「本書の主張の要約」は，文献を探すために趣旨と主要な条件を短く説明したものである．詳しい仮定と定式化は原著の該当頁を参照できる．351件には，定義・問題文の照合や限定された主張の対応も含む．「照合した範囲」と「留保」で各項目の射程を確認できる．独立した証明監査や，著者の実際の使用文献の確定を表すものではない．
原本10頁・§3
主張 3.3(3)
later-formulation
Campbell, Paul J.，The origin of “Zorn’s Lemma”（1978）
本書の主張の要約
鎖ごとの上界の存在から，極大元の存在を導く原理（Zornの補題）．
原文献の対応箇所
§2 maximal principle M1・原文献81頁
鎖ごとの上界の存在から，極大元の存在を導く原理（Zornの補題）．
比較の付記
本書3.2の帰納的順序集合は空でない順序集合で全ての非空鎖が上界を持つもの。原文M1は非空集合上の推移的関係について同じ上界条件から極大元を結論する。半順序はその特殊例。1935年の包含・和によるM3と、通常Zornの補題と呼ばれるM1の違いを原文自身が明記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書の極大原理の主張と後年の文献中の定式化との対応。
留保
1935年原文を直接取得した照合ではない。初出や命名の優先権、独立証明監査は含めない。
原文の確認に関する付記
Campbell1978の77–89頁全頁と本書10頁を閲読。M1は81頁、有限性の定義とM7は86–87頁。
原本10頁・§3
主張 3.3(4)
later-formulation
Campbell, Paul J.，The origin of “Zorn’s Lemma”（1978）
本書の主張の要約
有限性を備えた集合族で，包含関係に関する極大元を得る原理．
原文献の対応箇所
Note 2, M7; finite character definition p.86・原文献87頁
有限性を備えた集合族で，包含関係に関する極大元を得る原理．
比較の付記
原文86頁は部分集合の性質が有限性を持つ条件を全有限部分集合で判定する形で定義し、87頁M7はその性質を持つ包含極大部分集合の存在を述べる。本書3.2の有限性の集合族の定義と3.3(4)の主張に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書の極大原理の主張と後年の文献中の定式化との対応。
留保
1935年原文を直接取得した照合ではない。初出や命名の優先権、独立証明監査は含めない。
原文の確認に関する付記
Campbell1978の77–89頁全頁と本書10頁を閲読。M1は81頁、有限性の定義とM7は86–87頁。
原本13頁・§4
叙述 4.1（Fréchetの抽象的極限の公理化の部分）
earlier-primary-source-for-partial-historical-exposition
Fréchet, Maurice，Généralisation d’un théorème de Weierstrass（1904）
本書の主張の要約
Euclid空間の具体例を越えて，極限を公理で捉えるFréchetの考え方を紹介する．
原文献の対応箇所
II, printed849; III, printed849; ending850・原文献848–850頁
任意の要素のカテゴリーCについて極限概念を与え、部分列と定数列について二条件を課す。閉集合・連続性・コンパクトを定義し、閉かつコンパクトな集合上の最大値定理を述べる。
比較の付記
本書4.1のFréchetが20世紀初頭にEuclid空間を離れて極限を公理的に扱ったという内容は、1906年論文に先立つ1904年短報のIIにも明記される。抽象的極限の二条件という限定された対応。Cantorの初導入・Fréchetの絶対的優先権・現代の一般位相空間との同一性は認定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
4.1のFréchetによる抽象的点列極限の公理化という内容に限定。
留保
歴史的最初・4.1全体・現代の一般位相空間との同一性・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
1904年短報の848–850頁の論文部分を原文で全体確認。本書13頁は既確認本文。
原本13頁・§4
叙述 4.1（Fréchetの抽象的極限の公理化の部分）
partial-historical-exposition-with-explicit-axioms
Fréchet, Maurice，Sur quelques points du calcul fonctionnel（1906）
本書の主張の要約
Euclid空間の具体例を越えて，極限を公理で捉えるFréchetの考え方を紹介する．
原文献の対応箇所
§7 pp5–6, conditions I and II・原文献5–6頁
任意の性質の要素からなるクラス(L)で、一意の点列極限を与え、その極限概念に定数列の収束と部分列による極限保存という条件I,IIを課す。
比較の付記
Fréchet1906の5–6頁§7は、要素の性質を指定せず極限を抽象化し、定数列と部分列について二条件を課す。これが本書4.1の20世紀初頭にEuclid空間を離れて極限を公理的に扱ったという人物・内容の部分に対応する。原文は極限の一意性も前提とする。このクラス(L)を現代の任意の位相空間のすべての収束を記述する公理系や、直後のKuratowski閉包四公理と同一視しない。Cantor1874の初導入、Fréchetの絶対的最初、4.1段落全体は未照合。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
4.1のFréchetによる抽象的点列極限の公理化という内容に限定。
留保
歴史的最初・4.1全体・現代の一般位相空間との同一性・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
1906原論文5・6頁を原文確認。本書13頁は既確認本文。
原本13頁・§4
定義 4.2
閉包作用素の四公理の定義対応
Kuratowski, Casimir，Sur l'opération Ā de l'Analysis Situs（1922）
本書の主張の要約
包含・有限和・冪等性・空集合に関する条件で，閉包演算を捉える．
原文献の対応箇所
p182 axiomsI–IV and following axiomatic formulation・原文献182頁
任意の集合1上の部分集合に作用するĀを四公理I–IV（有限和保存、包含性、空集合保存、冪等性）で公理的に扱う。
比較の付記
原論文I,II,III,IVは本書4.2(2),(1),(4),(3)に順序を入れ替えて対応する。原論文の+は集合和、1は全体集合、0は空集合。本書の任意集合Xへの定式化は182頁の「ensemble arbitraire1」とその任意部分集合への関数の指定に対応し、冒頭のEuclid空間に限定されない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書13頁と原論文182–183頁の原文閲読。
留保
位相空間という命名の歴史的初出、導入4.1全体の歴史的正確性、原論文の他の定理は照合に含めない。
原文の確認に関する付記
原論文の演算記号を集合和・閉包に読み替え、四条件を個別に比較。
原本13頁・§4
叙述 prose-13-3（Cantorの極限概念のみ）
歴史説明中の具体的概念に限る原文対応
Cantor, Georg，Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen（1872）
本書の主張の要約
Euclid空間内の点集合と極限を結び付けたCantorの研究に触れる．
原文献の対応箇所
§2, Punktmenge, Grenzpunkt and first derived set definitions・原文献129頁
直線の点集合とその各近傍に無限個の集合の点が入る極限点、およびその極限点全体P primeを定義する。点集合の定義は128頁。
比較の付記
直線はEuclid空間の一次元例なので、本書のCantorによる点集合の極限概念考察という部分を具体的に裏付ける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Cantorの点集合・極限点・導集合の具体的定義。
留保
1874年集合概念初導入、Fréchetの最初の公理化、段落全体の歴史的優先権を認定しない。
原文の確認に関する付記
原誌128–129頁PDF7–8とTCD再組版6頁、本書13頁を確認。
原本18頁・§5
lemma 5.3
full-statement-through-explicit-finite-sum-and-limit-reduction
Schwarz, H. A.，Ueber ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung（1890）
本書の主張の要約
平方可総和な実数列の内積を，各列の平方和で評価するCauchy–Schwarz不等式．
原文献の対応箇所
§15, equation (21), p251; title p223・原文献251頁
実関数φ,χの二重積分A=∬φ²,B=∬φχ,C=∬χ²について、積分収束・比が定数でない条件下でAC−B²>0、|B|<√A√C。
比較の付記
原典251頁§15はA=∬φ²、B=∬φχ、C=∬χ²に対し、実関数の比が定数でない条件下でAC−B²>0（式21）を述べる。本書の非厳密不等式への補足：同頁の非負二次形式の議論を有限和Q(t)=Σ(ta_i−b_i)²に適用すると、A=Σa_i²>0なら最小値C−B²/A≥0よりB²≤AC。A=0なら全a_i=0で自明。絶対値列にも適用し、任意のm≤nでΣ[m,n]|a_i b_i|≤(Σ[m,n]a_i²)^(1/2)(Σ[m,n]b_i²)^(1/2)。平方和の収束より右辺の尾部は0へ向かい、積の級数は絶対収束する。有限初項の不等式でn→∞として本書の全主張を得る。有限和・退化場合・絶対収束・極限移行はここで明記した補足で、原典の掲載定理そのものとは区別する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書18–19頁と原典251頁の原文照合、および数列版への明記した補足。
留保
1890年論文集所収原文の積分版と本書数列版の対応を上記補足で確認。原典に平方可算列版がそのまま記載されているとは主張しない。初出年・優先権・本書著者の実使用文献・独立証明監査は未確認。目録のmissingpages=viiiを保存し、確認した本文223・251–253・269頁の本文は存在する。
原文の確認に関する付記
巻PDF9（標題紙）、241（印刷223）、269–271（251–253）、287（269）を閲読。章抜粋PDF29は印刷251頁。全文閲読とはしない。
原本24頁・§7
主張 7.11
later-general-metric-formulation
Frolík, Zdeněk，Baire spaces and some generalizations of complete metric spaces（1961）
本書の主張の要約
空でない完備距離空間が，自身の中で第1類にならないことを述べる．
原文献の対応箇所
Introduction; §1 Definition 1.1・原文献237頁
すべての完備距離空間はBaire空間である。Baire空間の空でない開部分集合は非meagerである。
比較の付記
原論文237頁は完備距離空間のBaire性を明記する。同頁の定義において空でない完備距離空間Xの開部分集合をX自身とすれば、Xは自身において非meager、すなわち第2類となり、本書7.11に対応する。原論文は第1類とmeager、第2類とnon-meagerが同義であるとも明記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書7.11の一般の空でない完備距離空間に対する主張の対応。
留保
後年の定式化。Baire1899の一般性、一般距離空間版の歴史的初出、本書著者が参照した資料、および独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
原論文237頁（PDF2）と本書24頁を閲読。
原本32頁・§9
定理 9.9
定理の主張対応
Urysohn, Paul，Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen（1925）
本書の主張の要約
正規性を，互いに交わらない閉集合を連続実関数で分けられる性質として捉える．
原文献の対応箇所
Anhang III, §25 Satz; 最終頁の逆向きの注意・原文献290–291, 295頁
正規空間の互いに素な閉集合A,Bを0と1に分離する[0,1]値連続関数が存在する。295頁でこの性質と正規性の同値性を明記する。
比較の付記
§25の順向きに加え295頁の逆向きを合わせると、本書9.9の同値性に対応する。値域[0,1]、閉集合の非交差、指定値0と1が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書32頁と原論文290・291・295頁の原文で主張と逆向きの注意を照合。
原文の確認に関する付記
§25の定理は290頁から291頁に続く。295頁は0≤f≤1の追加条件を除いた弱い性質でも正規性を導くと明記する。証明全体および原論文全体の分離公理の独立監査は実施していない。
原本33頁・§9
定理の距離空間・有界入力の場合のみ 9.11
距離空間・有界入力に限った拡張部分
Tietze, Heinrich，Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind（1915）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Tietzeの拡張定理
閉部分集合上の有界連続実関数を，距離空間全体へ延長できることを扱う．
原文献の対応箇所
Satz3; Klasse E definition p.12・原文献14頁
Fréchet Klasse Eの閉集合上の有界連続関数はE全体に定義された連続関数へ拡張できる。
比較の付記
原論文p.12のFréchet Klasse Eは、対称性・正値性・三角不等式を満たす距離で定義される。p.14 Satz3はその閉集合上の有界連続実関数が全体に連続拡張できると述べる。本書9.11(3)の距離空間かつ有界入力の場合に対応する。Satz3の定理文は拡張の有界性を明記しないため9.11(2)全体との一致を認定しない。一般の正規空間、非有界入力、正規性の必要性の対応も未認定。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で定義と限定された主張の対応を確認
原文の確認に関する付記
原論文pp.9,10,12,13,14と本書p.33を原文で確認。Klasse Eを任意の正規空間と同一視しない。
原本40頁・§10
本文 §10本文（Hahn–Mazurkiewiczの特徴付け）
特徴付けと著者自身による帰属の対応
Hahn, Hans，Über stetige Streckenbilder（1930）
本書の主張の要約
連結性と局所連結性が，コンパクト距離空間を区間の連続像にする条件になる．
原文献の対応箇所
冒頭の特徴付け・歴史帰属、I–IIIとCantor集合からの延長・原文献217–219頁
閉区間の連続像の必要十分条件はin sich kompakt, zusammenhängend, lokal zusammenhängend。Hahn自身とMazurkiewiczに帰属させ、関連1913・1914・1920文献を引用。
比較の付記
距離化可能空間に適合する距離を選ぶ。距離空間では、Hahnのin sich kompakt（任意の無限部分集合が空間内に集積点を持つ）は通常のコンパクト性と一致する。Hahnの局所連結の条件は、任意の近傍Uに対し点aとその小近傍内の各点をU内の連結集合で結ぶ条件であり、U内のaの成分が近傍になる条件を表す。本書の任意に小さい連結近傍という定義と一致する。217頁が必要十分性を明記し、218–219頁が距離と直径を使い閉区間からの全射構成を説明。有限次元Rnの埋込みはこの対応に仮定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書40頁と発表原稿217–220頁、会議録印刷表示を原文確認。
留保
非空空間に対する通常の曲線特徴付けとして照合。一点空間は定数写像で対応。空集合まで含めると本書の文言にも非空性の補足が必要なので、空集合への適用は主張しない。1913年の最初の発表内容・世界的優先権の独立検証と証明監査は含めない。
原文の確認に関する付記
Hahnの原稿4頁は閲読。会議録全巻は未読。PDFは抽出4頁を使用し、元PDFも保存。
原本42頁・§10
本文 Jordan曲線定理（補集合の二つの開領域への分解のみ）
境界等式を除いた部分対応
Veblen, Oswald，Theory on plane curves in non-metrical analysis situs（1905）
本書の主張の要約
平面の単純閉曲線による二つの開領域への分割を扱う．境界に関する部分は照合範囲から除く．
原文献の対応箇所
§8 Theorem11; §2 Definition2; §3 Definition4; §4 numerical parameter comparison・原文献85–86,89,97–98頁
任意の単純閉曲線はその平面を二つの開領域に分解する。regionは折れ線で結べる点集合を表す。
比較の付記
通常のユークリッド平面で読む。Veblenは89頁で曲線の順序による定義と連続な数値パラメータによる定義を同一視し、97頁Theorem11と98頁末で二つの開領域への分解を結論する。85頁Definition2の領域は折れ線連結なので本書の開集合として使用できる。曲線全体が両領域の境界であるという本書の追加等式は、定理11の文言だけから確認済みとしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書42頁と原論文83,85–86,88–89,91,93–94,97–98頁の原文確認。
留保
二つの開領域への分解のみ。両領域の境界等式、Jordanの引用原本、証明の独立監査と優先権判定は未確認。
原文の確認に関する付記
確認した頁は別途記録。全頁閲読ではない。
原本42頁・§10
本文 §10本文（Jordan曲線定理）
定理の全条件の対応
Brouwer, Luitzen Egbertus Jan，Beweis des Jordanschen Kurvensatzes（1910）
本書の主張の要約
平面の単純閉曲線が二つの開領域を分け，両領域の共通の境界になるというJordanの定理．
原文献の対応箇所
冒頭の定理記述; §1 Gebiet/境界定義; Satz1–3・原文献169–170,174–175頁
円の一対一連続像は平面を二領域に分け、各領域の境界全体は曲線全体と一致する。Satz1は境界一致、Satz2・3は高々二・少なくとも二領域を述べる。
比較の付記
本書のJ≅S1の同相写像はBrouwerの円の一対一連続像を与える。逆に円のコンパクト性と平面のHausdorff性から一対一連続像は円と同相。169頁が二領域と各境界の一致を明示する。169–170頁のGebietの定義は各点の周囲に内部も含まれる円を持ち、任意の二点を領域内の折れ線で結べる条件なので開集合である。170頁は閉集合の補集合をその定める領域に分解すると記し、174–175頁Satz1–3が境界等式と領域数を補う。この二領域をU,Vとすれば本書の全等式に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書42頁と原論文169–170,174–175頁を原文確認。出版社書誌で1910年を確認。
留保
主張と定義の対応のみ。Jordan1893原著の証明内容、最初の完全な証明の優先権、本書著者の使用原典、独立した証明監査は含めない。
原文の確認に関する付記
PDF全7頁中4頁を閲読。全文・証明全体は未読。
原本50頁・§11
定理 11.3
主張の対応（先行定義と改称を照合）
Alexander, J. W.，Ordered Sets, Complexes and the Problem of Compactification（1939）
本書の主張の要約
コンパクト性は，任意個の空間の直積を作っても保たれる．
原文献の対応箇所
Theorem 2, bracketed compact version, p.297; footnote2 p.298・原文献297頁
任意のcompact空間族の積はcompactである（Theorem2の角括弧内の主張）。
比較の付記
先行Concept論文52–53頁ではbounded空間のCB-setは全閉集合と一致し、bikompactは閉集合族の有限交叉性から共通点が存在する条件。Compactification論文298頁脚注2でbikompactをcompactと改称する。このcompact版は本書の開被覆によるコンパクト性と同じ。296頁末の任意積の定義とTheorem2を対応させる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文296–298頁と先行Concept論文52–53頁を原文閲読。本書50頁は前回原文照合済み。
原文の確認に関する付記
boundedly compact版は独自のCB集合系に関する拡張で本書のcompactと同一視しない。脚注3はTychonoff1930を参照するが、歴史的初出を断定する証拠とは扱わない。積定理証明の独立検証は未実施。 保存PDFはNLM公開3頁PNGからこの作業で組み立てた参照用PDFであり、出版社配布PDFではない。
原本50頁・§11
定理 11.3
既知定理として引用された主張の対応
Kelley, J. L.，The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice（1950）
本書の主張の要約
コンパクト性は，任意個の空間の直積を作っても保たれる．
原文献の対応箇所
Introduction, formulation of Tychonoff theorem; §1 Definitions・原文献75頁
コンパクト位相空間のCartesian productはコンパクトであるというTychonoffの定理を明記する。コンパクト性は開被覆の有限部分被覆、積位相は座標開集合の逆像が生成する位相として定義する。
比較の付記
任意の因子族と積位相、開被覆によるコンパクト性が一致する。原論文の一般的な位相空間の定義ではHausdorffを要求しない。論文が選択公理の導出にこの積定理を使用することと、本書11.3の積定理の証明とは別である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書50頁と原論文75–76頁を原文で閲読。75頁の定理の定式化と定義に限る。
留保
積定理そのものの証明との照合ではなく、最初の公刊源の特定でもない。
原文の確認に関する付記
§2は積定理から選択公理を導く。脚注1のTychonoff1935への引用は保持するが、1935論文で一般形が直接明記されることを今回の一致から推論しない。
原本51頁・§11
定理 11.4
主張および構成の対応
Kelley, J. L.，The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice（1950）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Kelley
コンパクト空間の積に関する定理から，選択公理を導けることを示す．
原文献の対応箇所
§2 Proof of the theorem・原文献76頁
Tychonoffの積定理から、非空集合の任意の族の積が非空であるという選択公理を導く。
比較の付記
75頁導入でTychonoff積定理から選択公理を導く目的を述べ、76頁§2で各非空集合に一点を付加してコンパクト化し、積の閉集合族の有限交差性を用いる。本書51頁11.4の定理文と一点付加による構成が対応する。原論文は分離公理を仮定しないコンパクト位相空間の積定理を用いる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書51頁と原論文75–76頁を原文で照合
原文の確認に関する付記
原論文75–76頁と本書51頁を表示確認。隣接するHenkin・Novák論文は照合対象外。
原本53頁・§11
例 11.9
同一の例の主張比較と明示的な標準帰結
Michael, Ernest A.，Paracompactness and the Lindelöf property in finite and countable cartesian products（1971）
本書の主張の要約
下限位相の実直線は可分・第1可算で継承的正規だが，二乗すると正規性を失う．
原文献の対応箇所
Example3.4 definition,(a),(b)・原文献204頁
同じ半開区間ベースのSはregular,first countable,hereditarily separable,hereditarily Lindelöfで、S×Sは非正規。
比較の付記
本書53頁とMichael204頁は同じ実数集合と[a,b)ベースを定義する。Example3.4(a)の第1可算性は一致し、継承的可分性は可分性を含む。Hausdorff性は異なる実数x<yについて互いに素な[a,b)近傍を選べることから確認できる。継承的正規性は原論文の逐語記載ではなく、(a)のregularかつhereditarily Lindelöfからの帰結として照合する：任意の部分空間Aは正則（正則性の継承）かつLindelöfであり、本書37頁命題9.21により正規となる。(b)は本書11.9(2)に一致する。この例には(CH)等の追加仮定がない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書37・53–54頁とMichael199・204・214頁の原文確認。継承的正規性とHausdorff性への短い条件変換を明記。
留保
本書の証明とMichael論文の証明の同一性、1947年原典の本文対応・初出は未確認。継承的正規性はMichael204頁にその語で書かれているとは扱わない。
原文の確認に関する付記
1971年の別論文による定義と性質の再記述。1947年原典への引用[16]も確認。
原本54頁・§11
例 11.10
反例の空間と非正規性の対応
Tychonoff, A.，Über die topologische Erweiterung von Räumen（1930）
本書の主張の要約
二つの順序区間の積から角の一点を取り除いた板が，非正規空間の例になる．
原文献の対応箇所
§4, first example S and S-prime, p.553・原文献553頁
1≤α≤ω1、1≤β≤ωの順序数対の空間Sから(ω1,ω)を除くS-primeは完全正則だが非正規。端の二つの閉集合を互いに素な領域で分離できない。
比較の付記
原論文の(α,β)は本書と座標順序が逆。可算座標[1,ω]と[0,ω]は有限点を一つずつずらす順序同型で対応する。非可算側[1,ω1]と[0,ω1]も有限点をずらしω以上を固定する順序同型で対応する。端点削除と端の閉集合の分離不能性はこの同相で一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書54頁と原論文553頁の原文で構成・非正規性の記述を照合。
原文の確認に関する付記
原論文はさらに完全正則で非正規な例として使用。本書はコンパクト正規空間の非正規部分空間という帰結を記す。原論文にTychonoffの板という命名はなく、命名の初出・著者が利用した原典は認定しない。
原本54頁・§12
主張 12.1
book-normality-bridge-and-coordinate-reformulation
Urysohn, Paul，Zum Metrisationsproblem（1925）
本書の主張の要約
正則空間の第二可算性を，可算個の区間の積への埋め込みで特徴付ける．
原文献の対応箇所
Hauptsatz p.310; §3 formulas (1)–(3) pp.312–313, combined with book Proposition 9.21・原文献310,312–313頁
正規・第二可算空間を可算連続関数族の加重和距離により距離化する。
比較の付記
本書54頁は完全可分（第二可算）な正則空間がLindelöfであり、命題9.21によって正規になると明記する。この橋渡し後には原論文310頁Hauptsatzの正規・第二可算という仮定を満たす。原論文312頁の可算連続関数族fnによる距離ρ=Σ2^(-n)|fn(x)−fn(y)|は、本書55頁の座標写像F=(fn):X→I^ωの像上の通常の加重和距離である。原論文313頁はこの距離が元の位相を定めることを示し、本書は同じ関数族で埋め込みを構成する。逆方向はI^ωの部分空間が第二可算・正則であるという本書54頁の議論に対応する。したがって本書自身の正規化と積距離の読み替えを明示した対応として記録する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書自身の正規化と座標写像への読み替えを伴う定理文の対応。
留保
原論文315頁は正則・第二可算の距離化を問題として残す。原論文が本書12.1と同じ定理を逐語的に述べたという認定ではなく、正則への拡張の歴史的初出を認定しない。独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文310・312・313・315頁、本書54・55頁を閲読。原論文の距離構成と本書の埋め込み構成の差を明記。
原本55頁・§12
証明中の構成 12.1（証明）
証明中の関数族の構成の対応
Urysohn, Paul，Zum Metrisationsproblem（1925）
本書の主張の要約
可算ベースの組を連続関数で分離し，それらを座標にして埋め込みを作る．
原文献の対応箇所
§3, formulas (1)–(3), countable separating functions・原文献312–313頁
