\mathcal{C})$ から

\mathfrak{O}\subset\mathfrak{I}(\mathcal{C})

∎

次の始位相に関する埋め込み定理を思い出そう。

事実 3 (始位相の埋め込み定理).

位相空間 $(X,\mathfrak{O})$ には $\mathcal{F}=\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ から定まる始位相が入っているとしこの関数族の終域を $\{(Y_{\lambda},\mathfrak{O}_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ とするこのとき関数

\phi:X\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_{\lambda\in\Lambda}\ ;x\mapsto(f_{% \lambda}(x))_{\lambda\in\Lambda}

について $\mathfrak{I}(\mathcal{F})=\mathfrak{I}(\phi)$ が成立する。また $\phi$ が単射ならばこれは埋め込みになっているつまり $(X,\mathfrak{O})$ は $\prod_{\lambda\in\Lambda}Y_{\lambda\in\Lambda}$ の部分空間 $\phi(X)$ と同相となる。

証明は電波通信の記事にあると思う。

この埋め込み定理と先の命題から次のことが直ちに従う。記号は上のものと同じとする。

定理 4.

$T_{3.5}$ 空間 $X$ は

\phi:X\to\prod_{f\in\mathcal{C}}[0,1];x\mapsto(f(x))_{f\in\mathcal{C}}

によって $\displaystyle\prod_{f\in\mathcal{C}}[0,1]=[0,1]^{\mathcal{C}}=I^{\mathcal{C}}$ に埋め込める。

定義 5.

$T_{3.5}$ 空間 $X$ のストーンチェックコンパクト化 $\beta X$ を

\beta X=CL_{I^{\mathcal{C}}}(\phi(X))

と定義する。

1 継ぎ足し

定義 6 (ゼロ集合、コゼロ集合).

位相空間 $X$ とその上の連続関数 $f:X\to\mathbb{R}$ について $f$ のゼロ集合 $Z(f)$ を

Z(f)=f^{-1}(0)

と定義し、コゼロ集合 $C(f)$ を

C(f)=X\setminus Z(f)=\{x\in X\ |\ f(x)\neq 0\}

と定義する。明らかに $Z(f)$ は $X$ の閉集合で $C(f)$ は $X$ の開集合である。また明らかにゼロ集合の補集合はコゼロ集合で、コゼロ集合の補集合はゼロ集合である。

命題 7.

$X, Y$ を位相空間、 $f:X\to Y$ を連続写像、 $A\subset Y$ を $Y$ のゼロ集合とする。このとき、 $f^{-1}(U)$ は $X$ のゼロ集合である。

証明.

$g:Y\to\mathbb{R}$ を $Z(g)=A$ となる連続関数とする。すると

Z(g\circ f)=(g\circ f)^{-1}(0)=f^{-1}(g^{-1}(0))=f^{-1}(A)

なので定理は明らかである。 ∎

双対的に次の命題が成り立つ。

命題 8.

$X, Y$ を位相空間、 $f:X\to Y$ を連続写像、 $U\subset Y$ を $Y$ のコゼロ集合とする。このとき、 $f^{-1}(U)$ は $X$ のコゼロ集合である。

この命題と $\mathbb{R}$ の開集合はすべてコゼロ集合であることから次の系が得られる。

系 9.

位相空間 $X$ と連続関数 $f:X\to\mathbb{R}$ に及び $\mathbb{R}$ の開集合 $U$ について $f^{-1}(U)$ はコゼロ集合である。

命題 10.

位相位相 $X$ のゼロ集合 $A$ について、ある連続関数 $g:X\to[0,1]$ が存在して

A=Z(g)

が成り立つ。

命題 11.

位相位相 $X$ のコゼロ集合 $U$ について、ある連続関数 $g:X\to[0,1]$ が存在して

U=C(g)

が成り立つ。

命題 12.

位相空間 $X$ 上の２つの連続関数 $f,g:X\to[0,+\infty)$ について

Z(f)\cap Z(g)=Z(\max(f,g)),\ Z(f)\cup Z(g)=Z(\min(f,g))

が成り立つ。双対的に

C(f)\cup C(g)=C(\max(f,g)),\ C(f)\cap C(g)=C(\min(f,g))

が成り立つ。

証明.

明らか ∎

系 13.

ゼロ集合全体の族は有限個の共通部分及び、有限個の和集合で閉じている。

双対的にコゼロ集合全体の族も有限個の共通部分及び、有限個の和集合で閉じている

系 14.

$\mathfrak{I}(\mathcal{C})=\mathfrak{O}$ となる位相空間 $(X,\mathfrak{O})$ は完全正則空間

References

[1] 森田紀一,位相空間論,岩波全書331,岩波書店1981
[2] M.G.Murdeshwar,general topology,Wiley Eastern Limited,1983