可算近傍系の組cl(U_i)⊂U_kを列挙し、U_iで0、E−U_kで1、値域[0,1]の連続関数f_nをとり、ρ(x,y)=Σ2^(−n)|f_n(x)−f_n(y)|で距離を構成する。
比較の付記
ベースの閉包が別のベース元に入る組を列挙する方法と0・1の指定が一致する。原論文はその関数族から距離を定義し、本書は積空間への座標写像を定義する。原論文でU_i上0となる連続関数はcl(U_i)上も0となる。本書の埋め込みの議論全体や正則仮定への変更を原論文の定理の逐語的一致とは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文312–313頁、本書55頁を原文で照合。
留保
12.1の証明の可算連続関数族構成のみ。原論文310頁のHauptsatzは正規・第二可算を仮定し、315頁では正則・第二可算の場合を問題として残すため、本書12.1全体の直接対応は引き続き未認定。
原文の確認に関する付記
本書の完全可分は第二可算性の用語。原論文の距離構成と本書の座標写像の違いを保持。全文の独立証明監査ではない。
原本57頁・§12
定義 12.8
定義の対応（値の向きと閉集合・近傍表現の変換）
Tychonoff, A.，Über die topologische Erweiterung von Räumen（1930）
本書の主張の要約
点とその近傍の外側を，区間に値を取る連続関数で分離する性質を定義する．
原文献の対応箇所
Einleitung, definition of vollständig regulär・原文献545頁
点x0とそれを含まない閉集合Aを、0≤f≤1、f(x0)=0、A上f=1の連続関数で分離する。
比較の付記
本書のfを1−fに置き換え、開近傍Uと閉集合A=X−Uを対応させると同じ分離条件。一般の近傍の場合も内部に含まれる開近傍で条件を適用できる。原論文のHausdorff近傍公理規約と本書第2章以後T1規約の下では同じ完全正則性を述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書57頁と原論文プレビュー545頁の原文による定義文照合。
原文の確認に関する付記
原論文脚注5は定義をUrysohn1925の292頁に帰属する。その292頁§27第2の斜体主張を原文確認したところ、各aとG∋aに対してaで0、G外で1以上の連続関数があるという分離条件を仮定に使用する。完全正則という名称付きの独立定義として印刷されたものではない。Gの近傍規約と値域切詰めの対応を未照合のためUrysohnへの直接定義対応は別に未認定。TychonoffまたはUrysohnによる初出は断定しない。本書のコゼロ基底との同値性や後続命題は今回の範囲外。
原本58頁・§12
定理 12.11
主張の対応（構成する座標族の違いを明記）
Tychonoff, A.，Über die topologische Erweiterung von Räumen（1930）
本書の主張の要約
完全正則性を，区間の積への埋め込みが可能であることと結び付ける．
原文献の対応箇所
§3, second claim and construction, pp.550–553; §1 cube definition p.546・原文献550–553頁
基底の濃度τを持つ完全正則空間はRτの部分空間と同相。Rτは区間[0,1]のτ個の積で有限座標近傍を持つ。bikompakt空間の部分空間は完全正則。
比較の付記
§1のRτは本書の平行体I^τ。§3は連続分離関数を座標とする埋め込みを構成し553頁で同相性を結ぶ。本書はC(X,I)全体を座標族とし、原論文は基底に付随する正準対から関数を選ぶ。原論文のbikompaktな立方体と部分空間の完全正則性により逆方向も述べられている。完全正則性の定義は別記12.8対応で照合済み。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書58頁、原論文545–553頁の関係箇所を原文で確認。
原文の確認に関する付記
原論文はHausdorff空間の規約、本書第2章以降はT1規約。完全正則性の条件の下で埋め込み対象の分離条件に整合する。初出の断定、証明の独立検証、12.13の基底濃度の主張の照合は行わない。
原本60頁・§12
例（定義） 12.19
空間の定義が対応
Niemytzki, V.，Über die Axiome des metrischen Raumes（1931）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：本書の名称：Mooreの半平面
上半平面の境界で，接する円板を使って近傍を定める例（Niemytzki平面）．
原文献の対応箇所
p.670冒頭の半平面Rの例・原文献670頁
Rはy≥0の半平面。y>0の点では開円板を、y=0の点zではx軸に上からzで接する円板の内部とzの和を近傍として用いる。
比較の付記
内部と境界における近傍の与え方を原文で照合。同じ位相空間の構成を記した文献と確認した。本書の完全正則性・可分性・境界の非可分性についての記述全体を、この論文の主張と同一視しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文により指定した定義・仮定・主張の対応を確認。証明全体の独立監査は未実施
原文の確認に関する付記
原論文の例の性質については正則性・非正規性・対称距離に言及があるが、今回の対応は近傍の定義に限定する。Mooreの業績、最初の公表、本書著者の参照関係は未確定。
原本60頁・§12
例の構成 12.20
構成部分の対応
Tychonoff, A.，Über die topologische Erweiterung von Räumen（1930）
本書の主張の要約
削除した板の列を交互に貼り合わせ，遠方のコピーに近付く一点を加える構成．
原文献の対応箇所
§4, construction of R-star and R, p.554・原文献554頁
可算個の削除板S-primeをX辺で2nと2n+1、Y辺で2n−1と2nに同一視し、有限個の像の閉包の外部を基本近傍とする一点ξを加える。
比較の付記
11.10の座標交換の下で原論文X辺は本書A辺、Y辺はB辺に対応し、貼り合わせる添字の偶奇も一致する。原論文は有限個の板の像の和に閉包記号を付け、本書はその和を直接差し引く。有限個の板の像が閉であることを用いた表記の対応は独立の確認事項として残す。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書60頁と原論文554–556頁を原文閲読。貼り合わせの構成の一致に限る。
留保
閉包記号の違いの完全な確認、本書61頁の連続関数による非完全正則性の結論への対応、原論文のregular pointsに関する用語規約は未照合。例12.20全体の主張一致には数えない。
原文の確認に関する付記
原論文554–556頁はregular pointsに関する絶対閉性を示す。本書の非完全正則性の証明そのものとして同一視しない。
原本63頁・§13
例 13.6
原論文の構成・主張対応
Michael, Ernest，The product of a normal space and a metric space need not be normal（1963）
本書の主張の要約
区間内の集合を孤立化すると，正則Lindelöf性を持ちながら積が非正規になる例を作れる．
原文献の対応箇所
p.376 second paragraph, Yprime and Xprime; proof template pp.375–376・原文献376頁
非可算Yprime⊂Iのコンパクト部分集合はすべて可算とし、Yprimeを孤立化したXprimeは継承的パラコンパクトかつLindelöf、Xprime×Yprimeは非正規。
比較の付記
本書13.5のSは濃度c、稠密、非可算コンパクト部分集合をもたない。したがって原論文376頁Yprimeの条件を満たす選択であり、位相U∪T(T⊂S)、積の第二因子、主張が対応する。両者とも単位区間。原論文の継承的パラコンパクト性から正則性も従う。本書のより具体的なSの構成そのものの初出までは認定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書62–63頁と原短報375–376全本文・脚注を原文で照合。
留保
原論文はより広いYprime族を扱い本書はその特定の選択。初出・著者の直接使用・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
原短報376頁本文はCHなし、脚注4は全無理数を第二因子とする別のCH版。
原本64頁・§13
本文 §13補足（無理数孤立化の定義とパラコンパクト性）
同一の孤立化操作の部分空間への限定対応
Michael, Ernest A.，Paracompactness and the Lindelöf property in finite and countable cartesian products（1971）
本書の主張の要約
区間内の無理数を孤立点にすることで，パラコンパクトなHausdorff空間を作る．
原文献の対応箇所
Example3.2 definition,(a), restricted to I・原文献203頁
Rの無理数集合Pを孤立化し、開集合をU∪T（Uは通常の開集合、T⊂P）とするR*は継承的パラコンパクト。
比較の付記
本書63頁末はI−Qを孤立化する変種を指定し64頁でパラコンパクトT₂とする。Michael203頁のR*をIへ制限すると、通常のI内開集合と無理数点集合の和からなる同じ位相になる。Example3.2(a)のhereditarily paracompactからIの部分空間のパラコンパクト性が得られる。通常のHausdorff位相より細かいことからT₂も保たれる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書63–64頁とMichael203頁の原文を確認。
留保
本書13.6の特別な集合Sを用いるLindelöf構成、非Lindelöf性、I上の変種とI−Qの積の非正規性はこの照合に含めない。1963原典本文も未取得。
原文の確認に関する付記
原論文Example3.2(d)のCH付き存在結果を本書13.6の構成と同一視しない。
原本67頁・§14
定理（(1)⇔(2)） 14.10
指定した範囲の対応を確認
Hanai, Sitiro，On Open Mappings. II（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ponomarev-Hanai
第1可算性を，距離空間からの開連続全射が存在することと結び付ける．
原文献の対応箇所
Theorems 1–2とTheorem 1のBaire空間による構成・原文献233頁
T₁空間Xが第一可算であることと、距離空間の開連続像であることが同値。構成では一般化Baire空間N(Ω)の部分空間Aを用いる。
比較の付記
本書p.27のT₁規約の下で14.10(1)⇔(2)がTheorems 1–2に対応する。各点の可算近傍基を列で符号化する本書67–68頁の構成も原論文233–234頁に対応する。原論文はN(Ω)が零次元であると明記するが、本書の三条件を同じ番号で列挙しているわけではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
Ponomarev側の原論文との対応、著者による直接利用、証明の独立検証は未認定。照合先はOpen Basis and Continuous Mappingsの2本ではなくOn Open Mappings. II。
原文の確認に関する付記
本書67–68頁と原論文233–234頁の本文を確認。分離公理は既確認の本書27頁を参照。
本書内で併せて確認した所在
68，14.10の続き
27，第2章以後のT₁規約
原文献内で併せて確認した所在
234，Theorem 1の続きとTheorem 2
原本70頁・§14
演習 2.J
本人による後年の一般定理の特殊場合
Janos, Ludvik，Dimension theory via bisector chains（1977）
本書の主張の要約
Cantor集合には，超精密性を持つ適合距離を入れられる．
原文献の対応箇所
Theorem3.3; Definition3.1; reference[2]・原文献316頁
空でない可分距離化可能空間は零次元であることと、位相に適合するmetrically rigidな距離をもつことが同値。
比較の付記
Cantor集合は空でない可分零次元距離化可能空間なのでTheorem3.3の順方向が演習の主張を与える。Definition3.1は任意の正の距離に対応する非順序点対が高々一つという条件で、本書69頁2.Hと一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書69–70頁と原論文315–317頁の原文による主張比較。
留保
本書の距離構成ヒント、1972原論文の直接照合、本書著者が用いた文献の確定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書演習2.Jの主張は、本人による後年の再掲Theorem3.3（316頁）のCantor集合の場合として確認。Definition3.1（315頁）のrigidは本書2.Hの超精密と同じ正距離の一意性条件。317頁文献[2]はJanos1972Rigidを引用し、Theorem3.3の証明も[2]を参照する。1977年は本書1974年第1刷より後であり、本書著者の直接参照元とは扱わない。1972原論文の本文と本書の距離構成ヒントは未照合。
原本73頁・§15
定理 15.7
主張対応（再刊版による確認）
Tukey, John W.，Convergence and Uniformity in Topology（1940）
本書の主張の要約
正規性を，有限開被覆が正規被覆になることによって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Chapter V, Theorem 4.1, conditions 4.4↔4.5・原文献47頁
有限開被覆の正規性と空間の正規性を同値条件として述べる。
比較の付記
本書と原典の主張が一致する。原典46頁は星細分による正規列を定義し、47頁3.2–3.3でΔ細分列から正規列を得る。本書71頁の正規列の定義との星細分・Δ細分の違いを、この同値性で対応させる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書71–74頁とTukey1965再刊版46・47・52・53頁の原文による定義・主張照合。
原文の確認に関する付記
1940年刊の1965年再刊本で照合。分割T-5のPDF頁番号を明示。1940年初版本との全文比較、証明全体の独立検証は行っていない。
原本74頁・§15
定理 15.11
主張対応（再刊版による確認）
Tukey, John W.，Convergence and Uniformity in Topology（1940）
本書の主張の要約
距離空間の開被覆には，正規被覆となる細分を取れる．
原文献の対応箇所
Chapter V, Theorem 8.12; statement 8.14・原文献53頁
距離化可能空間の全ての開被覆は正規であり、従って距離化可能空間はfully normalである。
比較の付記
本書と原典の主張が一致する。原典46頁は星細分による正規列を定義し、47頁3.2–3.3でΔ細分列から正規列を得る。本書71頁の正規列の定義との星細分・Δ細分の違いを、この同値性で対応させる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書71–74頁とTukey1965再刊版46・47・52・53頁の原文による定義・主張照合。
原文の確認に関する付記
1940年刊の1965年再刊本で照合。分割T-5のPDF頁番号を明示。1940年初版本との全文比較、証明全体の独立検証は行っていない。
原本75頁・§16
問題 16.3
原会議録の問題定式化と帰属の直接照合
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
連続体より大きいHausdorff空間に，非可算な離散部分集合が必ずあるかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (7)・原文献24頁
本書75頁の連続濃度より大きいT2空間に非可算離散部分空間があるかという問いと、§V(7)のHausdorff空間・濃度>2^ℵ0・非可算離散部分空間の問いが一致
比較の付記
本書75頁の連続濃度より大きいT2空間に非可算離散部分空間があるかという問いと、§V(7)のHausdorff空間・濃度>2^ℵ0・非可算離散部分空間の問いが一致。HajnalとJuhászを明記して帰属する。一般spread不等式からの特殊化に限定された従来の対応を直接定式化で補う。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問い・仮定・帰属の一致。問題の初出や解決状況の認定とは区別。
留保
1970会議・1971刊の収録先。本書著者が用いた資料と初出を認定しない。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
本書の各頁、会議録19–21・24頁を原文確認。詳細保存した調査資料。
原本75頁・§16
問題 16.3（可算spreadの場合への対応）
一般問題の可算spreadの場合と対偶による限定対応
Juhász, István，Cardinal Functions in Topology（1971）
本書の主張の要約
離散部分集合がすべて可算の場合に，Hausdorff空間の濃度を連続体で抑えられるかを問う．
原文献の対応箇所
p18 Problem after2.9, restricted to s(X)=ω; definitions pp7–8,73・原文献18頁
Hausdorff空間の|X|≤2^(2^s(X))から指数一段を除いて|X|≤2^s(X)とできるか。
比較の付記
本書16.3の対偶は「非可算離散部分空間をもたないT₂空間は|X|≤c」。Juhasz1971 p7のspread定義とp8のsup*=ω·sup規約により、非空空間で前件はs(X)=ωと同値。p73のexp α=2^αによりp18の一般問題|X|≤2^s(X)をs(X)=ωに制限すると本書の問いと一致する。空集合は自明。本書の問いは一般問題全体とは同値と主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書75頁とJuhasz1971 7・8・17–18・73頁の確認。
留保
一般spreadの問題全体の同値、1967原論文の問題収録箇所、Hajnal–Juhaszの初出は未確認。
原文の確認に関する付記
限定された問題文比較。解答・現在の解決状況の確認ではない。
原本76頁・§16
定理 16.6
full-statement-through-explicit-countable-coordinate-reduction
Morita, Kiiti，Star-finite coverings and the star-finite property（1948）
本書の主張の要約
可算cozero被覆を，星有限性を持つ可算cozero被覆に細分できる．
原文献の対応箇所
Theorem10・原文献66頁
正則Lindelöf空間はstar-finite propertyを持つ（任意の開被覆が星有限開細分を持つ）。
比較の付記
U_i={x:g_i(x)>0}, g_i:X→[0,1]連続と取り、g=(g_i):X→[0,1]^N、Z=g(X)とする。Zは第二可算距離空間なので正則Lindelöfで、O_i={z:z_i>0}がZの可算開被覆となる。Morita定理10より星有限開細分Vが存在し、Lindelöf性で可算部分被覆を選ぶと星有限性と細分性は保持される。Zの各開集合Vは距離によってcozero（V≠Zならh(z)=min(1,d(z,Z\V)); V=Zならh=1）。従ってg^{-1}(V)もcozeroで、交差する逆像対は元のV対も交差するので星有限性を保持し、U_iを細分する。本書の空間Xの分離公理を追加する必要はない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書76頁およびMorita原論文60,62,66頁本文の閲読。定理10に可算cozero被覆の座標写像による明示的補足を組み合わせた主張対応。
留保
本書Dowker–Morita共同帰属の全歴史・初出および本書著者の実使用文献は未確認。独立した原論文全証明監査はしていない。
原文の確認に関する付記
原論文が本書16.6を同じ語で直接述べるとは主張しない。補足推論は本調査で記したもの。
原本77頁・§16
定理 16.10
本書のT₁規約の下での補集合による言い換え
Ishikawa, Fumie，On Countably Paracompact Spaces（1955）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ishikawa
可算パラコンパクト性を，増大開被覆を閉包ごと内側へ収縮できる性質で捉える．
原文献の対応箇所
Theorem（番号なし）・原文献686頁
空間Xが可算パラコンパクトであることと、共通部分が空の非空閉集合の減少列Fᵢについて、Fᵢ⊂Gᵢかつ⋂cl Gᵢ=∅となる開集合の減少列Gᵢが存在することは同値。
比較の付記
Fᵢ=X∖Uᵢとする。原論文のGᵢからWᵢ=X∖cl Gᵢを取ると本書の条件になる。逆に本書のWᵢを有限和⋃ₖ≤ᵢWₖで増大列にしてからGᵢ=X∖cl Wᵢとすれば原論文の条件になる。途中でFᵢが空になる場合は有限段階で扱える。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定箇所の定理文・条件・結論の照合
原文の確認に関する付記
本書p.27の第2章以後のT₁規約を反映した。原論文の定理にはT₁の追加仮定がないので、本書はその場合を取り出した形。開集合列と閉集合列の補集合変換を記録したが、原論文の証明の独立検証ではない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本77頁・§16
命題 16.8
指定した主張の対応を確認
Morita, Kiiti，Star-finite coverings and the star-finite property（1948）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：この命題の見出しには人名なし
正則Lindelöf空間では，開被覆に星有限な開細分を取れる．
原文献の対応箇所
Theorem 10・原文献66頁
正則Lindelöf空間は星有限性をもつ。
比較の付記
本書16.7の強パラコンパクト性と原論文p.60のstar-finite propertyはいずれも、任意の開被覆が星有限開細分をもつことをいう。両者のT₁規約の下で16.8とTheorem 10の仮定・結論が対応する。16.6に同じ結論を推測で割り当てたものではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文p.60の用語とp.66のTheorem 10、本書p.77の16.7・16.8を原文で確認。原誌の巻・年は登録書誌による。本書16.6全体との主張対応は未認定。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本77頁・§16
命題 16.9
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On Countably Paracompact Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
完全正規性があれば，可算開被覆の局所有限な開細分が得られる．
原文献の対応箇所
Corollary（Theorem 2の後）・原文献221頁
完全正規性があれば，可算開被覆の局所有限な開細分が得られる．
比較の付記
本書の命題と原論文のCorollaryの仮定・結論が対応する。原論文の正規性はT₁を要求しないが、本書のT₁の場合を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定理文の対応。原論文の証明と本書のコゼロ被覆を用いた証明の逐語的一致や独立検証は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書77頁と原論文221頁の本文を照合。原論文220頁の正規性の規約を確認。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原文献内で併せて確認した所在
220，正規性の規約
原本77頁・§16
本文 §16本文（Dowker1951の問題とRudin1971の否定解）
published-question-and-negative-answer-attribution
Dowker, C. H.，On Countably Paracompact Spaces（1951）
本書の主張の要約
Dowkerが提起した正規性と可算パラコンパクト性の問題に，Rudinが反例を与えた経緯．
原文献の対応箇所
p221 footnote4; Rudin1971 introduction p179 and reference[4] p186・原文献221頁
非Hausdorff反例と区別し、正規Hausdorff空間で可算パラコンパクトでない例があれば興味深いと脚注4で明記。Rudin1971はその反例を構成する。
比較の付記
1951原論文221頁脚注4がnormal Hausdorffかつnot countably paracompactの例を明示的に求める。本書の第2章以後のT₁規約では正規空間はHausdorffなので問いが対応する。原論文本文直前の非Hausdorff反例を本書の否定解と取り違えない。Rudin1971の既存対応記録により否定解の主張とDowker1951への引用を確認済みで、刊行年1951と1971の差は20年。これにより刊行された問題と否定解の人物・年の対応を記録する。Dowker原論文219頁の受稿1949年は刊行1951年と別であり、問題の初めての口頭提起や絶対的優先権の年を確定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
1951刊行論文の明示的な問いと1971原論文の否定解。本書の人物・刊行年の対応。
留保
最初の口頭提起・先行刊行の不存在・反例証明の独立監査は未認定。受稿年1949と刊行年1951を区別。
原文の確認に関する付記
Dowker221頁脚注4を今回確認。Rudin179・186頁等と本書77頁は既存原文確認記録を参照。
関連する対応
原本77頁・§16
本文 §16本文（Rudinによる否定解）
本文の否定解に関する限定主張対応
Rudin, M. E.，A normal space X for which X × I is not normal（1971）
本書の主張の要約
正規性だけでは可算パラコンパクト性が従わないことを示すRudinの反例に触れる．
原文献の対応箇所
p179 introduction; p186 reference[4]・原文献179頁
選択公理以外の集合論的仮定を加えず、正規Hausdorff空間XでX×[0,1]が非正規な例を構成する。導入はこれを非可算パラコンパクト性と同値と述べる。
比較の付記
本書77頁のRudinによる否定解は原論文179頁の反例構成の目的と対応する。179頁のDowker同値定理への引用[4]を186頁でDowker1951と確認し、保存済みDowker原論文223–224頁のTheorem4の積条件も確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書77頁、Rudin179・184–186頁、Dowker219・223–224頁の閲読。
留保
Dowkerによる問題の初提出年・初出の歴史的確定は未確認。反例構成の全証明の検証ではない。
原文の確認に関する付記
179頁はPDF第1枚の右側、186頁は第5枚。
原本78頁・§16
命題（(1)⇔(2)） 16.11
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On Countably Paracompact Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
正規空間では，可算開被覆の収縮可能性によって可算パラコンパクト性を特徴付けられる．
原文献の対応箇所
Theorem 2(a),(c)・原文献220頁
正規空間Xについて、可算パラコンパクト性と各可算開被覆{U_i}がcl V_i⊂U_iを満たす開細分{V_i}を持つことが同値。
比較の付記
本書16.11(1)⇔(2)を原論文Theorem 2(a),(c)に対応させる。原論文のcoveringは開被覆であり、対応する添字ごとに閉包を元の開集合へ収める条件が収縮に当たる。本書(3)を原論文が同じ三条件として列挙するとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(1)⇔(2)の対応に限定。本書(3)と原論文の別条件との同定はこの記録に含めない。
原文の確認に関する付記
本書78頁、原論文219–220頁の被覆の定義とTheorem 2を照合。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
219，coveringの定義
原本79頁・§16
定理 16.12
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On Countably Paracompact Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：C. H. Dowkerの特性化定理
正規空間の可算パラコンパクト性を，区間やコンパクト距離空間との積の正規性で捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 4(α),(γ)およびLemma 3・原文献222頁
正規空間の可算パラコンパクト性と閉単位区間との積の正規性が同値。Lemma 3は可算パラコンパクト正規空間と任意のコンパクト距離空間との積の正規性を与える。
比較の付記
本書の三条件を、Lemma 3とTheorem 4の(α),(γ)を合わせた主張に対応させる。原論文Theorem 4に含まれる半連続実関数の間への連続関数の挿入条件(β)は本書16.12の定理文にはない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
三条件の主張の対応。関数挿入条件や各証明の全過程は照合範囲外。
原文の確認に関する付記
本書79頁の定理文と原論文221–223頁のLemma 3・Theorem 4を確認。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
221，Lemma 3
223，Theorem 4の続き
原本81頁・§17
定理 17.2
原論文の被覆構成から本書の結論へ読み替え
Dieudonné, Jean，Une généralisation des espaces compacts（1944）
本書の主張の要約
Hausdorffなパラコンパクト空間では，開被覆に正規性を持たせられる．
原文献の対応箇所
§1, Théorème 1; §9, Théorème 7, proof (sufficiency)・原文献66, 71–73頁
Hausdorffパラコンパクト空間は正規であり、正規Hausdorff空間の任意の局所有限開被覆から局所有限開被覆を構成し、K²(z)が元の被覆の一元に含まれることを示す。
比較の付記
原論文66頁の定義はHausdorff性と局所有限開細分の存在を要求する。Théorème 1の結論は通常の正規性であり、本書17.2の全体正規性と同一視しない。Théorème 7の証明72–73頁では、任意の局所有限開被覆Aから局所有限開被覆Bを作り、各zについてK²(z)⊂Aα（z∈Aαの適切なα）を示している。ここでK=∪{B×B:B∈B}、K(z)=St(z,B)。従ってBはAのΔ細分である。任意の開被覆Uを局所有限Aで細分し、この構成を反復すれば、Uから始まる本書15.1の正規列が得られる。Théorème 1による正規性を前提にThéorème 7の構成を適用する。これは本書の用語への作業者による読み替えであり、原論文に17.2と同文の独立した定理があるという主張ではない。証明全体の独立監査および著者が実際に用いた版の確認は未実施。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書71・81頁と原論文66・71–73頁の照合。局所有限被覆のΔ細分構成を反復して本書15.1の正規列へ読み替えた。
原文の確認に関する付記
詳細は保存した調査資料。
原本81頁・§17
命題 17.4
指定した主張の対応を確認
Bing, R. H.，Metrization of Topological Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：この命題の見出しには人名なし
全体正規性から，疎な閉集合族を開集合族で分離できる族正規性が従う．
原文献の対応箇所
Theorem 12, forward implication・原文献183頁
全体正規性は族正規性を含意する。原論文は逆が成り立たないことも述べる。
比較の付記
本書15.1の全体正規性と原論文脚注10の各開被覆が点の星による細分をもつ条件を確認した。原論文の条件を反復すると本書の正規列になり、逆はその第一段である。族正規性は本書17.3と原論文p.176の定義で対応する。今回の記録はTheorem 12の順方向に限る。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書p.71・81の定義と命題、原論文p.176の族正規性およびp.183のTheorem 12・脚注10を原文で確認。逆向きの反例は今回の対応範囲外。
本書内で併せて確認した所在
71，15.1 全体正規空間と正規列
75，16.1 疎な族の定義
原本81頁・§17
定理 17.5
指定した範囲の対応を確認
Stone, A. H.，Paracompactness and product spaces（1948）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：A. H. Stone
全体正規性の下で，局所有限性とσ疎性を同時に持つ開細分を得る．
原文献の対応箇所
Theorem 1および証明直後のRemark・原文献977頁
全体正規T₁空間はパラコンパクトである。構成された局所有限開細分は可算個の族に分けられ、各族の集合の閉包は互いに素となる。
比較の付記
Theorem 1の局所有限開細分に、979頁Remarkの追加性質を合わせる。全細分の局所有限性は各部分族に遺伝し、各部分族の閉包が互いに素なので、本書75頁の疎な族の定義に合う。本書71頁の全体正規性と原論文のΔ細分による用語も確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
局所有限性とσ疎性の結論の対応。細分を構成する全ての式や証明の独立検証は範囲外。
原文の確認に関する付記
本書71・75・81頁、原論文977・979頁の原文で定義と結果を照合。
本書内で併せて確認した所在
71，全体正規性・Δ細分
75，疎な族とσ疎な族
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
979，Theorem 1後のRemark
原本83頁・§17
定理 17.7
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，A note on paracompact spaces（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：A. H. Stone–Michael
正則空間のパラコンパクト性を，σ疎またはσ局所有限な開細分の存在で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1およびProposition 1・原文献831頁
正則空間について、パラコンパクト性と全ての開被覆にσ局所有限開細分が存在することが同値。さらに正則空間のstrong screenabilityとパラコンパクト性が同値。
比較の付記
Theorem 1が本書(1)⇔(3)、Proposition 1が(1)⇔(2)に対応する。strongly screenableの定義を本書のσ疎な開細分に対応させる。原論文はparacompactにHausdorffを含むが、本書のT₁正則性がこれを満たす。1953年の訂正（4(6),993）は835頁の図中のcovering/refinement各2箇所にopenを補う。1954年の訂正（5(6),1001）は832頁Lemma 2の証明冒頭のW^iをW_iに直す。両訂正文と訂正対象頁を原文で確認し、Theorem 1・Propositions 1,3の定理文を変更する訂正ではないことを確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定理文と定義の対応。訂正箇所も確認したが、証明の独立検証を完了したとはしない。
原文の確認に関する付記
本書75・83頁と原論文831–833頁、訂正対象835頁、1953年993頁・1954年1001頁の訂正文を確認。
本書内で併せて確認した所在
75，疎・σ疎の定義
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
833，strongly screenableの定義とProposition 1
832，Lemma 2の訂正対象
835，図の訂正対象
993，1953年訂正のMichael項
1001，1954年訂正のMichael項
原本83頁・§17
定理（(1)⇔(2)） 17.7
指定した範囲の対応を確認
Nagami, Keiô，Paracompactness and Strong Screenability（1955）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：A. H. Stone–Michael
正則空間では，任意の開被覆にσ疎な開細分があることがパラコンパクト性の判定になる．
原文献の対応箇所
Theorems 2–3・原文献86頁
パラコンパクトHausdorff空間はstrongly screenableであり、strongly screenableな正則空間はパラコンパクトである。
比較の付記
Theorems 2–3を合わせると本書17.7(1)⇔(2)に対応する。83頁のdiscreteの定義とstrongly screenableの定義を本書75頁の疎・σ疎に照らした。本書(3)のσ局所有限な開細分の条件はこの対応には含めず、Michael 1953に別記する。本書見出しの帰属をNagamiへ書き換えることはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(1)⇔(2)に限定。著者がこの原論文を直接使用したことや帰属の追加は未認定。
原文の確認に関する付記
本書75・83頁、原論文83・86頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
75，疎・σ疎の定義
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
83，T₁規約とdiscrete・strongly screenableの定義
原本84頁・§17
定理 17.10
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，Point-Finite and Locally Finite Coverings（1955）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael–Nagami
族正規性を仮定すると，点有限な開被覆を局所有限な開被覆へ細分できる．
原文献の対応箇所
Theorem 2・原文献275頁
族正規空間の任意の点有限被覆は局所有限細分を持つ。原論文の被覆・細分は開集合によるもの。
比較の付記
Theorem 2の仮定・結論と本書17.10が対応する。原論文はHausdorff空間を扱い、本書ではT₁族正規空間からHausdorff性が従う。covering/refinementを開集合に限る275–276頁の規約を反映した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定理文の対応。細分の構成全体や歴史的優先権の判定は範囲外。
原文の確認に関する付記
本書84頁と原論文275–276頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
276，covering・refinement・discreteの定義の続き
原本84頁・§17
定理 17.10
指定した範囲の対応を確認
Nagami, Keiô，Paracompactness and Strong Screenability（1955）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael–Nagami
族正規性を仮定すると，点有限な開被覆を局所有限な開被覆へ細分できる．
原文献の対応箇所
Theorem 4・原文献87頁
族正規空間の任意の点有限開被覆は局所有限な開Δ細分を持つ。
比較の付記
原論文Theorem 4は本書17.10の細分の存在を含む、Δ細分というより強い結論を述べる。通常の細分とΔ細分を区別して登録し、逐語的一致とは扱わない。原論文のT₁規約は本書と共通する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書の局所有限開細分の存在に当たる範囲。原論文のΔ細分という追加結論を本書定理文に補わない。
原文の確認に関する付記
本書84頁と原論文83・87頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原文献内で併せて確認した所在
83，T₁規約とΔ細分の定義
原本84頁・§17
補題 17.8
指定した範囲の対応を確認
Nagami, Keiô，Paracompactness and Strong Screenability（1955）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
族正規空間の疎な閉集合族を，各集合を含む疎な開集合族へ広げられる．
原文献の対応箇所
Lemma 2・原文献84頁
族正規空間の疎な集合族{H_α}に対し、各cl H_αを含む疎な開集合族{G_α}が存在する。
比較の付記
原論文Lemma 2でH_αを閉集合F_αとした場合が本書17.8に対応する。原論文は任意の疎な集合族の閉包を含む形で述べており、本書より広い。用語は原論文83頁と本書75頁で確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
閉集合族の場合の主張の対応。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書84頁と原論文83–84頁を照合。
本書内で併せて確認した所在
75，疎な族の定義
原文献内で併せて確認した所在
83，discrete・collectionwise normalの定義
原本84頁・§17
定理 17.9
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，A note on paracompact spaces（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorffなパラコンパクト空間では，Fσ部分集合もパラコンパクト性を保つ．
原文献の対応箇所
Proposition 3・原文献835頁
パラコンパクト空間のFσ部分集合はパラコンパクトである。原論文のparacompactはHausdorffを含む。
比較の付記
本書17.9のT₂仮定は原論文のparacompactの定義に含まれ、Fσ部分集合に関する仮定・結論が一致する。同頁の図への1953年訂正を確認したが、Proposition 3の定理文の訂正ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定理文の対応のみ。本書と原論文は証明の書き方が異なり、証明全体の一致は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書84頁と原論文831・835頁、1953年訂正頁993を確認。
原文献内で併せて確認した所在
831，paracompactの定義
993，同頁の図に関する訂正
原本86頁・§17
定理 17.12
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Michael, Ernest，Yet another note on paracompact spaces（1959）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
Hausdorffなパラコンパクト性を，開被覆のクッション細分の存在で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.1・原文献309頁
T₁空間がparacompactであることと、任意の開被覆がcushioned refinementをもつことは同値。
比較の付記
原論文冒頭のparacompactはHausdorff性を含む。本書の第2章以後のT₁規約と合わせると同じ主張である。cushioned refinementの定義も原論文p.309と本書17.11で照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
本書がパラコンパクト性とT₂性を別に書く点を保持した。
原本92頁・§18
定理の一部 18.1(1)⇔(2)
指定した主張の対応を確認
Bing, R. H.，Metrization of Topological Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bing–Nagata–Smirnov
正則空間の距離化可能性を，σ疎なベースの存在から判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3; perfectly screenable definition on p.176・原文献178頁
正則空間の距離化可能性はperfectly screenableであることと同値。
比較の付記
p.176のperfectly screenableは可算個のdiscreteな開集合族の合併がベースになる条件である。原論文のdiscrete（閉包が互いに素で任意の部分族の和が閉）と、本書16.1の閉包が互いに素で局所有限という条件は対応する。閉包族の任意の部分族の和が閉なら、ある点を含む高々一つ以外の閉包の和を避ける近傍をとれる。逆は本書16.2の局所有限族の閉包保存性による。三条件のうち(1)と(2)を照合し、(1)と(3)の記録はNagata・Smirnovに残す。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書p.75・92と原論文p.176・178を原文で確認。疎な族の定義の表現差は上記の説明により対応付けた。著者による実際の参照文献の確定ではない。
本書内で併せて確認した所在
75，16.1・16.2
27，第2章以後のT₁規約
原本92頁・§18
定理の一部 18.1(1)⇔(3)
三条件のうち(1)と(3)を照合
Nagata, Jun-iti，On a Necessary and Sufficient Condition of Metrizability（1950）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bing–Nagata–Smirnov
正則空間では，σ局所有限なベースの存在が距離化可能性を特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1 and β-Countability Axiom・原文献93頁
正則空間が距離化可能であるための必要十分条件は、可算個の近傍有限な開被覆の合併で開ベースを与えられることである。
比較の付記
nbd finiteは局所有限を表す。原論文のRemarkに従い、ベースを構成する各族が全空間を覆わない場合は全空間を一つ加えて開被覆にできる。本書のσ局所有限ベースという条件と対応する。(2)σ疎ベースの条件はこの対応範囲外であり、別記録bing-18-1-12でBingの論文と照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文により指定した定義・仮定・主張の対応を確認。証明全体の独立監査は未実施
原文の確認に関する付記
本書の定理18.1全体をこの論文単独に帰属させない。原論文の題名・誌名・頁は機関リポジトリの原誌複製で確認した。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本92頁・§18
定理の一部 18.1(1)⇔(3)
三条件のうち(1)と(3)を照合
Smirnov, Yu. M.，A necessary and sufficient condition for metrizability of a topological space（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bing–Nagata–Smirnov
正則空間では，σ局所有限なベースの存在が距離化可能性を特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1; local finiteness footnote・原文献197頁
距離化可能性の必要十分条件は、正則性と、合併がベースとなる可算個の局所有限な開被覆の存在である。
比較の付記
p.197の脚注は局所有限な開被覆を、各点が有限個の被覆要素とのみ交わる近傍をもつことで定義する。本書のT₁規約と合わせて(1)と(3)が対応する。各局所有限族に全空間を一つ加えれば被覆とできるという用語上の差を補った。(2)のσ疎条件はこの対応範囲外であり、別記録bing-18-1-12でBingの論文と照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文により指定した定義・仮定・主張の対応を確認。証明全体の独立監査は未実施
原文の確認に関する付記
ロシア語原著の本文を確認。Nagata論文との二つの対応記録は、同じ本書の部分主張に対する二文献であり、異なる二つの本書の定理を数えたものではない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本93頁・§18
問題 18.3
問題文の対応、用語の橋渡し
Bing, R. H.，Metrization of Topological Spaces（1951）
本書の主張の要約
展開を持つ空間に正規性を加えると，距離化できるかを問う．
原文献の対応箇所
Question following Theorem10, second sentence; footnote6 p176・原文献182頁
each normal Moore space is metrizableかどうかという問題を明記。直前にnormal Moore spaceがscreenableでもcollectionwise normalでもない例の存在を問う。
比較の付記
Bing176頁脚注6はMoore spaceをregular developable spaceと説明する。本書の正規空間はT1を含み正則なので、正規な展開空間についての距離化問題と一致。Bing182頁は一般の問いを明示しており、screenableな場合だけを対象とした問題との混同を避ける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Bing176・182頁と本書93頁の照合。問題の主張のみ。
原文の確認に関する付記
Moore自身による初出・本書著者の実際の参照資料・現在の解決状況は未確定。
原本93頁・§18
定理 18.6
被覆条件を読み替えた十分条件の対応
Alexandroff, P. and Urysohn, P.，Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une classe (L) soit une classe (D)（1923）
本書の主張の要約
展開列が正規列にもなっていれば，その空間を距離化できる．
原文献の対応箇所
Definitions III–V; unnumbered Théorème (sufficiency)・原文献1275–1276頁
位相空間が距離空間となる必要十分条件はchaîne complète régulièreの存在である。
比較の付記
原論文1275頁Definitions IIIは次段の交わる二元が前段の一元に入る条件、IVは各点を含む任意の一元選択列がその点の近傍ベースをなす条件、Vはこれらをもつchaîne complète régulièreを定義する。本書の正規列はSt(z,U_(n+1))がU_nの一元に入るので、交わる二元B,Cについて交点zをとればB∪C⊂St(z,U_(n+1))⊂AとなりIIIを満たす。展開列について、任意の点xとその近傍Gに対しSt(x,U_n)⊂Gとなるnがある。従ってx∈V_n∈U_nを任意に選んでもV_n⊂GとなるからIVを満たす。原論文は位相空間にHausdorff分離を要求するが、本書のT₁の一般規約と正規展開列からそれが得られる。x≠yならyを含まないxの近傍をとり、y∉St(x,U_n)となるnを選ぶ。St(x,U_(n+1))とSt(y,U_(n+1))が交われば、交わる被覆二元を含むU_nの一元がx,yをともに含み矛盾する。従って両者は素な開近傍である。これにより本書18.6の仮定は原論文の十分条件を満たす。条件の逐語的一致や両定義の同値性は主張しない。原論文は必要十分形、本書18.6は十分形であり、証明も原論文はécartとChittendenの定理、本書は局所有限ベースと18.1を用いる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文全3頁、本書93頁を原文で照合。本書の正規展開列が原論文Definitions III–Vを満たすことを作業者が確認。必要条件および証明全体の独立監査ではない。
原文の確認に関する付記
ローカルPDFは保存済み原誌から組み立てたもの。原論文の必要十分形のうち、本書が述べる十分条件を対応付ける。
原本94頁・§18
定理 18.7
指定した主張の対応を確認
Bing, R. H.，Metrization of Topological Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bing
展開と族正規性を併せ持つ空間には，適合する距離が存在する．
原文献の対応箇所
Theorem 10・原文献182頁
族正規なMoore空間は距離化可能である。
比較の付記
原論文p.176脚注6はMoore空間を正則な展開空間とする。本書の族正規性はT₁規約の下で正規性、従って正則性を与えるため、本書の仮定は原論文の族正規Moore空間に対応する。展開の意味は本書18.2と原論文p.175の条件(c)で照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書p.81・92・94と原論文p.175・176・182を原文で確認。Moore空間の正則性と本書のT₁規約を含めて仮定を比較した。
本書内で併せて確認した所在
92，18.2 展開の定義
81，17.3 族正規性
27，第2章以後のT₁規約
原本94頁・§18
定理 18.8
full-statement-equivalence-through-explicit-later-attribution
Abernethy, Kenneth C.，Characterization of certain classes of spaces with Gδ points as open images of metric spaces（1975）
本書の主張の要約
点可算ベースの存在を，距離空間からの開連続s写像によって表す．
原文献の対応箇所
Theorem 2.2; S-mapping definition p1233; reference [17] p1238・原文献1230頁
T1空間Yは点可算基底を持つことと、距離空間XからYへの開連続全射S写像の存在が同値。直前にPonomarevによる特徴付けと明記。
比較の付記
本書第2章以後のT1規約と原論文定理2.2のT1仮定が一致。値域・定義域の文字を交換すれば点可算基底と距離空間の開連続s像という両方向の主張が一致。1233頁はS-mappingを各ファイバーが可分な写像と明記。本書94頁証明のファイバーの完全可分性は距離空間の部分空間について可分性と同値であり、定義の範囲が一致する。原論文1230頁はこの定理をPonomarevに帰属し、1238頁[17]に1960年8巻127–134頁の原論文を挙げる。Tanaka1982の正則性規約による範囲の不足をこの一般T1定式化で補う。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書94頁原文と、後続原論文1230・1233・1238頁の原文で主張・写像定義・帰属を確認。
留保
Ponomarev1960原論文自体の定理番号・本文・証明・初出および本書著者の実使用典拠は未確認。後続論文の明示定式化による対応で独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
指定3頁を閲読。全文読了ではない。
原本94頁・§18
定理（T₂の場合の(1)⇔(2)） 18.9
指定した範囲の対応を確認
Hanai, Sitiro，On Open Mappings. II（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorffの場合，点有限な展開を，零次元距離空間からの開コンパクト像として捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 5とその構成・原文献235頁
Hausdorff空間が距離空間の開コンパクト連続像であることと、点有限開被覆の可算列で各点のstarが近傍基をなすものが存在することが同値。
比較の付記
本書18.9(1)⇔(2)のうちXがT₂の場合をTheorem 5に対応させる。原論文のstarの条件が点有限展開に当たり、可算個の離散添字集合の積の部分空間を定義域とする構成も対応する。本書(3)の点有限パラコンパクトな展開空間という条件を原論文が同じ三条件として述べるとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
原論文はHausdorffを仮定する。本書は一般規約ではT₁なので、T₁の場合全体に原論文との対応を拡張しない。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書94–95頁と原論文235–236頁の原文で定理の仮定・条件を照合。
本書内で併せて確認した所在
95，18.9の三条件と証明
原文献内で併せて確認した所在
236，Theorem 5の開コンパクト写像の構成
原本96頁・§18
問題 18.10
問題文の直接対応
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
距離空間の開コンパクト連続像に正規性を仮定すれば，距離化できるかを問う．
原文献の対応箇所
Problem1.3・原文献121頁
正規空間が距離空間のopen compact imageならmetrizableか。
比較の付記
距離空間からの開コンパクト像・正規性・距離化という条件と問いが一致。直前の文章はAleksandrovのProblem1.2と同値と明記する。121頁脚注2はcompact mappingを各ファイバーがcompactumである写像と説明。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
英訳121頁Problem1.3と本書96頁の原文で問題文・帰属を照合。
原文の確認に関する付記
保存PDFの欠落130–131頁は今回の121頁比較に影響しない。初出・現在の解決状況・本書著者の実際の参照資料は未確定。
原本96頁・§18
問題 18.12
問題文の対応と仮定の同値性
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
距離空間の擬開コンパクト連続像が全体正規なら，距離化できるかを問う．
原文献の対応箇所
Problem2.3; p123 footnote3・原文献128頁
パラコンパクト空間が距離空間のpseudo-open compact imageならmetrizableか。
比較の付記
原論文123頁脚注3は特記しない空間を完全正則とする。本書のT1慣習のもとで17.4より全体正規⇒族正規⇒正規⇒完全正則、17.5よりパラコンパクト。逆に完全正則なパラコンパクト空間はT2であり17.2により全体正規。したがって問題の対象クラスが一致する。擬開の定義は既存48.1との対応で比較済み。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文123頁脚注3・128頁Problem2.3、本書81頁17.2/17.4/17.5および96頁18.12の照合。
原文の確認に関する付記
仮定の同値性を本書の既存定理で説明する比較。全証明の独立監査、初出、現在の解決状況の確認ではない。
原本96頁・§18
例 18.13
指定した範囲の対応を確認
Bennett, H. R.，On Arhangel'skiĭ's class MOBI（1970）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bennett
Michael型の直線を，点有限パラコンパクトな展開空間の開コンパクト像として表す例．
原文献の対応箇所
Theorem 2.5の構成とp.180の射影（Corollary 2.3を併用）・原文献179頁
非可算なQ⊂[0,1]でコンパクト部分集合が可算のものを取り、Qの上に離散な高さを付けた展開空間を作る。高さを忘れる射影は、Qを離散化した区間への開コンパクト写像である。
比較の付記
本書13.5–13.6のSを原論文のQに取り、本書の中間空間Yを原論文X、像Xを原論文Yと読み替える。孤立点、S×{0}上の尾部、その他の点での区間と尾部の近傍が対応する。最初の距離空間からの開コンパクト写像についても、BennettのCorollary 2.3・引用5を介してHanai 1961のTheorem 5を原文で確認した。本書96頁は中間空間YがT₂で点有限パラコンパクトな展開空間と明記しており、HanaiのHausdorff条件に合う。これにより「距離空間から2回」の依存先の主張を確認したが、合成した証明の独立検証はしていない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書62–63・96–97頁と原論文178–180頁を表示確認。本文の構成対応と証明の独立検証を区別する。 追加でHanai 1961の235–236頁と本書94–96頁を照合し、最初の写像の依存先を確認。
本書内で併せて確認した所在
62，定理13.5のSの条件
63，例13.6
97，例18.13の射影
95，18.9の点有限展開と開コンパクト像の条件
原文献内で併せて確認した所在
178，MOBI・compact open mapの定義
180，射影φと引用文献5
235，Theorem 5：最初の開コンパクト写像
236，Theorem 5の構成
原本97頁・§18
問題 18.14
原会議録の問題定式化と帰属の直接照合
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
点有限パラコンパクトな完全正則空間を，Hausdorffなパラコンパクト空間の開コンパクト像で表せるかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (1)・原文献24頁
本書97頁の点有限パラコンパクトな完全正則空間がパラコンパクトT2空間の開コンパクト連続像かという問いと、§V(1)のcompletely regular metacompact・paracompactのopen bicompact continuous像の問いを照合
比較の付記
本書97頁の点有限パラコンパクトな完全正則空間がパラコンパクトT2空間の開コンパクト連続像かという問いと、§V(1)のcompletely regular metacompact・paracompactのopen bicompact continuous像の問いを照合。19頁脚注は空間を完全正則とする規約、20頁は全完全正則空間をHausdorffクラスの例(8)に含める。従って問題のparacompact domainも本書のT2範囲と一致。写像のbicompactは各ファイバーがコンパクトという用語であり、perfect/closedを追加しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問い・仮定・帰属の一致。問題の初出や解決状況の認定とは区別。
留保
1970会議・1971刊の収録先。本書著者が用いた資料と初出を認定しない。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
本書の各頁、会議録19–21・24頁を原文確認。詳細保存した調査資料。
原本98頁・§16
演習 3.L
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Mansfield, M. J.，On Countably Paracompact Normal Spaces（1957）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Mansfield
正規空間の可算パラコンパクト性を，局所有限な可算閉集合族の開集合への拡大で判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3(a),(i), pp.444–445・原文献444頁
正規空間の可算パラコンパクト性と、局所有限な可算集合族の局所有限な開集合族への拡大が同値。
比較の付記
本書は閉集合族に限定して記す。原論文の一般の集合族の条件とは各要素の閉包を取ることで対応する。原論文p.444脚注3はnormalにHausdorff性を要求せず、本書の対象の範囲を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
条件(a)はp.444、(i)はp.445。原論文の証明全体を独立監査したものではない。
原本100頁・§19
定義 19.1
定義の対応（netとnetworkの用語差）
Arhangel'skii, A. V.，Concerning the weight of topological spaces（1962）
本書の主張の要約
開集合であるとは限らない集合を用いて，点の近傍を内側から捉えるネットワークを定義する．
原文献の対応箇所
§3, definition of a net・原文献73頁
netとは、各点xとその任意の近傍Oxに対しx∈M⊂Oxとなる元Mをもつ任意の部分集合の族である。
比較の付記
点と近傍を量化する条件、族の元を開集合に限定しないことが一致。ここでnetは有向集合上の点列を意味せず、本書のnetworkを意味する。ネットワーク濃度n(X)という最小濃度の記号・後続の性質までは原論文の定義文との一致を主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文73頁§3と本書100頁19.1の照合。ネットワークそのものの定義のみ。
原文の確認に関する付記
会議録本文72–74頁を全て閲読。定義の初出・本書著者の使用資料の歴史的確定ではない。
原本102頁・§19
定理 19.7
ロシア語原著の主張と可算の場合を照合
Mishchenko, A. S.，Spaces with a pointwise denumerable basis（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Miščenko
コンパクトHausdorff空間では，点可算ベースがあれば適合距離を入れられる．
原文献の対応箇所
p.985 introductory assertion; §1 theorem with α=ℵ₀・原文献985頁
序文は点可算ベースをもつbicompact空間の距離化可能性を述べる。§1ではベースの各点での濃度がα以下ならベース全体の濃度もα以下となる結果を述べる。
比較の付記
本書のコンパクトHausdorffという仮定の下で比較した。§1をα=ℵ₀の場合に適用した可算ベースの帰結と、序文で述べる距離化可能性が19.7に対応する。英訳版の文言・頁番号を確認したものではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文により指定した定義・仮定・主張の対応を確認。証明全体の独立監査は未実施
原文の確認に関する付記
原誌の冒頭・末尾と目次から144巻5号・985–988頁を確認。著者一覧の145巻6号は原誌の巻号として採用しない。一般のαの定理や証明全体の独立監査は行っていない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本105頁・§20
命題 20.2
定理の主張対応
Stone, M. H.，Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology（1937）
本書の主張の要約
完全正則空間の他のコンパクト化へ写せるという，Stone–Čechコンパクト化の最大性を扱う．
原文献の対応箇所
Theorem 88; Definitions 13,16,21; Theorem 79・原文献476頁
構成したコンパクト拡張Gから任意のコンパクト稠密H拡張への、元の空間上で恒等となる連続写像が存在する。
比較の付記
Theorem88の最後の特別な場合が極大性に対応する。Definition13のimmediateは稠密拡張、Definition21のCRは完全正則。コンパクトHausdorff拡張はDefinition16のH-extension条件を満たす。Theorem79は構成したGへの有界実連続関数の拡張性を述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書105頁、原論文420・421・454・463・476頁の原文で用語と極大性の主張を照合。
原文の確認に関する付記
原論文はBoolean ringを使う構成、本書は全連続関数を座標にする積空間の構成であり、構成手順の一致を主張しない。極大性の対応を記録し、20.4の七条件全体の同値性はこの記録では確認しない。
原本105頁・§20
定義の部分 20.3（関数分離）
用語と定義の対応
Čech, Eduard，On Bicompact Spaces（1937）
本書の主張の要約
区間に値を取る連続関数を使い，指定された二つの集合を分離する方法を定める．
原文献の対応箇所
Chapter II, definition of completely separated sets・原文献832頁
二集合A1,A2に対し、連続関数fでA1上0、A2上1となるときcompletely separatedという。
比較の付記
A1=A、A2=X−Bと置く。同頁の実値関数は連続切詰めによりI値にできる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書105頁20.3と原論文832頁の原文を確認。
留保
20.3の正則被覆定義と20.4条件3の一般写像延長への対応は未確認。
原文の確認に関する付記
832頁後半の定義を原文閲読。832頁前半は831頁のコンパクト化間写像の証明であり、任意のコンパクト値写像の延長定理そのものではない。
原本106頁・§20
定理の条件 20.4（条件1・2・7）
特徴付けの三条件への部分対応
Čech, Eduard，On Bicompact Spaces（1937）
本書の主張の要約
コンパクト化の最大性を，連続関数の延長や関数で分離された集合の閉包の性質で捉える．
原文献の対応箇所
Chapter II, characterization by (1)–(4) and (4′)・原文献831,833頁
β(S)はコンパクトHausdorff稠密拡張で有界連続関数を延長する。他のコンパクト化へのS上恒等の連続写像が存在し、延長性があれば同相。延長性は完全分離集合の閉包分離性で置換できる。
比較の付記
831頁の他コンパクト化への写像・同相判定が極大性と関数延長性を結び付ける。833頁(4′)は本書AとX−Bの関数分離に適用して条件7と一致する。有界実関数とI値関数はアフィン変換・切詰めで対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書106頁と原論文831・833頁の原文を確認。
留保
条件3・4・5・6および七条件全体の直接対応は認定しない。
原文の確認に関する付記
PDF10頁と12頁を閲読。関数延長性・極大性・閉包分離による特徴付けの主張照合。証明の独立監査は未実施。
原本106頁・§20
定理の条件 20.4（条件2を満たすコンパクト化の存在）
条件を満たす拡張の存在への限定対応
Stone, M. H.，Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology（1937）
本書の主張の要約
完全正則空間には，区間に値を取るすべての連続関数を延長できるコンパクト化がある．
原文献の対応箇所
Theorem79; Definition21・原文献454,463頁
CR空間の構成されたbicompact H拡張へ全ての有界連続実関数が連続延長される。CRの意味は完全正則とDefinition21で定義する。
比較の付記
Stoneの有界実関数延長からI値関数の延長を得る。必要なら連続な区間への切詰めを施す。CRは完全正則であることを454頁で確認。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書106頁、原論文454頁Definition21と463頁Theorem79を原文閲読。
留保
任意のコンパクト化に対する七条件の同値性、および20.4全体への直接対応は未確認。ここでは関数延長性を満たす構成済み拡張の存在のみ。
原文の確認に関する付記
PDF80頁と89頁。原論文の関数環は有界連続実関数を扱う。証明および歴史的初出は独立検証していない。
原本106頁・§20
定理の条件 20.4（条件3のコンパクトHausdorff値域への延長）
partial-statement-through-coordinate-extension
Čech, Eduard，On Bicompact Spaces（1937）
本書の主張の要約
コンパクトHausdorff値域への連続写像を，指定されたコンパクト化へ延長する性質を扱う．
原文献の対応箇所
Chapter II, characterization by (1)–(4) and (4′)・原文献831,833頁
β(S)はコンパクトHausdorff稠密拡張で有界連続関数を延長する。他のコンパクト化へのS上恒等の連続写像が存在し、延長性があれば同相。延長性は完全分離集合の閉包分離性で置換できる。
比較の付記
既存Čech1937の有界実関数延長性（本書条件2）から条件3へ還元する。コンパクトHausdorff空間Yを閉部分空間としてI^Jへ埋め込む。f:X→Yの各座標をalphaXへ延長し、それらをまとめた連続F:alphaX→I^Jを取る。XはalphaXに稠密、Yは閉なのでF(alphaX)⊂cl(F(X))⊂Y。これでYへの延長を得る。逆に条件3でY=Iを取れば条件2。これは本調査の明示的補足であり、Čech原論文にこの座標による証明が同じ形で記載されるとの主張ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書106頁の条件3と証明(2)⇒(3)を原文閲読。Čech1937の既存関数延長対応に、コンパクトHausdorff値域の座標埋め込みによる還元を補足。
留保
条件4–6および七条件全体は未認定。初出・歴史帰属は未確認。
原文の確認に関する付記
PDF10頁と12頁を閲読。関数延長性・極大性・閉包分離による特徴付けの主張照合。証明の独立監査は未実施。
原本106頁・§20
定理の条件 20.4（条件4・5）
partial-statement-via-explicit-zero-set-localization
Čech, Eduard，On Bicompact Spaces（1937）
本書の主張の要約
零集合の交差とcozero集合の有限和を，コンパクト化での閉包・開延長がどう保つかを扱う．
原文献の対応箇所
Chapter II, characterization by (1)–(4) and (4′)・原文献831,833頁
β(S)はコンパクトHausdorff稠密拡張で有界連続関数を延長する。他のコンパクト化へのS上恒等の連続写像が存在し、延長性があれば同相。延長性は完全分離集合の閉包分離性で置換できる。
比較の付記
既存Čechの関数延長性から、互いに交わらないゼロ集合E=f^{-1}(0),F=g^{-1}(0)にはh=f/(f+g)の延長を用い、閉包が交わらないことを得る。一般のE,Fでp∈clE∩clFなら、pの任意の近傍Wの内側にゼロ近傍Hを選ぶ（コンパクトHausdorffの完全正則性）。pはcl(H∩E)とcl(H∩F)の両方に属するためH∩E∩Fは空でない。従って全てのWがE∩Fと交わりp∈cl(E∩F)。逆包含は自明で条件4を得る。逆に条件4は互いに交わらないゼロ集合の閉包分離を含み、完全分離された集合A,Bはそれぞれ連続関数の0集合・1集合に含まれるので既存Čechの完全分離集合閉包分離による特徴付けを満たす。よって条件4は極大性と同値。O(U)=alphaX\cl(X\U)としてU,VがcozeroならE=X\U,F=X\Vはゼロ集合で、De Morgan則により条件4は条件5と同値。この補足は本調査の明示的還元であり、原論文に七条件が同じ形で列記されるとの主張ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書106–107頁の原文で条件4,5とその局所化・De Morgan則を確認。Čech1937の既存関数延長・完全分離特徴付けとの明示的還元。
留保
印刷条件6の無制限正規被覆版はN離散の反例があるため七条件全体への昇格はしない。有限版の原文献記載、初出・著者意図・公刊正誤表は未確認。
原文の確認に関する付記
PDF10頁と12頁を閲読。関数延長性・極大性・閉包分離による特徴付けの主張照合。証明の独立監査は未実施。
原本111頁・§20
定理 20.8
旧用語の定義を確認した定理の主張対応
Alexandroff, Paul，Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume（1924）
本書の主張の要約
局所コンパクトHausdorff空間が非コンパクトなら，一点を加えてコンパクト化できる．
原文献の対応箇所
§2 Fundamentalsatz1・原文献296頁
局所bikompaktで非bikompaktな空間は1点の追加でbikompakt空間に完備化でき、その方法は一意。
比較の付記
引用先Alexandroff–Urysohn1924の259頁SatzI(C)は任意の開被覆に有限部分被覆がある条件、260頁はこれと同値な条件を持つ空間をbikompaktと呼ぶ。原論文294頁の局所性は近傍閉包がbikompaktであること。296頁の構成は拡張がHausdorff近傍公理を満たすと明記。元の空間の開集合と閉bikompakt集合の補集合から追加点の近傍を作る構成は本書のものに対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書111頁、原論文294–297頁と引用先258–260頁の原文による定理・用語対応。
原文の確認に関する付記
原論文の一意性の追加結論は本書20.8の定理文に含まれない。独立の証明監査は未実施。全文PDF取得と全頁閲読は区別する。
原本111頁・§20
定義 20.9（有限束・正規分離条件）
partial-definition
Gagrat, M. S. and Naimpally, S. A.，Wallman compactifications and Wallman realcompactifications（1973）
本書の主張の要約
閉集合族に課す，有限演算への閉性と，互いに交わらない元の分離条件を説明する．
原文献の対応箇所
§2 Preliminaries, definition of normal base・原文献418頁
閉集合のringであるseparating baseは、互いに素な二元を補集合の側から分離できるときnormal baseという。
比較の付記
本書20.9(2),(3)は原論文418頁のringとnormal baseの正規分離条件に対応する。原論文は別途closed baseと二基底元による点・閉集合分離を要求するため、本書(1)との同値は未認定。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
正規基底の有限束・正規分離条件の対応。
留保
正規基底の全定義の逐語的一致、1938年原論文への直接対応、初出および独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
原論文417–419・427頁と本書111–113頁を閲読。
原本111頁・§20
定義 20.9（閉集合基底を前提とする範囲）
definition-under-additional-closed-base-premise
Alo, R. A. and Shapiro, H. L.，A note on compactifications and semi-normal spaces（1968）
本書の主張の要約
閉基底を前提に，点・閉集合の分離と，有限演算・正規性の条件を組み合わせる．
原文献の対応箇所
Definitions: disjunctive, ring, separating, normal base・原文献103頁
閉集合基底がdisjunctiveかつringかつseparatingであるときnormal baseという。
比較の付記
原論文102・103・108頁を確認。103頁のdisjunctiveは点を含み任意の閉集合と交わらない基底元の存在、ringは有限和・共通部分、separatingは互いに素な二元を補集合で分離する条件で、本書20.9(1)–(3)にそれぞれ対応する。ただし原論文はclosed baseを別途前提にする。本書20.9の三条件だけからその前提を導く照合は未実施。102頁は正規基底によるWallman型構成をFrinkに帰属させ、108頁[2],[10]でFrink1964とWallman1938を引用する。全文読了・初出認定・独立証明監査は未実施。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
明示された三条件の対応。原論文の追加closed-base前提を保持。
留保
閉集合基底前提と本書三条件だけの同値、20.11構成全体、歴史的初出は未認定。
原文の確認に関する付記
原論文102・103・108頁と本書111頁を閲読。
原本112頁・§20
構成 20.9–20.10（閉基底を別途前提とする範囲）
original-paper-image-collation
Frink, Orrin，Compactifications and Semi-Normal Spaces（1964）
本書の主張の要約
正規閉基底の極大フィルターを点として，Hausdorffなコンパクト化を組み立てる．
原文献の対応箇所
Definitions, Theorem1・原文献603–604頁
正規閉基底の極大フィルターを点として，Hausdorffなコンパクト化を組み立てる．
比較の付記
有限和・共通部分、disjunctive、互いに素な元の分離、Z-ultrafilterと開集合U*、点を含む元の族による埋め込み、コンパクトHausdorff性の構成を照合。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
有限和・共通部分、disjunctive、互いに素な元の分離、Z-ultrafilterと開集合U*、点を含む元の族による埋め込み、コンパクトHausdorff性の構成を照合。
留保
Frinkはclosed baseを別途要求。本書20.9の三条件のみから閉基底性を得る移行は未認定。
原文の確認に関する付記
原PDFを保存。Frink602–607頁またはBorges–Lutzer34–40頁の論文全頁を原文閲読。LNM375全巻読了・独立証明監査ではない。
原本112頁・§20
構成 20.9–20.12(2)（全閉集合を用いる正規空間の場合、最大性を除く）
original-announcement-special-case-construction
Wallman, Henry，Lattices and Bicompact Spaces（1937）
本書の主張の要約
正規空間の全閉集合を使い，極大フィルターからコンパクト拡張と埋め込みを作る．最大性は対象外．
原文献の対応箇所
Theorem2, SpecialCase, construction on165・原文献164–165頁
全閉集合の束の極大有限交叉系によるコンパクトT1拡張。元空間が正規であることと拡張がHausdorffであることが同値。
比較の付記
165頁の極大有限交叉系は閉集合束の極大フィルターとして読め、基本閉集合は本書20.9(6)の{ξ:F∈ξ}と対応する。ordinarypointは元の点を含む全閉集合の族であり、本書の埋め込みと同形式。全閉集合族と正規T1空間の限定場合に比較する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書112–113頁の全閉集合を用いる正規空間の場合の構成・埋め込み・コンパクトHausdorff性。
留保
本書20.11の一般の正規基底、Wallman型という名称、20.12(2)の最大性、原著1938の全証明は認定しない。
原文の確認に関する付記
短報164–165頁の論文部分を全体確認。本書112–113頁も再確認。
原本113頁・§20
定義 20.11（Wallman型という名称の対応）
名称と構成形式の対応
Alo, R. A. and Shapiro, H. L.，A note on compactifications and semi-normal spaces（1968）
本書の主張の要約
正規基底の極大フィルター空間から得られるコンパクト化を，Wallman型と名付ける．
原文献の対応箇所
IntroductionとDefinitions・原文献102–103頁
正規閉基底の超フィルター空間から得られるHausdorffコンパクト化をWallman-type compactificationと呼び、正規基底による一般化をFrinkへ帰属させる。
比較の付記
本書113頁のWallman型は名称を定義する文であり、Wallman本人が正規基底一般化を発見したと述べる文ではない。Alo–Shapiro102頁は正常な閉基底から得るWallman spacesの形のコンパクト化をWallman-typeと呼び、103頁で超フィルターと開閉基底を記す。本書のwXという表記と原論文ω(L)の表記差を区別する。閉基底前提が満たされる範囲で構成形式と名称が対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書113頁の名称、Alo–Shapiro102–103頁の名称・構成形式・Frinkへの明示的帰属。
留保
本書20.9の三条件から閉基底前提を導けるとは認定しない。離散R上の通常閉集合族の反例を別記録に保持する。全構成の一般的正当性、Wallman1938原文、Frink1964原文、歴史的初出と独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
上記各頁を原文閲読。
原本113頁・§20
定義 20.11（閉集合基底を前提とする構成）
construction-under-additional-closed-base-premise
Alo, R. A. and Shapiro, H. L.，A note on compactifications and semi-normal spaces（1968）
本書の主張の要約
閉基底を前提に，極大フィルターの空間としてWallman型コンパクト化を表す．
原文献の対応箇所
Definitions: Wallman space and equivalent open base・原文献103頁
正常な閉集合基底のultrafilterを点とし、A*を閉基底とするWallman空間ω(𝒵)。U*はU内の基底元を含むultrafilter全体で、X−U∈𝒵の場合の開基底。
比較の付記
本書112頁の点集合・開基底O(U)・点xをそれを含む全基底元のultrafilterへ写す埋め込みが、原論文103頁のω(𝒵), U*, h(x)に対応する。原論文のclosed-base前提は保存し、本書20.9の三条件のみとの同値は認定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
追加closed-base前提のある範囲での超フィルターと開基底・自然な埋め込みの構成。
留保
Frink1964・Wallman1938の原論文自体の直接閲読と独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
Alo–Shapiro原論文102・103頁と本書111–113頁を照合。
原本113頁・§20
corollary 20.13
explicit-statement
Alo, R. A. and Shapiro, H. L.，A note on compactifications and semi-normal spaces（1968）
本書の主張の要約
Stone–Čechコンパクト化も，正規基底によるWallman型の構成で得られる．
原文献の対応箇所
Introduction, paragraph 3・原文献102頁
Frink showed that the Stone–Čech compactification always is a Wallman-type compactification.
比較の付記
本書20.13のβXのWallman型性が原論文102頁に明記される。原論文はこの結果をFrinkに帰属させるが、Frink原論文の直接閲読や初出を意味しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Stone–Čechコンパクト化のWallman型性の明示的な結論。
留保
Frink1964・Wallman1938の原論文自体の直接閲読と独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
Alo–Shapiro原論文102・103頁と本書111–113頁を照合。
原本117頁・§21
定理 21.7
指定した主張の対応を確認
Rudin, Walter，Homogeneity problems in the theory of Čech compactifications（1956）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：この定理の見出しには人名なし
自然数のStone–Čech剰余では，空でない可算開交差の中に空でないclopen集合が見付かる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.3 with the clopen base in §3.1 (reprint p.86)・原文献414頁
N*の可算個の開集合の共通部分は空であるか、空でない開集合を含む。
比較の付記
原論文§3.1はN*の開かつ閉なベースを記す。従ってTheorem 3.3の非空開集合を含むという結論は、本書の非空開かつ閉集合を含むという結論に対応する。原論文の証明もベース要素W(E)を構成している。ここではCHを仮定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
1993年の再録本文を使用。paper.pageは内側の原誌頁、pdf_pageは保存した12頁PDFの位置である。再録外側の頁と混同しない。
原本117頁・§21
定理 21.9
指定した主張の対応を確認
Rudin, Walter，Homogeneity problems in the theory of Čech compactifications（1956）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：W. Rudin
連続体仮説を用いると，自然数のStone–Čech剰余に非常に多数のP点を得られる．
原文献の対応箇所
Theorem 4.2 (reprint p.87); Definition 4.1 on p.414・原文献415頁
CHの下でN*は2^c個のP点をもち、それらはN*で稠密である。cは連続体濃度。
比較の付記
本書21.8と原論文4.1でP点の近傍による定義を確認した。原論文c=2^ℵ₀なので点の個数の表記は一致する。Theorem 4.2の稠密性は本書21.9の主張には含まれず、この対応の範囲外。633頁の訂正はTheorem 4.5への正規性追加であり、4.2に対する訂正ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
指定した定義・仮定・結論を原文で照合。証明全体の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
1993年の再録本文を使用。paper.pageは内側の原誌頁、pdf_pageは保存した12頁PDFの位置である。再録外側の頁と混同しない。
本書内で併せて確認した所在
118，21.9の続き
原文献内で併せて確認した所在
Note of correction (reprint p.92)，633
原本121頁・§22
定理 22.8
原文で主張文・必要な用語を照合（十分条件）
Bacon, Philip，The compactness of countably compact spaces（1970）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bacon（直前の段落）
可算コンパクト空間で，開被覆に対する可算な選択・閉包の条件からコンパクト性を判定する．
原文献の対応箇所
§1 property Lの定義・Theorem 1.1, p.587・原文献587頁
可算コンパクト空間がproperty Lをもてばコンパクトである。
比較の付記
本書の可算部分被覆への写像と和集合の記法は、原論文のω(E)への写像とweakly cushionedの条件に対応する。Theorem 1.1との照合範囲は十分性。本書が併記する必要性はこの定理の主張に含めない。原論文は分離公理を要求せず、本書のT₁規約を満たす範囲を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義と十分条件の主張対応。証明は独立監査していない。
原文の確認に関する付記
本書p.121の定理直前にBaconへの帰属がある。見出し中に括弧付き人名がないため、既存115見出しの抽出には含まれていなかった。
原本123頁・§22
定理 22.10
歴史的用語の定義を併用した主張一致
Novák, Josef，On the Cartesian product of two compact spaces（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Novak
自然数のStone–Čechコンパクト化を，共通部分が自然数だけの二つの可算コンパクト部分空間で覆う．
原文献の対応箇所
Theorem3・原文献110頁
β(N)内の二つのcompact部分空間A1,A2でA1∩A2=N、A1∪A2=β(N)となるものが存在する。
比較の付記
原論文106頁脚注2はcompactを可算開被覆に有限部分被覆がある空間と定義し、通常のコンパクト性をbicompactと区別する。この定義で110頁Theorem3は本書22.10の可算コンパクトな二つの部分空間、共通部分N、和βNの三条件と一致する。110–111頁はβN内の可算無限部分集合を列挙し、超限帰納的に別々の集積点を割り当てる構成を記載する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書123頁、原論文106頁の定義と110–111頁の定理文・構成を原文で確認
原文の確認に関する付記
compactを本書のコンパクトと読み替えず可算コンパクトとして照合。
原本123頁・§22
例 22.11
同じ部分空間と対角集合による例の対応
Novák, Josef，On the Cartesian product of two compact spaces（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：22.10のNovakの構成を利用
可算コンパクトな二つの部分空間でも，その積では可算コンパクト性が失われる例．
原文献の対応箇所
Theorem4・原文献111頁
二つのcompact regular空間の積はcompactとは限らない。Theorem3のA1,A2と自然数の対角集合で例を構成する。
比較の付記
原論文111頁Theorem4は直前Theorem3で作ったA1,A2の積を用い、D={(n,n):n∈N}が積内で集積点を持たないことからcompactではないとする。106頁脚注2のcompactは可算コンパクトを意味する。本書22.11も22.10のE,Fの積と同じ対角集合Hを使い、閉離散性から可算コンパクトでないと述べる。構成と結論が対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文111頁のTheorem4と本書123頁の22.11を原文で照合
原文の確認に関する付記
22.10とは別に、積の例と対角集合の対応を登録。証明監査ではない。
原本123頁・§22
例 22.12
原論文の例と非擬コンパクト性への追加推論
Terasaka, Hidetaka，On Cartesian product of compact spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Terasaka
一つの可算コンパクト空間を二乗しても，擬コンパクト性すら保たれない例．
原文献の対応箇所
§3 isolated points; §4 final construction・原文献14頁
可算コンパクトRを構成し、R×R内の孤立点の対Q={(q1,q2),(q3,q4),…}が集積点を持たないことを示す。明記結論は非可算コンパクト性。
比較の付記
13頁§3でqnは孤立点と定義され、14頁§4でRは可算コンパクト、対の集合Qは平方内で集積点を持たないと述べる。従って各対の一点集合は開で、Qの外の各点はQを避ける近傍を持ち、Qの各点は孤立する。Qは開閉離散である。第n対にn、Qの外に0を与える実関数は連続かつ非有界。したがって同じ原論文のR×Rは非擬コンパクトでもある。本書はβNの交換写像で異なる表現の例を構成し、開閉離散集合から非擬コンパクト性を結論する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文13–14頁と本書124頁を確認。例の存在の結論は原論文から上記追加推論を経て対応。
留保
二つの構成の空間そのものの同一性や同相性は主張しない。非擬コンパクト性は原論文の明記結論ではなく、孤立点の対の無集積性からの追加推論。原論文の超限構成全体の証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文の一段平行移動と本書の交換写像を同一視しない。原論文の構成が与える存在命題と、本書の強化された結論との橋渡しを記録。
原本125頁・§23
命題の限定範囲と証明構成 23.3(1)（無限完全正則T1、全体有界fの場合）
補助関数と証明手順の対応
Tamano, Hisahiro，A note on the pseudo-compactness of the product of two spaces（1960）
本書の主張の要約
零集合の射影が閉じる性質から，有界関数の切片が一様距離に関して連続に変わることを導く．
原文献の対応箇所
Theorem 1 proof (a)⇒(c), first continuity step・原文献226頁
各xの切断F_xにより関数空間への写像を作り、ゼロ集合射影の閉性から連続性を示す。
比較の付記
両者ともε−min(ε,|F(x,y)−F(x0,y)|)を作り、そのゼロ集合の射影を避けるx0の近傍上で一様差を評価する。同じ構成である。原文の全体有界Fと無限完全正則T1規約に限定して比較。本書は各切断の有界性のみで述べ、原文より広い。原文(a)の因子擬コンパクト性はこの連続性の段階では使用されず、次のcompact像を得る段階で使用される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書125頁と原誌226頁の原文比較による、限定範囲の命題および連続性を得る証明構成。
留保
本書23.3(2)や23.4および23.5全証明のTamanoへの帰属をこの記録だけで認定しない。
原文の確認に関する付記
原論文225–230頁全6頁を原文閲読。本書原文の当該比較は125頁。
原本125頁・§23
命題の一部 23.3(2)
指定した主張の対応を確認
Glicksberg, Irving，Stone-Čech Compactifications of Products（1959）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：この命題の見出しには人名なし
完全正則な積空間の擬コンパクト性が，連続実関数の切片を一様距離で連続に変化させる．
原文献の対応箇所
Lemma 1, consequence after interchanging X and Y (reprint p.70)・原文献372頁
X×Yが擬コンパクトでf∈C(X×Y)なら、y↦f(·,y)はYからC(X)への連続写像。
比較の付記
原論文370頁のC(X)は有界連続実関数のBanach空間で、本書のC*(X)に対応する。原論文のX,Yを入れ替えると本書のξfになる。本書のこの条件では擬コンパクト性によりfは全体で有界なので、原論文の有界性の仮定も満たす。ゼロ集合の射影を用いる23.3(1)はこの記録の範囲外。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定した定義・仮定・結論の対応。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書125頁のξf・上限距離の定義、原論文369–370頁のC(X)の意味と372頁のLemma 1を原文で確認。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本126頁・§23
補題 23.4
指定した主張の対応を確認
Frolík, Zdeněk，The topological product of two pseudocompact spaces（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：125頁に節の証明をFrolíkとTamanoに帰する記述
無限完全正則空間の積が擬コンパクトでないとき，局所有限で互いに交わらない開長方形の列を得る．
原文献の対応箇所
Lemma 1.2・原文献340頁
無限完全正則空間X,Yの積が擬コンパクトでなければ、空でない基本開集合Un×Vnの局所有限列があり、{Un}と{Vn}はそれぞれ互いに素。
比較の付記
空間の無限性・完全正則性、積の非擬コンパクト性、各成分列の互いに素という条件、および積の列の局所有限性が対応する。 原誌340–341頁の証明も確認。非擬コンパクト因子の場合分けと、両因子擬コンパクトの場合の互いに素な成分列への二段階の細分が対応。本書は固定した集積点と有限添字集合を明示、原文は補助主張1.2.1へ分ける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定した定義・仮定・結論の対応。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書126頁の補題と125頁の帰属、原論文339頁の空間の規約と340頁のLemma 1.2を原文で確認。PDF先頭はDML-CZの利用条件頁なので原誌340頁はPDF第3頁。 2026-10-10に原誌340–343頁と本書126–127頁の証明原文も比較。独立証明監査ではない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
125，証明の帰属とξfの記号
原本127頁・§23
定理の一部 23.5(1)⇔(2)
指定した主張の対応を確認
Frolík, Zdeněk，The topological product of two pseudocompact spaces（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Glicksberg（125頁に証明のFrolík・Tamanoへの帰属）
無限完全正則な二因子では，積の擬コンパクト性がStone–Čechコンパクト化と積の交換を特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 2.1(1)⇔(2)・原文献342頁
無限完全正則空間X,Yについて、X×Yの擬コンパクト性とβ(X×Y)=βX×βYは同値。
比較の付記
本書の(1),(2)は原論文の(2),(1)に順序を入れ替えて対応する。原論文Theorem 2.1(3)の有限長方形被覆の条件は本書23.5(3)のゼロ集合射影の条件とは異なる。本書(3),(4)はこの記録で照合していない。 原誌342頁(3)⇒(1)と本書127–128頁(1)⇒(2)は、局所有限な互いに素の矩形列上の連続関数和と有限被覆での振動幅矛盾を共有する。原文は有限矩形被覆条件を挟み、本書はcompact化上の擬距離球被覆を直接使う。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定した定義・仮定・結論の対応。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文342頁のTheorem 2.1を原文で確認。343頁のTheorem 2.2は両因子の擬コンパクト性と二つの関数空間写像を仮定するため、本書(4)とそのまま同一と扱わない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
125，証明の帰属とξfの記号
原本127頁・§23
定理の一部 23.5(1)⇔(2)
指定した主張の対応を確認
Glicksberg, Irving，Stone-Čech Compactifications of Products（1959）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Glicksberg
無限完全正則な二因子では，積の擬コンパクト性がStone–Čechコンパクト化と積の交換を特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1, specialized to two factors (reprint p.69)・原文献371頁
各因子を除く部分積が常に無限である完全正則空間族について、β(∏Xα)=∏βXαと積の擬コンパクト性は同値。
比較の付記
二因子の場合、各因子を除いた部分積が無限という仮定はXとYが共に無限という仮定になる。原論文369頁脚注2の等号は、もとの積空間を固定するコンパクト化としての同一視を表し、本書の等号と対応する。本書23.5の四条件のうち(1)と(2)だけをこの記録で照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定した定義・仮定・結論の対応。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
所蔵の1993年再録本文を使用。内側の原誌369・371頁を確認し、外側の再録67・69頁と区別した。125頁の証明帰属から、本書の提示する証明をGlicksbergの証明そのものと同一視しない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
125，証明の帰属とξfの記号
原本129頁・§23
命題の限定範囲と証明構成 23.5(1)⇒(3)（因子擬コンパクト性以後）
証明構成の原文比較
Tamano, Hisahiro，A note on the pseudo-compactness of the product of two spaces（1960）
本書の主張の要約
積のコンパクト化への延長を使い，零集合を射影した結果が閉じることを示す段階を扱う．
原文献の対応箇所
Theorem1 proof (d)⇒(a), zero-set projection step・原文献228頁
擬コンパクト因子上の零集合の射影とcompact化上の零集合射影を比較する。
比較の付記
βX×βYへの延長の零集合をX×βYへ制限して射影を比較する。Y上で非零なのに剰余点で零となる切断の逆数は非有界となり、Yの擬コンパクト性に矛盾する。原文は逆数の二乗を使い、本書は逆数を使う。閉性を得る射影の記述にも差がある。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
無限完全正則T1の両因子が擬コンパクトである段階以後の、射影零集合の閉性を得る構成。
留保
本書(1)⇒(2)で因子擬コンパクト性を得る前段階、および23.5全証明の帰属は未認定。
原文の確認に関する付記
Tamano1960原誌225–230頁全6頁、本書125・128・129頁を原文閲読。証明手順の文献対応であり独立証明監査ではない。
原本129頁・§24
定義（閉被覆に関する弱位相） 24.1
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Whitehead（用語名）
閉被覆の要素ごとの開性で位相を判定する，Whiteheadの弱位相を定める．
原文献の対応箇所
537頁冒頭の無番号の定義・原文献537頁
閉被覆の任意の部分族の和集合が閉で、その和集合の部分集合が各被覆要素上で相対的に開なら和集合内で開となるとき、この被覆に関してweak topologyを持つという。
比較の付記
任意の部分族に課す二条件が本書24.1(1),(2)と一致する。原論文が明記しない開集合の制限の方向は部分空間位相の性質である。被覆全体についてのみ閉性を判定する通常の弱位相条件と混同しない。原論文はWhiteheadのCW複体を例示するが、この記録は定義の一致に限定する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
閉被覆に関する定義の二条件を原文で照合。他の性質の検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定義の対応だけを確認。Whiteheadによるこの一般的定義の初出、全ての付随する性質、著者の直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本書129頁と原論文537頁冒頭を確認。Whiteheadという名称の歴史的出典の確定ではない。
原本129頁・§24
補題 24.2
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
閉被覆に関するWhitehead弱位相では，写像の連続性を被覆要素ごとの制限で判定できる．
原文献の対応箇所
Lemma 2・原文献537頁
閉被覆について弱位相を持つXから位相空間Yへの写像fが連続であることと、各被覆要素への制限が連続であることは同値。
比較の付記
537頁冒頭の定義を本書24.1と照合した上で、閉被覆の要素上の制限による連続性の同値条件を対応させる。Lemma 2の文は537頁末から538頁冒頭に続く。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
補題の仮定と主張の照合。証明の独立検証や初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書129頁、原論文537–538頁の原文で定義とLemma 2の全文を確認。
原文献内で併せて確認した所在
538，Lemma 2の続き
原本129頁・§24
命題 24.3
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
閉被覆が局所有限なら，その被覆から全空間のWhitehead弱位相を復元できる．
原文献の対応箇所
Lemma 1・原文献537頁
位相空間の局所有限閉被覆に関して、その空間は弱位相を持つ。
比較の付記
局所有限な閉被覆という仮定と、537頁冒頭で定義された弱位相を持つという結論が本書24.3と一致する。原論文のneighborhood finiteはlocally finiteの言い換えとして明記されている。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
仮定と結論の対応に限定。証明の独立検証や著者の直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本書129頁と原論文537頁の定義・Lemma 1を確認。
原本130頁・§24
定理（正規性の三種類） 24.4
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
閉被覆に関するWhitehead弱位相では，要素ごとの三種類の正規性を全空間へ引き継げる．
原文献の対応箇所
Theorem 2の正規性の部分およびTheorem 3・原文献538頁
閉被覆について弱位相を持つXは、各被覆要素がnormalならnormalであり、各要素がcompletely normalまたはperfectly normalならそれぞれ同じ性質を持つ。
比較の付記
Theorem 2の最初の結論を正規性に、Theorem 3を完全正規性と継承的正規性に対応させる。本書27頁のcompletely normalは継承的正規、36頁のperfectly normalは完全正規であり、訳語を区別する。原論文539頁の説明で前者は開部分空間の正規性、後者は正規性と開集合のFσ性として用いられていることを確認した。Theorem 2の次元の上界に関する追加結論は本書24.4の定理文には含まれない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
正規性三種類の主張の対応だけを確認。次元の結論、証明の逐行照合・独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書27・36・129–130頁、原論文537–539頁の原文で定義・用語・定理を確認。
本書内で併せて確認した所在
27，8.1の正規性・継承的正規性とT₁規約
36，9.15の完全正規性
129，24.1の定義
原文献内で併せて確認した所在
537，弱位相の定義
539，Theorem 3と正規性の用語
原本130頁・§24
定理 24.5
後年一次研究論文に明記された一般形
Buhagiar, David，The Tamano Theorem in MAP（1999）
本書の主張の要約
コンパクト化との積が正規になることによって，Hausdorffなパラコンパクト性を判定する．
原文献の対応箇所
Theorem5.1(1),(4) and following attribution paragraph・原文献1287頁
Tychonoff空間Xについて、パラコンパクト性とあるコンパクト化bXについてX×bXが正規であることが同値。一般版をMorita[14]とTamano[19]へ帰属する。
比較の付記
本書のコンパクト化を持つXはTychonoff。パラコンパクトHausdorff空間もTychonoffなので、両方向の定義域が一致し、存在量化したコンパクト化bXとαXは同じ範囲。βXの場合だけの限定ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定理24.5の数学的主張全体。後続文献の明示的出典帰属。
留保
Morita1962とTamano1962の原定理直接照合、独立発見・初出の歴史的認定、本書著者の実使用文献は未確認。130頁段落の証明出典全体を確定しない。
原文の確認に関する付記
保存PDF14頁の印刷1287頁を原文閲読。正式書誌755–770頁とのノンブル差を保持。
原本130頁・§24
定理 24.5
一般コンパクト化からの十分性の原定理と既存必要性の組合せ
Morita, Kiiti，Paracompactness and product spaces（1962）
本書の主張の要約
コンパクト化との積が正規になることによって，Hausdorffなパラコンパクト性を判定する．
原文献の対応箇所
Theorem2.7; introduction p224・原文献232頁
完全正則Hausdorff空間Xについて、Xを部分空間として含むコンパクトHausdorff空間Yとの積X×Yが正規ならXはパラコンパクトかつ正規。
比較の付記
あるHausdorffコンパクト化αXを持つXは完全正則Hausdorffであり、Y=αXはTheorem2.7の仮定を満たす。ゆえに積の正規性からXのパラコンパクト性が従う。逆方向の存在性はTamano1960 Theorem2のβX版で既に対応済み。これにより本書24.5の両方向を覆う。原論文224頁導入はこのコンパクトY版の同値を明記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
24.5の一般コンパクト化に関する十分性を原論文Theorem2.7へ直接照合、必要性は既存Tamano1960対応。
留保
Tamano1962原文の直接照合とMorita/Tamano独立発見の歴史認定は未了。130頁紹介段落全体の証明出典確定ではない。
原文の確認に関する付記
Morita232–233頁PDF6と本書130頁を原文閲読。2.7証明はTheorem2.4の証明におけるI^mをYへ置き換える還元を記す。2.4全証明の独立監査は実施していない。
関連する対応
原本130頁・§24
定理 24.5
Stone–Čechコンパクト化の場合に限定
Tamano, Hisahiro，On paracompactness（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Tamano
コンパクト化との積が正規になることによって，Hausdorffなパラコンパクト性を判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 2・原文献1046頁
Tychonoff空間XはパラコンパクトであることとX×βXが正規であることが同値。
比較の付記
原論文Theorem 2はTychonoff空間XについてXがパラコンパクトであることとX×βXが正規であることの同値性を述べる。本書24.5のコンパクト化をβXとした範囲に対応する。一般のあるコンパクト化αXからの十分性をこの定理文だけで照合済みとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で本書130頁と原論文1046頁の主張を比較。Tychonoff空間とStone–Čechコンパクト化の範囲。
留保
本書の任意の選択されたコンパクト化αXに関する十分性は未照合。独立した証明検証は行っていない。
原文の確認に関する付記
本書130頁と原論文1046頁PDF5を原文で確認。Tychonoffという規約は1044頁の抽出本文で確認。
原本130頁・§24
叙述 prose-130-21
本文紹介の結果と証明方針への複数原資料対応
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings. II（1954）
本書の主張の要約
閉被覆からパラコンパクト性を引き継ぐMoritaの結果と，Tamanoの判定を用いる証明に触れる．
原文献の対応箇所
Theorem1 and §2 Proof of Theorem1 opening; supplemented by Morita1962 Theorem2.7 and Buhagiar1999 Theorem5.1・原文献713頁
各閉被覆要素のパラコンパクト正規性から全空間のそれを導くTheorem1。713頁の証明冒頭は任意の開被覆の局所有限細分を超限帰納法で構成すると明記。
比較の付記
Moritaの結果は既存24.6対応により確認。713頁に局所有限細分を直接構成する方針があり、本書の直接的な証明という説明に対応。続く24.5の特徴付けはMorita1962 Theorem2.7の一般コンパクト化版十分性とTamano1960 Theorem2のβX版必要性で数学的範囲を覆う。Buhagiar1999 Theorem5.1後の段落はβX版をTamano1960、一般版をMorita1962およびTamano1962へ明示帰属し、本書のTamanoという紹介への後年引用経路を確認。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
130頁紹介段落の数学的結果とMorita原論文に記載された証明方針、および後続文献でのTamanoへの明示的帰属。
留保
証明全体の独立検証ではない。Tamano1962の原文は未取得。著者の実使用資料、独立発見・歴史的最初、段落の評価語の客観的認定は主張しない。
原文の確認に関する付記
本書130頁、Morita1954の713頁、Morita1962の232頁、Buhagiar1999保存版1287頁を原文で確認。
関連する対応
原本131頁・§24
定理 24.6
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings. II（1954）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Morita
閉被覆に関するWhitehead弱位相で，各要素のパラコンパクトHausdorff性を全空間へ引き継ぐ．
原文献の対応箇所
Theorem 1（各被覆要素から全空間への方向）・原文献711頁
閉被覆について弱位相を持つXがパラコンパクトかつ正規であることと、各被覆要素がパラコンパクトかつ正規であることは同値。
比較の付記
本書27頁のT₁規約の下で、17.1により各要素のパラコンパクトT₂性から正規性を得る。Theorem 1の各要素から全空間への方向を適用するとXはパラコンパクト正規で、T₁と正規性からT₂となるため本書24.6に対応する。原論文は逆方向も含む同値定理として記している。713頁の証明冒頭は局所有限細分を超限帰納法で作る方針であり、本書132頁のTamano定理を用いる証明とは別である。1953年のTheorem 4には各要素の距離化可能性という追加仮定がある。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
Theorem 1の指定方向の主張を照合。証明の独立検証、Tamano 24.5のコンパクト化の一般形、著者の直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本書27・80・129–132頁と原論文711・713頁を確認。正規性の用語とT₁規約を明示して対応させた。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
80，17.1：パラコンパクトT₂空間は正規
129，24.1の弱位相の定義
130，24.4後のMoritaへの言及
132，24.6の本書の証明
原文献内で併せて確認した所在
713，Theorem 1の証明方針
540，1953年のTheorem 4のより強い仮定
原本132頁・§24
補題（YがコンパクトHausdorffの場合） 24.7
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti，On Spaces Having the Weak Topology with Respect to Closed Coverings（1953）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Whitehead弱位相を持つ閉被覆は，コンパクトHausdorff空間との積でも対応する弱位相を与える．
原文献の対応箇所
Lemma 3（YがコンパクトHausdorffの場合）・原文献538頁
Xが閉被覆について弱位相を持ち、Yが局所コンパクトHausdorffなら、X×Yは各被覆要素とYとの積からなる閉被覆について弱位相を持つ。
比較の付記
コンパクトHausdorff空間は局所コンパクトHausdorffなので、その場合の本書24.7がLemma 3の特別な場合に当たる。本書の補題文にはT₂が明記されておらず、一般規約はT₁である。したがってコンパクトなT₁空間すべてへの対応は認定しない。本書24.6の証明で積の相手となるコンパクト化への適用とは区別して、この仮定の差を保持する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
YがコンパクトHausdorffの場合に限定。本書のT₁コンパクト空間全体の主張や証明の妥当性は未検証。
原文の確認に関する付記
本書27・129・132頁と原論文537–538頁を確認。Hausdorff仮定の差を残した部分対応。
本書内で併せて確認した所在
27，一般規約はT₁
129，24.1の定義
原文献内で併せて確認した所在
537，弱位相の定義
原本133頁・§25
定理（積因子の変換を伴う対応） 25.4
原論文の特徴付けと積因子変換による対応
Morita, Kiiti，Paracompactness and product spaces（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Morita
重さmの空間のパラコンパクト正規性を，指定されたDのm乗との積の正規性で捉える．
原文献の対応箇所
Corollary2.6・原文献232頁
濃度≤mの開ベースを持つ空間Xがパラコンパクト正規 iff X×I^m正規。
比較の付記
原論文の積因子はI^mであり、本書のD^mとは文字通り一致しない。無限mではD^m⊂I^mの閉埋め込みと、二進展開の積によるD^(omega×m)→I^mの連続全射（omega×m=m）を使う。後者とid_Xの積はコンパクトファイバーにより閉写像なので、両積の正規性は同値。本書27頁の第2章以降T1という規約の下、有限ベースの場合Xは有限離散となり有限濃度の場合も成立する。したがって本書の特徴付けは原論文系2.6とこの変換により対応する。変換部分はagentによる導出でありMoritaの定理文として引用しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書133頁・27頁と原論文232頁を原文で確認。積因子の変換は別記したagent導出。
原文の確認に関する付記
直接の文面一致と変換による対応を区別。導出記録 保存した調査資料。
原本134頁・§25
定理(2)のHausdorff因子の場合 25.6(2)
定理IIと稠密性による限定範囲の導出
Mazur, S.，On Continuous Mappings on Cartesian Products（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Mazur
完全可分な因子の積上の連続実関数は，可算個の座標で決まる．照合はHausdorffの場合に限る．
原文献の対応箇所
TheoremII; definitions pp.234–235・原文献236頁
Hausdorff第2可算因子の積の可算支持・投影不変部分空間上で、逐次連続写像は可算座標に依存する。
比較の付記
本書14頁で完全可分は第2可算と定義される。原論文TheoremIIを可算支持の稠密部分空間Sigma(a)へ適用し、選ばれた可算座標P以外を基準点に固定する連続切断s_Pからg=f∘s_Pを作る。fとg∘pi_PはSigma(a)で一致し、実数値の連続関数なので全積でも一致する。この拡張はagent導出として区別し、原論文TheoremIIIの濃度条件を無断で削除したものとは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書134頁と完全可分の定義14頁、原論文234–236頁を原文確認。全積への移行はagent導出。
留保
25.6(2)のHausdorff因子の場合のみ。(1)のコンパクト因子と(2)の非Hausdorff因子は未照合。
原文の確認に関する付記
導出はsigma-to-product-bridge.jsonに保存。
原本134頁・§25
主張 25.7
later-restatement-with-indexed-family-bridge
Monk, J. D.，Set theory following Jech（2024）
本書の主張の要約
非可算正則濃度の有限集合族から，同じ濃度で共通の交差を持つ部分族を取り出すΔ系の原理．
原文献の対応箇所
Theorem 9.20 and preceding Δ-system definition・原文献77頁
非可算正則濃度κ、有限集合族Aの濃度≥κなら濃度κのΔ-system部分族が存在する。
比較の付記
κの一般性と有限集合の条件が一致。Δ-systemの共通根は少なくとも二元ある部分族の全交差に一致する。本書は重複を許す添字族であるため、同じ有限集合がκ回現れるならその添字だけを選ぶ。そうでない場合、κの正則性により相異なる集合がκ個あり、それらに原文の定理を適用して対応する添字を選べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書25.7の主張全体の後年の定式化との対応。
留保
歴史的帰属、Shaninの原文の一般性、本書著者が用いた出典は未認定。独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書134頁とMonkの表紙・77頁を閲読。原典Shanin1946/1948の本文は未確認。
原本137頁・§25
主張 25.12（Hausdorffな値域の範囲）
partial-statement
Engelking, R.，On functions defined on Cartesian products（1966）
本書の主張の要約
コンパクトHausdorffまたは第二可算な因子のΣ積では，HausdorffなGδ対角の値域への写像が可算座標で決まる．
原文献の対応箇所
Theorem 1; definition of Σ(a) p.222; Remark 2 p.224・原文献224頁
有限部分積がLindelöfであるT1因子のΣ積からHausdorffかつGδ対角を持つYへの連続写像は可算座標に因子分解し、全積へ連続拡張できる。
比較の付記
原論文Theorem 1は各有限部分積がLindelöfであるT1因子、HausdorffかつGδ対角を持つYについて、Σ積上の連続写像が可算座標への射影を通じて因子分解し、全積へ連続拡張できると述べる。本書25.6(1)の有限部分積はコンパクト、(2)の有限部分積は第二可算であり、いずれもLindelöfである。原論文222頁のΣ積は基点と異なる座標が高々可算という定義で本書のΣ積と一致する。本書25.12はYのHausdorff性を明記しないため、HausdorffなYの場合だけを照合済みとする。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Hausdorffな値域に限定した定理文の対応。
留保
非Hausdorffな値域に対する本書25.12全体との一致は未認定。初出や本書著者が使用した版は認定しない。 原論文225頁冒頭でΣ0(a)の稠密性と連続性からΣ(a)全体の等値性へ移す段階は、Hausdorff値域による等値集合の閉性で正当化される。T1+Gδ対角はその閉性を保証しない（可算余有限位相の明示例を別記）。別証明による一般化の不成立は主張しない。
原文の確認に関する付記
原論文222–225頁（PDF2–3の両側）と本書134・137頁を閲読。証明全体の独立監査ではない。
原本153頁・§27
定理 27.12(1)
コンパクトHausdorff空間βXにおける閉集合とコンパクト集合の言い換え
Tamano, Hisahiro，On paracompactness（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Tamano
完全正則空間のパラコンパクト性を，Stone–Čech剰余の閉集合を避ける局所有限開被覆で捉える．
原文献の対応箇所
Corollary of Theorem 1・原文献1046頁
Xがパラコンパクトであることと、βX∖Xの各コンパクト部分集合Fに対し、各要素のβXでの閉包がFと交わらないXの局所有限開被覆が存在することは同値。
比較の付記
βXはコンパクトHausdorffなので、βXで閉かつ剰余に含まれるFと、剰余のコンパクト部分集合Fは同じ範囲を動く。原論文冒頭のTychonoff空間の文脈で比較した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による指定箇所の定理文・条件・結論の照合
原文の確認に関する付記
照合したのは27.12の条件(1)。条件(2)はこの記録の対象外。原論文Theorem 2のβX版と本書24.5の一般のコンパクト化αX版の差も、別項目の注記として残す。
原本154頁・§27
本文 27.13後の本文（Corsonのパラコンパクト性判定への帰属）
本文の帰属と後続論文の明示引用の対応
Howes, Norman R.，On completeness（1971）
本書の主張の要約
一様構造とフィルターを用いる，Corsonによるパラコンパクト性の判定を予告する．
原文献の対応箇所
Theorem2前のCorsonへの明示的帰属・原文献434頁
T1空間がパラコンパクトであることと全弱Cauchyフィルターが触点を持つ一様構造の存在との同値をCorson[3]へ帰属させる。
比較の付記
本書の予告に続く27.15(1)と同じ判定をHowes434頁がCorsonへ帰属させる。27.15(2)の連続像による判定の網版についてもYuan148頁がCorsonの結果の翻訳と明記する。Yuan150頁[2]はThe determination of paracompactness by uniformities,AJM80(1958)と特定し、1959年の積空間論文[3]とは区別する。Howes参考文献の年の相違は既存注記を保持し、1958原論文を読んだとは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁と後続原論文Howes434頁、Yuan148・150頁の主張帰属と引用の対応。
留保
最初の発見・最早刊行・Corson原文の証明・本書著者の使用原典・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書の該当文を原文確認し、位置を27.13直前から27.13後へ修正。Yuan150頁の文献[2]も原文確認。
関連する対応
原本154頁・§27
定義 27.14
explicit-definition
Howes, Norman R.，On completeness（1971）
本書の主張の要約
フィルターを適切に拡張することで，各一様被覆の一元に収まる集合を得る弱Cauchy性を定義する．
原文献の対応箇所
Lemma proof, Corson definition・原文献433頁
フィルターを適切に拡張することで，各一様被覆の一元に収まる集合を得る弱Cauchy性を定義する．
比較の付記
原論文431・433・434・440頁を確認。433頁Lemmaの証明でCorsonの弱Cauchyフィルターを、各一様被覆について元のフィルターを拡張するフィルターと被覆の一元に含まれるその元の存在により定義し、本書27.14と同じ。434頁冒頭はT₁空間のパラコンパクト性と、その弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つ一様構造の存在の同値をCorson[3]へ明示的に帰属させ、本書27.15(1)の範囲を確認できる。27.15(2)の任意の無触点フィルターを距離空間へ移す条件は未照合。440頁[3]の年は1959と印刷されるがJSTOR原誌80巻1号は1958であり、本書候補Corson1958の年は変更しない。全文読了・Corson原論文自体の閲読・初出認定・独立証明監査ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
弱Cauchy定義の対応。
留保
27.15(2)・Corson原文・初出・独立証明監査は未確認。
原文の確認に関する付記
原論文431・433・434・440頁と本書154頁を確認。
原本154頁・§27
定義 27.14
定義の特定一様構造への特殊化
Ishii, Tadashi，Paracompactness of Topological Completions（1974）
本書の主張の要約
一様被覆ごとにフィルターを拡張し，その元を一つの被覆元に収められる弱Cauchy性を定める．
原文献の対応箇所
Section2 weakly Cauchy definition before Theorem2.1・原文献33頁
最細一様構造μの各正規開被覆について、元のフィルターより強いフィルターが存在し、その元が被覆要素に含まれる。
比較の付記
stronger filterは集合族として元のフィルターを含む意味であり、本書の包含と同じ。論文の言い換えは本書27.14をμに適用した定義。任意の一様構造ではなくμを対象とする範囲を保持する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁と原論文33頁を照合。定義のみ。
留保
Ishii定理2.1の完備化のパラコンパクト性と本書27.15の元の空間のパラコンパクト性は別に扱う。Corson1958原論文の直接照合ではない。
原文の確認に関する付記
定義の対応と定理の対応を分離。1974年資料を著者の利用した典拠と断定しない。
原本154頁・§27
定義の後年の一般化対応 27.14（Hausdorff一様空間の範囲）
後年の一般化の特殊化による定義対応
Fried, Jan，On paracompactness in uniform spaces（1985）
本書の主張の要約
Hausdorff一様空間で，フィルターの拡張と一様被覆への集中によって弱Cauchy性を捉える．
原文献の対応箇所
p.375 Definition1.3; uniform-cover specialization p.381 §3; Hausdorff convention p.373・原文献375頁
各指定被覆につき被覆元Vを選び{V}∪Fがcenteredとなる。
比較の付記
真のフィルターではcentered条件はVが全フィルター元と交わることに同値。H∩Vを基底とする拡張フィルターにより本書の条件を得る。逆は拡張フィルターの有限交叉から従う。開一様被覆への特殊化とHausdorff規約を保持。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁、原論文373–375・380–381・385頁の原文。
留保
1985年の後年資料。27.15全体・演習5J・Corson1958原文の照合ではない。
原文の確認に関する付記
定義と一様被覆への特殊化の原文照合。定理の証明全文・独立証明監査は未実施。
原本154頁・§27
定義の後年資料との対応 27.14（真のフィルターの定義比較）
後年資料の定義対応
Marconi, Umberto，On the uniform paracompactness（1984）
本書の主張の要約
真のフィルターへの拡張を使い，一様被覆の一元に収まるという弱Cauchy性の条件を比較する．
原文献の対応箇所
p.319 §1 final paragraph・原文献319頁
各一様被覆に、フィルター基のすべての元と交わる被覆元が存在する。
比較の付記
本書の真のフィルターFに原論文の定義を適用する。被覆元UがFの全元Hと交われば、H∩Uを基底とする拡張フィルターがUを含む。逆に拡張フィルターがA⊂Uを含めば、元の各Hとの交叉H∩Aは非空なのでH∩Uも非空。フィルター基では生成フィルターに移して同じ条件となる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁と原論文319–320頁の本文に基づく定義比較。
留保
1974年より後の比較資料。320頁の濃度≤μの判定と正規性仮定を、本書27.15の二条件全体へ直接同一視しない。Corson1958原論文未読、演習5J未完。
原文の確認に関する付記
319頁の定義・320頁の限定・327–328頁の参考文献を原文確認。論文全体の証明読了・独立監査ではない。
原本154頁・§27
定理 27.15
二文献の判定と定義の橋渡しによる全条件の対応
Yuan, Shuen，On paracompact regular spaces（1961）
本書の主張の要約
完全正則空間のパラコンパクト性を，弱Cauchyフィルターの触点や，無触点性を保つ距離空間への写像で捉える．
原文献の対応箇所
§2最初の補題・原文献148頁
すべての連続な擬距離空間への像が触点を持つ点列網がXでも触点を持つなら、Xの任意の開被覆は局所有限開細分を持つ。Corson[2]の結果を点列網へ翻訳したものと明記。
比較の付記
本書条件2の対偶は、全連続距離像が触点を持つフィルターはXで触点を持つという条件。点列網の尾集合の生成するフィルターとその連続像の尾フィルターは対応し、触点が一致する。逆に真のフィルターFから添字(F,x),F∈F,x∈Fを取り、Fの逆包含で順序付けた有向前順序上の網xを作ると、各尾集合がFとなり尾フィルターは元のフィルターと一致する。擬距離空間は距離零同値類の距離商へ連続に写り、商像の触点はその同値類の代表点で元の擬距離像の触点に持ち上がる。したがって距離像についての本書の対偶条件を擬距離像へ適用でき、Yuanの補題が局所有限開細分を与える。 必要性はHowes434頁の適合一様構造による判定から得る。無触点フィルターFはその構造で弱Cauchyではないため、一様被覆Uでどの元も全F元とは交わらないものがある。適合一様構造の擬距離による生成から、一様連続な擬距離dとε>0を取り、各ε球をUのある元に含められる。距離零商への連続写像qを取ると、商の各点は代表xを持ち、そのε球の逆像はUの一元に含まれる。このU元と交わらないF元が存在するので、q(F)は商のどの点も触点に持たない。(1)との同値は既存Howes対応、(2)の十分性はYuan対応により、完全正則T1という本書の規約の範囲で全条件を対応付ける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁、Howes434頁、Yuan148–149頁の判定の組合せと一様構造の擬距離生成・距離商・尾フィルターの橋渡し。
留保
一つの原論文に本書の全文章がそのまま掲載されているという認定ではない。Corson1958本文は未入手。初出・本書著者の使用資料・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
Yuan148–149頁原文閲読、本書154頁原文閲読。フィルターと網および距離商の橋渡しを明示した。
関連する対応
原本154頁・§27
定理 27.15（条件1のみ）
component-statement
Howes, Norman R.，On completeness（1971）
本書の主張の要約
適合一様構造の弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つことによって，パラコンパクト性を判定する．
原文献の対応箇所
Paragraph before Theorem 2, citing Corson [3]・原文献434頁
適合一様構造の弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つことによって，パラコンパクト性を判定する．
比較の付記
原論文431・433・434・440頁を確認。433頁Lemmaの証明でCorsonの弱Cauchyフィルターを、各一様被覆について元のフィルターを拡張するフィルターと被覆の一元に含まれるその元の存在により定義し、本書27.14と同じ。434頁冒頭はT₁空間のパラコンパクト性と、その弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つ一様構造の存在の同値をCorson[3]へ明示的に帰属させ、本書27.15(1)の範囲を確認できる。27.15(2)の任意の無触点フィルターを距離空間へ移す条件は未照合。440頁[3]の年は1959と印刷されるがJSTOR原誌80巻1号は1958であり、本書候補Corson1958の年は変更しない。全文読了・Corson原論文自体の閲読・初出認定・独立証明監査ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書27.15の条件(1)との同値に限定。
留保
27.15(2)・Corson原文・初出・独立証明監査は未確認。
原文の確認に関する付記
原論文431・433・434・440頁と本書154頁を確認。
原本154頁・§27
定理 27.15（条件2の十分性）
フィルター版と点列網版の十分条件の対応
Yuan, Shuen，On paracompact regular spaces（1961）
本書の主張の要約
無触点フィルターを距離空間へ無触点のまま写せる性質から，完全正則空間のパラコンパクト性を導く．
原文献の対応箇所
§2最初の補題・原文献148頁
すべての連続な擬距離空間への像が触点を持つ点列網がXでも触点を持つなら、Xの任意の開被覆は局所有限開細分を持つ。Corson[2]の結果を点列網へ翻訳したものと明記。
比較の付記
本書条件2の対偶は、全連続距離像が触点を持つフィルターはXで触点を持つという条件。点列網の尾集合の生成するフィルターとその連続像の尾フィルターは対応し、触点が一致する。逆に真のフィルターFから添字(F,x),F∈F,x∈Fを取り、Fの逆包含で順序付けた有向前順序上の網xを作ると、各尾集合がFとなり尾フィルターは元のフィルターと一致する。擬距離空間は距離零同値類の距離商へ連続に写り、商像の触点はその同値類の代表点で元の擬距離像の触点に持ち上がる。したがって距離像についての本書の対偶条件を擬距離像へ適用でき、Yuanの補題が局所有限開細分を与える。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書154頁条件2とYuan148頁補題の十分性側のみ。原文で条件とCorsonへの帰属を確認。
留保
条件2の必要性、条件1との全同値、Corson1958原文、歴史的初出、独立証明監査は今回の対応に含めない。
原文の確認に関する付記
Yuan148–149頁原文閲読、本書154頁原文閲読。フィルターと網および距離商の橋渡しを明示した。
原本156頁・§28
定理（(3)⇔(4)） 28.2
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Locally Gδ-spaces（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
開被覆列に対するフィルターの触点条件を使い，完全正則空間のČech完備性を特徴付ける．
原文献の対応箇所
冒頭の無番号の特徴付けとcomplete sequenceの定義・原文献346頁
完全正則空間がStone–Čechコンパクト化のGδ部分集合であることと、完備な開被覆列の存在が同値。完備性は各被覆と交わる有限交叉性の集合族の全要素の閉包の共通部分が空でないことをいう。
比較の付記
本書(3)のČech完備性を原論文のGδ-spaceに対応させる。フィルターは有限交叉性を持ち、逆に有限交叉性の族を生成するフィルターに拡げれば本書(4)から原論文の条件を得るため、二つの開被覆条件は同じ存在条件を表す。原論文はこの結果の証明を文献[2]へ参照する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(3)⇔(4)の主張と用語の対応に限定。原論文の参照先の証明まで独立検証したとはしない。
原文の確認に関する付記
本書156頁、原論文346頁の完全正則性の規約・定義・無番号の特徴付けを確認。
原本156頁・§28
定理（(1)⇔(2)⇔(3)） 28.2
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Topologically complete spaces (Summary of author's results)（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
完全正則空間のČech完備性を，コンパクト化の中でGδとなる性質と結び付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 2.7(4),(2),(1)・原文献9頁
完全正則空間について、Gδ-spaceであること、あるコンパクト化でGδであること、Stone–Čechコンパクト化でGδであることが同値。
比較の付記
3頁のGδ-spaceは任意のHausdorff拡張空間でGδとなる空間なので、本書28.1の絶対Gδと同じ。本書28.2(1),(2),(3)を原論文2.7(4),(2),(1)に対応させる。(4)の開被覆・フィルター条件はこの記録の範囲外で、別記の1962年論文に照合する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(1)⇔(2)⇔(3)に限定。原論文の七条件全体と本書の四条件全体の逐語的対応は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書156頁と原論文3・5・9–10頁の原文で定義と該当条件を確認。
原文献内で併せて確認した所在
3，Gδ-spaceの定義
5，Hausdorff・拡張空間の規約
10，Theorem 2.7の続き
原本157頁・§28
定理（Theorem 3.1の特別な場合） 28.3
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Topologically complete spaces (Summary of author's results)（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Čech完備空間から閉部分集合やGδ部分集合を取っても，Čech完備性は失われない．
原文献の対応箇所
Theorem 3.1(2)⇔(3)・原文献10頁
complete space Pの部分空間Mについて、Mがcompleteであることと、PにおけるMの閉包のGδ部分集合であることが同値。
比較の付記
本書の完全正則空間の範囲でTheorem 3.1を使う。Gδ部分集合は自分の閉包の中でもGδであり、閉部分集合はその閉包自身なので、この二つの特別な場合が28.3に当たる。原論文のcompleteの定義はDefinition 2.2とTheorem 2.7で確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
原論文の一般的な同値条件の二つの特別な場合としての対応。証明の逐行照合や独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書156–157頁と原論文7・9–10頁の定義・定理を確認。
本書内で併せて確認した所在
156，28.1のČech完備性の定義
原文献内で併せて確認した所在
7，Definition 2.2
9，Theorem 2.7
原本157頁・§28
定理（可算の場合） 28.4
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Generalizations of the Gδ-property of complete metric spaces（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Čech完備な空間を可算個掛け合わせても，Čech完備な積空間になる．
原文献の対応箇所
Theorem 2.9（各m_b=ℵ₀、可算添字集合の場合）・原文献363頁
完全正則なG(m_b)-空間の積はG(m)-空間である。ただしmはm_bの基数和。
比較の付記
各m_bをℵ₀として可算個の因子を取ると基数和もℵ₀となる。Theorem 2.8のStone–Čechコンパクト化による条件と366頁のG(ℵ₀)=Gδの用法を合わせると本書28.4に対応する。ここで照合するのはČech完備性の可算積であり、28.6のパラコンパクト性の積ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
Theorem 2.9の可算の場合の主張に限定。28.6のパラコンパクト性の結論や証明の独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書156–158頁と原論文360・363・366頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
156，28.1の定義
158，28.4の続きと28.6との区別
原文献内で併せて確認した所在
360，Hausdorff規約とDefinition 2.1
366，G(ℵ₀)とGδ-spaceの用法
原本158頁・§28
定理（(1)⇔(2)） 28.5
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Generalizations of the Gδ-property of complete metric spaces（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
距離空間では，Čech完備性が完備な適合距離の存在を特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 3.9およびTheorem 2.8・原文献369頁
距離付け可能空間がGδ-spaceであることと、その位相に適合する完備距離が存在することが同値。
比較の付記
Theorem 3.9の距離は元の距離と同じ位相を定める距離という意味で、本書(1)の完備距離付けに当たる。Theorem 2.8により完全正則空間のGδ-spaceをČech完備性に読み替え、本書(1)⇔(2)に対応させる。本書(3)の「それを含む任意の距離空間」という条件を原論文が同じ三条件として列挙するとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(1)⇔(2)の対応に限定。(3)を含む三条件の列挙や証明の独立検証は範囲外。
原文の確認に関する付記
本書156・158頁、原論文360・363・366・369頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
156，28.1の定義
原文献内で併せて確認した所在
363，Theorem 2.8
366，G(ℵ₀)とGδ-spaceの用法
原本158頁・§28
定理 28.6
完全写像による特徴付けからの系
Frolík, Zdeněk，Topologically complete spaces (Summary of author's results)（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Frolík
Čech完備でパラコンパクトな空間の可算積は，パラコンパクト性を保つ．
原文献の対応箇所
Theorem4.3 (1)⇔(2)・原文献11頁
完備パラコンパクト空間であることと、完備距離空間への完全全射を持つことが同値。
比較の付記
本書159頁は28.7から28.6を導くと明記。原論文11頁Theorem4.3は28.7の特徴付けを述べる。各因子の完全全射fi:Xi→Miを取り、その可算積f:ΠXi→ΠMiは完全全射である。可算個の完備距離空間の積は完備距離空間であり、Theorem4.3の逆方向を積に適用すれば積は完備かつパラコンパクトとなる。原論文に28.6と同じ定理文が直接印刷されているとは主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文11頁Theorem4.3と本書158–159頁を照合。完全写像の積と完備距離空間の可算積を用いる導出を記録。
原文の確認に関する付記
completeのČech完備との対応は既存28.7の照合記録を引き継ぐ。Theorem3.3は完備性のみで、今回の導出の根拠は4.3。歴史的原典Product論文の本文は未取得。
原本159頁・§28
定理 28.7
指定した範囲の対応を確認
Frolík, Zdeněk，Topologically complete spaces (Summary of author's results)（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Frolík
Čech完備パラコンパクト空間を，完備距離空間への完全全射がある空間として捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 4.3(1)⇔(2)・原文献11頁
completeかつparacompactであることと、完備距離空間への閉連続全射で各点逆像がコンパクトなものが存在することが同値。
比較の付記
本書91頁の17.21は完全写像をコンパクト・閉・連続な写像と定義しており、原論文(2)の条件と一致する。completeの定義とTheorem 2.7を完全正則空間の範囲で読み、本書28.7を4.3(1)⇔(2)に対応させる。4.3(3)の擬距離で生成されるcomplete diameterの条件は本書の定理文にはない。原論文は証明を[F7]へ参照しており、ここで確認したのは定理文である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
Theorem 4.3(1)⇔(2)の主張に限定。参照先の完全な証明、28.6の直接対応、著者の直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本書91・156・159頁、原論文5・7・9–11・15頁の定義・定理・証明参照を確認。
本書内で併せて確認した所在
91，17.21の完全写像の定義
156，28.1のČech完備性
原文献内で併せて確認した所在
5，Hausdorff規約と写像の用語
7，Definition 2.2
9，Theorem 2.7
10，Theorem 2.7の続き
15，[F7]の刊行予定の表示
原本160頁・§28
定義（T₂空間の場合） 28.8
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：直前の本文でArhangel’skiĭに帰属
コンパクト集合を，可算近傍指標を持つコンパクト集合で包める可算型を定める．ここではHausdorffの場合に限る．
原文献の対応箇所
Definitions 2.3, 3.5, 3.6, 3.7・原文献34頁
各元が可算指標をもつコンパクト集合であるk-baseが存在するとき、空間は可算型。k-baseは全コンパクト部分集合に対して包含で共終なコンパクト集合族。
比較の付記
原論文のk-baseを定義2.3で展開すると、本書28.8の量化条件と一致する。可算指標は定義3.5の可算開近傍基で、本書のχX(F)に対応する。原論文は全空間Hausdorff、本書の一般規約はT₁なので、ここで確認したのはT₂空間上での定義の一致である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
留保
The definitions are compared only on Hausdorff spaces.
原文の確認に関する付記
本書160頁の帰属・定義28.8、原論文4頁脚注1、22頁定義2.3、33頁定義3.5、34頁定義3.6–3.7を原文で確認。同名の1963年短報にはこの定義を確認できなかった。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原文献内で併せて確認した所在
22，Definition 2.3
33，Definition 3.5
4，Footnote 1: all spaces Hausdorff
原本160頁・§28
定義 28.8
可算型の定義対応
Vaughan, J. E.，Perfect mappings and spaces of countable type（1970）
本書の主張の要約
各コンパクト集合を，可算個の近傍で捉えられるコンパクト集合へ広げられる性質を可算型とする．
原文献の対応箇所
Opening definitions of countable character and countable type・原文献1208頁
Every compact subset is contained in a compact set having a countable neighborhood base.
比較の付記
両者とも任意のコンパクト部分集合を可算近傍ベースを持つコンパクト集合に含める条件。指標がaleph0以下という本書の記述とcountable baseという原論文の記述を対応させる。Hausdorffや正則性はこの定義自体には明記されず、論文のTheorems1,2で別に指定される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書160頁と原論文1208頁を照合。可算型の定義に限定。
原文の確認に関する付記
定義が同じという照合であり、定義の初出や本書著者がVaughan論文を使用したことは示さない。42.25のp空間の主張との直接対応には数えない。
原本161頁・§28
定理 28.10
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名なし（160頁に導入の帰属）
距離空間とČech完備空間は，コンパクト集合に関する可算型の条件を満たす．
原文献の対応箇所
Paragraph following Definition 3.7; Theorem 3.8・原文献35頁
距離空間は可算型（定義3.7直後）。Čech完備空間は可算型（定理3.8）。
比較の付記
本書の二つの空間族を原論文の二箇所と照合。本書28.1–28.2のČech完備性はコンパクト化においてGδとなる条件で、原論文定理3.8で用いられる条件に対応する。距離空間・Čech完備空間はいずれもHausdorffの範囲なので、原論文の全体規約による範囲縮小は生じない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書156頁の28.1–28.2、161頁の28.10と、原論文34–35頁の該当記述を原文で確認。証明文全体の監査は行っていない。
本書内で併せて確認した所在
156，定義28.1と定理28.2
160，定義28.8
原文献内で併せて確認した所在
34，Paragraph following Definition 3.7
4，Footnote 1: all spaces Hausdorff
原本161頁・§28
定理（T₂空間の場合） 28.11
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名なし
可算型のHausdorff空間を可算個掛け合わせても，可算型の条件が保たれる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.9・原文献36頁
可算個の可算型空間の積は可算型（全空間Hausdorffという原論文の規約下）。
比較の付記
可算積と可算型の条件は対応する。ただし本書のT₁規約だけの一般性と原論文のHausdorff規約には差がある。確認範囲は全因子がT₂である特殊化であり、本書28.11の全範囲を原論文で照合済みとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
留保
Only the Hausdorff specialization of book Theorem 28.11 is matched.
原文の確認に関する付記
本書161頁の28.11と原論文36頁のTheorem 3.9、4頁脚注1を原文で確認。原論文の証明がより弱い仮定でも成立するかは監査していない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
160，定義28.8
原文献内で併せて確認した所在
4，Footnote 1: all spaces Hausdorff
原本161頁・§28
定理 28.12
指定した範囲の対応を確認
Henriksen, Melvin and Isbell, J. R.，Some properties of compactifications（1958）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名なし
完全正則空間の可算型を，コンパクト化の剰余がLindelöfになることで判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3.6; Theorems 2.2 and 2.6・原文献98頁
βX−XがLindelöfであることと、任意のコンパクト部分集合が可算指標をもつコンパクト部分集合に含まれることは同値。剰余のLindelöf性は、ある／任意のコンパクト化で同値。
比較の付記
Theorem 3.6の右側の条件は本書28.8の可算型である。原論文84頁はat infinityをβX−X上の性質として定める。Theorem 2.2でLindelöf性がfitting property、冒頭でfitting propertyがmeshing propertyであること、Theorem 2.6でmeshing propertyについてある／任意のコンパクト化の剰余が同値であることを確認した。これにより本書28.12の三条件に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書160–162頁と原論文83–84・91・94・98頁を原文で確認。原論文84頁は第1–3節で完全正則Hausdorff空間を仮定し、本書の完全正則性と第2章以後のT₁規約に対応する。証明自体の独立検証は未実施。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
160，定義28.8
162，28.12の続き
原文献内で併せて確認した所在
83，Fitting implies meshing
84，Space conventions and at infinity
91，Theorem 2.2
94，Theorem 2.6
原本162頁・§28
系 28.13
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名なし
完全正則空間どうしの完全全射では，可算型の条件が定義域と像の間で同時に成り立つ．
原文献の対応箇所
Theorem 3.10・原文献38頁
完全正則空間のクラスで、可算型は完全写像による像と逆像で保たれる。
比較の付記
本書17.21の完全写像は閉・連続・コンパクトファイバーという条件で、原論文11頁のperfect mappingの記述と一致する。本書28.13は全射を明記しており、完全正則空間における像と逆像の双方の保存という原論文の結論と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書91頁の17.21・162頁の28.13と、原論文11頁・38頁のTheorem 3.10を原文で確認。Henriksen–Isbellへの先行結果の言及も38–39頁にあるが、独立した優先権調査は行っていない。
本書内で併せて確認した所在
91，定義17.21の完全写像
160，定義28.8
原文献内で併せて確認した所在
11，Perfect mappings
39，Historical remark continued
4，Footnote 1: all spaces Hausdorff
原本162頁・§28
例 28.15
指定した範囲の対応を確認
Sklyarenko, E. G.，Some questions in the theory of bicompactifications（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Sklyarenko
どのコンパクト化を選んでも，剰余が非正規になる完全正則空間の例．
原文献の対応箇所
§2末尾の例、Lemmas 19–22・原文献449頁
T′ω×Tω×Tω₀に端点(ω,ω,ω₀)を加えた部分空間は完全正則で、任意のbicompactificationの剰余が非正規である。
比較の付記
原論文のω₀は本書のω、原論文のωは本書のω₁である。原論文の座標を(第3,第2,第1)の順に並べ替えると本書の(A×B×C)∪{(ω,ω₁,ω₁)}となる。主張、Stone–Čech拡張としての大きい積空間、剰余をその端点付きコンパクト空間の連続像として扱う箇所を比較した。原論文の追加の0次元性について、本書28.15に同文の主張があるとは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文427・449–452頁と本書162–163頁を表示確認。構成と主張の対応であって、Lemmas 19–22の独立証明検証ではない。
本書内で併せて確認した所在
163，例28.15の続き
原文献内で併せて確認した所在
450，Lemmas 20–21と剰余の議論
451，Lemma 22と非正規性の結論
原本168頁・§29
定義 29.10
定義対応
Harris, Douglas，An internal characterization of realcompactness（1971）
本書の主張の要約
遠隔関係に適合するフィルターを定め，その中で極大なものを選ぶ．
原文献の対応箇所
§7, round filter definition immediately before 7.1・原文献443頁
A filter is round if every A in it admits B in it with B<A; maximal round filters occur in 7.1(a).
比較の付記
本書の近接内包⋐を原文のproximity relation <に対応させると、各要素の内側に別のフィルター要素を取る条件が一致する。最大のフィルターではなく包含に関する極大性を用いる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書168頁とHarris443頁の定義文を原文照合。
留保
定義29.10の対応。uX上の近接関係の構成全体、Smirnov原著の直接照合、初出は認定しない。
原文の確認に関する付記
439・443・444頁のみ原文確認。
原本168頁・§29
definition-and-proposition 29.10–29.11（極大系による構成と埋め込み）
adapted-translation-construction-correspondence
Smirnov, J. M.，Proximitní prostory（1956）
本書の主張の要約
極大δフィルターを点として空間を作り，遠隔関係を保つ稠密な埋め込みを与える．
原文献の対応箇所
§2, (1)–(7), printed17–18・原文献17–18頁
極大中心δ系end全体uP、G_Aの基本性質、uP上の遠隔関係、δ近傍系による稠密なδ埋め込み。
比較の付記
原誌17頁は極大中心δ系が有限交叉と上方閉性を満たすと示す。本書はフィルターを先に定義して極大化するが、構成に用いる極大系・O(A)=G_A・遠隔関係の定義・近傍系による埋め込みが対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書168–169頁の構成と稠密なδ埋め込みに限定。
留保
Hájekによる省略・改編がある。1952原著または1964英訳の逐語対応、本書全証明の独立監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
原文17–20頁と本書168–169頁を確認。
原本171頁・§30
定理 30.4
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Ponomarev, V. I.，On continuous decompositions of bicompacts（1957）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ponomarev
コンパクトHausdorff空間の上半連続分解を，連結成分ごとに細かくしても上半連続性が保たれる．
原文献の対応箇所
§2, Theorem 1・原文献335頁
bicompactのcontinuous decompositionの各要素を連結成分に分けた分解もcontinuousである。
比較の付記
原論文のcontinuous decompositionは、p.336の証明で使われる飽和開近傍の条件から、本書30.1の上半連続分解に対応する。原論文p.336脚注はmarked集合を分解要素の和と定義する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
用語のcontinuousを本書の下半連続分解と混同しない。原論文pp.335–336と本書p.171を照合。
原本172頁・§30
定義 30.5
direct-definition
Sklyarenko, E. G.，Perfect bicompact extensions（1961）
本書の主張の要約
連結コンパクト部分空間が一点に限られるという，点型の性質を定める．
原文献の対応箇所
Theorem 2後のпунктирформноеの定義・原文献40頁
連結コンパクト部分空間が一点に限られるという，点型の性質を定める．
比較の付記
原論文は任意の連結コンパクト部分集合が一点へ縮約される空間をпунктирформноеと定義する。本書30.5の点型空間と条件が一致。完全非連結との関係や後続の単調分解定理までは含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定義と原論文の該当箇所の対応。
留保
概念を最初に導入したという歴史的初出の認定ではない。独立した証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文39–41頁と本書172–173頁を原文閲読。30.7は172頁から173頁に続く。
原本172頁・§30
定理 30.6
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Ponomarev, V. I.，On continuous decompositions of bicompacts（1957）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ponomarev
コンパクトHausdorff空間からHausdorff空間への連続写像を，単調写像と点型写像に分ける．
原文献の対応箇所
§2, Theorem 2・原文献336頁
bicompactからbicompactへの連続全射は、bicompactを経由する単調写像と零次元写像の合成に分解できる。
比較の付記
原論文は全射を仮定するため、本書のfをコンパクト像f(X)への全射として適用する。本書30.5の点型性はコンパクトファイバー上では完全不連結性に等しく、この場合の零次元性と対応する。一般の点型空間を零次元とする主張ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
原論文の主張を本書の写像先と用語に合わせた比較。全証明を監査したものではない。
原本172頁・§30
定義 30.7
definition-characterization
Sklyarenko, E. G.，Perfect bicompact extensions（1961）
本書の主張の要約
開集合の外側への近接を境界への近接で捉えられる，完全コンパクト化を定義する．
原文献の対応箇所
冒頭のperfect compactificationの定義・Lemma 1・原文献39頁
開集合の外側への近接を境界への近接で捉えられる，完全コンパクト化を定義する．
比較の付記
原論文Lemma1は境界との近接から補集合との近接を導く条件で完全性を特徴付ける。本書の逆方向は境界がX−Uに含まれることによる近接の単調性で補われる。原論文冒頭の境界の閉包による定義とLemma1を区別。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定義と原論文の該当箇所の対応。
留保
概念を最初に導入したという歴史的初出の認定ではない。独立した証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文39–41頁と本書172–173頁を原文閲読。30.7は172頁から173頁に続く。
原本173頁・§30
叙述 30.7後の導入帰属
attribution-supported-by-authors-introduction-and-later-citation
Sklyarenko, E. G.，Some questions in the theory of bicompactifications（1962）
本書の主張の要約
完全コンパクト化という考え方の導入を，Sklyarenkoに帰属させる．
原文献の対応箇所
Opening abstract and introductory definition p427・原文献427頁
完全正則空間の完全コンパクト拡張の概念を導入すると概要で明記し、全開集合Uについて境界の閉包と最大延長開集合の境界の等式を定義する。
比較の付記
本書の「Sklyarenkoにより導入された」という人物帰属を、1962原著427頁の著者名・概念導入を明示する概要と定義、取得済み1961短報39頁の定義、およびBaboolal2012の506頁で概念をSklyarenko[6]に帰属させる記述に対応付ける。後者の515頁[6]は同題1966英訳を引用する。1962原著自体の原文による著者・概念・導入の確認が中心であり、1961/1962のどちらが歴史上最初か、1958以前に類似概念がないかを証明する記録ではない。本書も刊年や「最初」という限定をこの文には記さない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
概念導入の人物帰属を原著の自己記述と後続引用で照合。絶対的優先権・最早刊年は対象外。
留保
1966英訳本文の直接閲読、最初の刊行の確定、関連文献の網羅的優先権調査、独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
1962原著427頁の原文、既確認1961原著39頁、Baboolal2012の506・515頁。
原本173頁・§30
定理 30.8
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Sklyarenko, E. G.，Perfect bicompact extensions（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Sklyarenko
完全コンパクト化を，剰余の局所非分離性や，開集合の延長・境界の性質で特徴付ける．
原文献の対応箇所
定義・Lemma 1・Theorem 1(1)–(3)・原文献39頁
境界条件によるperfect extensionの定義、近接関係による同値条件、剰余の局所非分離性、互いに素な開集合のOによる和の保存。
比較の付記
本書30.7は近接関係で完全性を定義する。原論文では境界条件が定義で、Lemma 1が近接関係との同値を示す。この定義・補題とTheorem 1(1)–(3)を組み替えると本書30.8の四条件になる。原論文Theorem 1(4)は別の分離集合の記述であり、本書(4)と番号で対応させない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
O(U)と局所非分離性の定義も同頁と本書p.173で確認した。
本書内で併せて確認した所在
172，定義30.7
原本177頁・§30
演習 5.D
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Sklyarenko, E. G.，Perfect bicompact extensions（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Sklyarenko
完全コンパクト化の開集合について，元の空間との交わりから連結性を判定する．
原文献の対応箇所
p.39 脚注 ***・原文献39頁
完全コンパクト化の開集合の連結性と、その元の空間との交叉の連結性は同値である。
比較の付記
原論文脚注はČechコンパクト化の場合をHenriksen–Isbellの結果と述べ、それが任意の完全コンパクト化に成り立つと記す。本書5.Dは後者の一般形に一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
原論文脚注における帰属を記録したもので、引用されたHenriksen–Isbell論文の独立照合ではない。
原本177頁・§30
演習 5.E
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Sklyarenko, E. G.，Perfect bicompact extensions（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Sklyarenko
二つの開集合の和を延長が保つ条件によって，正規空間のStone–Čechコンパクト化を捉える．
原文献の対応箇所
p.39 脚注 ****・原文献39頁
Oによる和の保存が任意の二つの開集合で成り立つのは、元の空間が正規で拡張がČechコンパクト化の場合に限る。
比較の付記
原論文Theorem 1(3)にあった互いに素という条件を外した脚注の主張と、本書演習5.Eを照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
Oの定義は本書p.173と原論文p.39脚注*にある。
本書内で併せて確認した所在
173，定理30.8直前のOの定義
原本177頁・§27
演習の全条件（原定理と補足還元） 5.F
原定理の直接対応と明示的補足還元
Tamano, Hisahiro，On compactiffications（1962）
本書の主張の要約
Lindelöf性を，星有限被覆，剰余の閉Gδ集合，可分距離空間への写像の延長条件で捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 2.7、本文173–174頁・原文献173頁
任意のコンパクト化におけるLindelöf性の四つの特徴付け。条件1・3を直接用い、他の本書条件への還元を別記。
比較の付記
条件1・3はTheorem2.7に直接対応。条件1⇒2は本書16.4・16.6、2⇒3は閉包を分離する連続関数の可算和、3⇒4は零集合関数の逆数、4⇒3は本書12.2のHilbert cube埋込みとcompact像からの距離で還元。詳細は補足比較記録に保存。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
βXで閉なFに関する本書四条件の対応。原定理そのものと補足還元を区別。
留保
原論文条件4は可算compact被覆で、本書の写像条件とは字面が異なる。初出・実際の使用文献・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
PDF1・2・13・14・33頁のみ原文閲読。全33頁の読了ではない。
本書内で併せて確認した所在
55，12.2
75，16.4・星有限の定義
76，16.6
原本177頁・§27
演習の条件1・3への部分対応 5.F（条件1・3、βXで閉なFの場合）
条件1・3の原文対応
Tamano, Hisahiro，On compactiffications（1962）
本書の主張の要約
Stone–Čech剰余の閉集合を剰余内の閉Gδ集合に収められることが，Lindelöf性の判定になる．
原文献の対応箇所
Theorem2.7 (1),(3)・原文献173頁
任意のコンパクト化BXについてLindelof性と各compact C⊂BX−Xを剰余内の閉Gδ集合で含む条件が同値。
比較の付記
162頁のTychonoff規約と本書完全正則Hausdorffの範囲を合わせ、BX=βXとする。βXで閉なFはコンパクト、逆にcompact CはHausdorffなβXで閉なので同じ集合族となる。剰余の相対閉集合すべてへは拡張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書177頁と原誌162・173–174頁の原文比較。
留保
条件2の星有限可算正規被覆との橋渡しおよび条件4の可分距離写像条件は未完。演習全体の対応には昇格しない。
原文の確認に関する付記
PDF1・2・13・14・33頁のみ原文閲読。全33頁の読了ではない。
原本178頁・§27
演習 5.J（5.Fを5.Gの一様構造と読む場合）
partial-equivalence-with-printed-cross-reference-discrepancy
Howes, Norman R.，On completeness（1971）
本書の主張の要約
実関数で定まる一様構造のフィルター条件と，実数値写像の条件によってLindelöf性を捉える．参照番号に留保がある．
原文献の対応箇所
Paragraph before Lemma, citing Corson [3]・原文献433頁
完全正則Xは、全実連続関数を一様連続にする最弱一様構造λに関する弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つとき、かつそのときに限りLindelöf。
比較の付記
Howes433頁はLindelöf性と、全連続実関数を一様連続にする最弱一様構造λについて全弱Cauchyフィルターが触点を持つ条件の同値をCorsonへ帰属させる。条件3への橋渡し：λで弱Cauchyではないフィルターには、どの元も全フィルター元と交わらない一様被覆がある。λの基底から有限個の実関数f1,…,fnとε>0でこの被覆を細分する小さい球の逆像被覆を選ぶ。g=(f1,…,fn)の像フィルターはRnで触点を持たない。Rnの各コンパクト球Kについて各点に像フィルター元と交わらない近傍があり、有限部分被覆と有限交叉でKを避ける像フィルター元が得られる。したがって連続実関数h=||g||の像フィルターは任意の有界区間を避け、Rで触点を持たない。逆にλで弱Cauchyなら各連続実関数の像フィルターはRの通常の一様構造で弱Cauchy。小さい区間と全フィルター元の交わりからその閉包というコンパクト区間に制限した拡張フィルターを作れ、像は触点を持つ。よって条件3は元の弱Cauchyフィルターが無触点であることを排除する。これにより条件2と3をつなげる。ただし印刷された5.F自体は一様構造を定義せず、5.Gへの読み替えを仮定した対応である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書177–178頁およびHowes433頁の原文と、有限個の実関数から単一ノルム関数への橋渡し。5.Gの一様構造と読む条件付きの全三条件。
留保
本書印刷の5.Fを無断訂正しない。参照番号の著者意図・正誤表・Corson1958原文・初出・独立証明監査は未確認。演習全体の無条件な照合済み判定には用いない。
原文の確認に関する付記
本書177・178頁と原論文433頁を確認。
原本178頁・§27
演習 5.J（条件1・2、5.Gの一様構造と読む範囲）
partial-equivalence-with-printed-cross-reference-discrepancy
Howes, Norman R.，On completeness（1971）
本書の主張の要約
実関数が定める一様構造での弱Cauchyフィルターの触点から，Lindelöf性を判定する．参照番号に留保がある．
原文献の対応箇所
Paragraph before Lemma, citing Corson [3]・原文献433頁
完全正則Xは、全実連続関数を一様連続にする最弱一様構造λに関する弱Cauchyフィルターがすべて触点を持つとき、かつそのときに限りLindelöf。
比較の付記
本書177–178頁を確認。演習5.J(2)は印刷上「5.Fで定義したXの一様被覆系」と参照するが、本書の5.FはTamanoのLindelöf特徴付けで一様構造の定義ではなく、5.Gが全連続実関数から定まる一様被覆系を定義する。参照先の不整合を保存し、無断で原文の番号を改変しない。5.Gの初期一様構造と読む範囲ではHowes1971の433頁、全連続実関数を一様連続にする最弱一様構造λについてLindelöf性と全弱Cauchyフィルターが触点を持つことの同値をCorson[3]に帰属させる記述に対応する。条件(3)の単一実関数による無触点像の存在は未照合。演習全体・参照番号の意図・Corson原文の初出は未認定。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
条件1・2に限定し、5.Gの一様構造を解釈として明記。
留保
印刷参照先5.F/定義所在5.Gの不整合、条件3、初出、独立証明監査は未解決。
原文の確認に関する付記
本書177・178頁と原論文433頁を確認。
原本188頁・§32
定理 32.5
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，Topology of Metric Complexes（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
正規空間の局所有限開被覆に合わせて，その脈複体への正準写像を作る．
原文献の対応箇所
§17 Theorem 3・Corollary 1、および§7 (7.2)・原文献576頁
正規空間の開被覆Uが局所有限細分をもつことと、距離位相またはWhitehead位相を入れた脈複体への正準写像が存在することは同値。
比較の付記
本書のU自身が局所有限なので、Corollary 1の局所有限細分の仮定を満たす場合に当たる。Whitehead位相への存在は(7.2)にも明記される。565頁の逆像φ⁻¹St(v)⊂Uvという正準写像の定義は本書32.4と一致し、32.3の台による定義と対応する。33.6のBanach空間への拡張定理の典拠には割り当てない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張と正準写像の定義の対応のみ。§31・§35の他の結果や証明全体は未照合。
原文の確認に関する付記
本書188頁、原論文565・576頁の原文で定義と定理を確認。
原文献内で併せて確認した所在
565，§7の正準写像の定義と(7.2)
原本191頁・§32
定理 32.9
三つの結論が一致
Michael, E.，A short proof of the Arens-Eells embedding theorem（1964）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：R. F. Arens–J. Eells–Michael
距離空間を，ノルム空間の閉じた一次独立な部分集合として等距離に実現する．
原文献の対応箇所
Theorem（番号なし）・原文献415頁
任意の距離空間はノルム線形空間の閉かつ一次独立な部分集合として等距離に埋め込まれる。
比較の付記
等距離・閉集合・一次独立の三条件を原文で照合。本書は完備化と代数的線形包を用いる冒頭の構成も共有する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
MichaelはArens–Eellsの定理の短い証明として述べる。415頁上部の別論文のReferencesを当該論文の文献表として使わない。
原本192頁・§32
定理 32.10
指定した範囲の対応を確認
Dugundji, James，An extension of Tietze’s theorem（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Dugundji
距離空間の閉集合から局所凸線形位相空間への連続写像を，全体へ延長するDugundji型の結果．
原文献の対応箇所
Theorem 4.1・原文献357頁
距離空間Xの閉集合Aから局所凸線形空間Lへの連続写像fはF:X→Lに拡張でき、さらにF(X)をf(A)の凸包に含められる。
比較の付記
32.10の仮定と拡張の結論はTheorem 4.1に対応する。原論文の凸包に関する追加結論は本書の定理文にはないため、定理文全体の逐語的一致とは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
拡張の存在の主張のみ。凸包に関する追加結論・構成の全式・証明の独立検証は今回の照合外。
原文の確認に関する付記
本書192頁と原論文357頁の原文で仮定と結論を確認。
原本194頁・§32
定理 32.11
原論文Theoremの前半と一致
Toruńczyk, H.，A short proof of Hausdorff’s theorem on extending metrics（1972）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Hausdorff–Toruńczyk
閉部分集合の位相に適合する距離を，距離空間全体の位相に適合する距離へ延長する．
原文献の対応箇所
Theorem, first part・原文献191頁
距離化可能空間Xの閉集合A上の適合距離は、X上の適合距離へ延長できる。
比較の付記
本書の距離空間という提示と原論文のmetrizableという提示の下で、距離の延長条件と位相の適合条件が同じ。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文の続く完備距離に関する強化は本書32.11の主張に含まれない。原誌題名shortと出版社目録simpleの相違を注記した。
原本194頁・§32
補題 32.12
変数名を除き仮定と結論が一致
Toruńczyk, H.，A short proof of Hausdorff’s theorem on extending metrics（1972）
本書の主張の要約
二つのノルム空間の座標軸上の閉集合間の同相を，積空間全体の自己同相へ広げる．
原文献の対応箇所
Lemma・原文献191頁
ノルム線形空間E,Fで、E×{0}と{0}×Fに含まれるE×Fの閉集合K,L間の同相写像はE×Fの自己同相写像へ延長できる。
比較の付記
本書32.12と原論文Theoremに続くLemmaを照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文はV. L. Kleeの補題として紹介する。Toruńczykを補題の初出著者とする対応ではない。
原本195頁・§32
例（(1)と(2)の指定範囲） 32.14
指定した範囲の対応を確認
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：O. Hanner
非正規空間を含むクラスでは，Hausdorffな近傍拡張手が一点に限られることを示す例．
原文献の対応箇所
Lemma 2.7およびLemma 15.2の閉集合対・原文献317頁
クラスQに非正規空間が含まれるならHausdorffなNES(Q)は一点。さらに非可算立方体の原点を除いた空間は非正規で、二つの座標面から原点を除いた閉集合対がその証拠となる。
比較の付記
32.14(1)の主張はLemma 2.7と対応する。32.14(2)のB=I₁×I₂×Aと閉集合G,Hは、Lemma 15.2のI×I′でI=I₁、I′=I₂×Aと置いた閉集合対に対応する。ここまでを構成照合の範囲とし、その後のR′を作る操作、近傍レトラクトに関する文、および(3)は含めない。本書196頁の冒頭のR∈ANR(T)と後の近傍レトラクトでないという文には表記上の整合性の疑問が残る。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
R′の構成と近傍レトラクトに関する記述、(3)は未照合。HannerのExample 17.7とは別の箇所である。原文の修正や証明の独立検証は行わない。
原文の確認に関する付記
本書195–196頁と原論文316–318・335–336頁を確認。定義の前提も確認し、主張・構成の部分照合として記録。
本書内で併せて確認した所在
196，32.14(2)の閉集合対と保留する記述
原文献内で併せて確認した所在
316，空間・クラスQの規約
318，Lemma 2.7の続き
335，Lemma 15.2
336，Lemma 15.2の続き
原本199頁・§32
定理（PN以外の指定5クラス） 32.19
指定した範囲の対応を確認
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
指定された五つの空間族で，拡張手・近傍拡張手をAR・ANRと結び付ける．PNは別項目で扱う．
原文献の対応箇所
Theorems 8.1–8.2および2.10–2.11・原文献325頁
クラスβ–ιについてAR(Q)はES(Q)、ANR(Q)はNES(Q)となり、X∈Qの場合には逆も成り立つ。
比較の付記
本書のN・CN・P・M・SMについて、X∈Qという条件を保って対応する。Hannerのfully normalと本書のパラコンパクトT₂の関係はLemma 5.3で確認。本書197頁の第6章のT₂規約を適用する。PN（完全正規空間）のクラスは原論文の列挙にないため、この照合から除く。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
PNの場合は未照合。X∈Qを除いた主張や証明の独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書197・199頁と原論文316–318・321・325頁を原文で照合。
本書内で併せて確認した所在
197，クラスの記号と第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
316，クラスβ–ι
317，AR・ANR・ES・NESの定義
318，2.10–2.11
321，Lemma 5.3
原本199頁・§32
定理のPNクラスへの対応 32.19（PNの場合）
指定クラスの両同値の主張対応
McCandless, Byron H.，Retracts and extension spaces for perfectly normal spaces（1962）
本書の主張の要約
PNクラスに属する空間では，拡張手・近傍拡張手の条件がAR・ANRの条件と一致する．
原文献の対応箇所
Theorem4 (i)–(ii)・原文献194頁
完全正規空間YについてANR(PN)とNES(PN)、AR(PN)とES(PN)がそれぞれ同値。
比較の付記
本書の6クラスのうちPNを照合。原論文193頁はAR/ANR/ES/NESにすべてY∈Qを要求し、本書X∈Qと一致。194頁Theorem4は両同値を明記、196–197頁で接着空間による証明を述べる。本書第6章のHausdorff規約は保持して比較。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書199頁の定理文と原論文193–197頁の原文による定義・主張対応。
留保
他の5クラスは既存Hanner対応記録を参照。第6章全体の歴史的帰属や著者の直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本文193–197全5頁を原文閲読。白紙PDF6頁も確認し本文から除外。本書199頁を原文照合。
原本200頁・§33
例 33.1
指定した範囲の対応を確認
Bing, R. H.，Metrization of Topological Spaces（1951）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Bing
完全正規性を持ちながら，族正規性を満たさない空間を構成する例．
原文献の対応箇所
Example H（Example Gの記号を使用）・原文献185頁
正規だがcollectionwise normalでなく、すべての閉集合がGδである空間を、非負整数値関数と有限集合上の偶奇条件で構成する。
比較の付記
原論文のF, Fₚ, fₚは本書のX, X₀, xₚに対応する。近傍は、全座標でnより大きく有限個の座標で特別な点とmod 2で一致する関数に、その特別な点を加えたもの。本書9.15の完全正規性は正規性と閉集合のGδ性であり、17.3の族正規性は原論文のcollectionwise normalの定義に対応する。Example Gだけでは閉集合のGδ性を含まないため、33.1はExample Hに対応付ける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書36・81・200頁、原論文176・184–186頁の定義・構成・主張を原文で確認。証明の独立検証は未実施。
本書内で併せて確認した所在
36，定義9.15：完全正規性
81，定義17.3：族正規性
原文献内で併せて確認した所在
176，collectionwise normalの定義
184，Example Gの記号
186，Example Hの近傍の定義
原本204頁・§33
定理（一般化Hilbert空間を値域とする範囲） 33.6
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On a theorem of Hanner（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Dowker
族正規性とBanach値の連続写像の延長を結び付ける．ここでの照合は一般化Hilbert値域に限る．
原文献の対応箇所
Lemma 2、およびCorollary 1後のRemark・原文献310頁
族正規空間Xの閉集合から一般化Hilbert空間Hへの写像はXに拡張できる。313頁のRemarkはこの拡張性から族正規性が従うことも述べる。
比較の付記
33.6の値域を一般化Hilbert空間に限った特徴付けに対応する。原論文のLemma 2はBanach空間全体を値域として述べているわけではないため、そのようには登録しない。Banach空間全体への十分な拡張性はHannerのTheorem 14.3と別記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
一般化Hilbert空間の場合に限定。原論文にBanach空間全体の定理文があるとは主張しない。
原文の確認に関する付記
本書204頁、原論文310・313頁のLemma 2とその逆を述べるRemarkを確認。
本書内で併せて確認した所在
197，第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
313，Lemma 2の逆を述べるRemark
原本204頁・§33
定理（族正規性から拡張性を得る方向） 33.6
指定した範囲の対応を確認
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Dowker
族正規空間では，閉部分集合上のBanach空間値の連続写像を全体へ延長できる．照合はこの向きに限る．
原文献の対応箇所
Theorem 14.3とTheorem 8.2・原文献334頁
任意のBanach空間は族正規空間のクラスに対するARである。Theorem 8.2により、そのクラスに対するESでもある。
比較の付記
33.6の族正規性からBanach空間への拡張性を得る方向に対応する。原論文はDowkerのHilbert空間の場合の議論をBanach空間へ一般化すると述べる。この一件で逆方向も照合済みとはしない。逆方向に関わる一般化Hilbert空間の場合はDowker 1952の別記録を参照。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
CN⇒Banach空間への拡張性という一方向。逆方向・証明の独立検証はこの照合に含めない。
原文の確認に関する付記
本書204頁と原論文325・334頁を原文で比較。クラス・定義は316–318頁を参照。
本書内で併せて確認した所在
197，第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
325，Theorem 8.2
317，ESとARの定義
原本209頁・§34
定理（距離空間YのANRの場合） 34.3
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On a theorem of Hanner（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
距離空間のANR性が，完全正規かつ族正規な空間のクラスに対しても成り立つことを扱う．
原文献の対応箇所
Corollary 2・原文献313頁
距離空間Yが完全正規かつ族正規な空間のクラスに対するANRであることと、距離空間のクラスに対するANRであることが同値。
比較の付記
本書34.3のANR(M)⇒ANR(PNCN)の部分に対応する。原論文307頁はANRを近傍への写像の拡張性で定義し、レトラクションによる定義との同値を述べる。本書のレトラクトの定義と区別して記録する。ここでは距離空間Yに限り、34.3のAR部分は照合に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
距離空間YのANR部分のみ。AR部分や任意の非距離空間Yに拡張しない。
原文の確認に関する付記
本書209頁と原論文307・313頁を原文比較。
本書内で併せて確認した所在
197，第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
307，AR・ANRを拡張性で述べる定義
原本210頁・§34
定理（距離空間Yの(1)・(3)） 34.4
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，On a theorem of Hanner（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
距離空間のAR・ANR性を族正規または正規空間へ広げる条件として，絶対Gδ性と可分性を用いる．
原文献の対応箇所
Theorem 1とTheorem 2・原文献311頁
距離空間のAR・ANRについて、族正規空間に関する対応物となる条件は絶対Gδ性、正規空間に関する対応物となる条件は可分かつ絶対Gδ性である。
比較の付記
本書34.4(1)はTheorem 2、(3)はTheorem 1に対応する。距離空間Yについての主張に限定し、原論文のAR・ANRは拡張性による定義であることを307頁と本書32.19に照らして区別する。34.4(2)の完全正規空間に関する条件は今回の照合に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
距離空間Yの(1)・(3)のみ。(2)・任意の非距離空間Y・証明の独立検証は範囲外。
原文の確認に関する付記
本書199・210頁、原論文307・311–312頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
199，定理32.19：拡張手と絶対レトラクト
197，第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
307，定義とTheorem 1
312，Theorem 2の続き
原本211頁・§34
定理（距離空間の場合） 34.5
指定した範囲の対応を確認
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
距離空間のAR・ANR性を全空間のクラスへ広げられるかを，コンパクト性や可分・局所コンパクト性で判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 17.2(d)およびTheorem 17.1(d)・原文献339頁
距離空間のARがTychonoff空間のクラスに対するARであるのはコンパクトなとき、ANRが同クラスに対するANRであるのは可分かつ局所コンパクトなときである。
比較の付記
本書34.5(1)はTheorem 17.2(d)、(2)はTheorem 17.1(d)に対応する。原論文の完全正則なHausdorff空間のクラスと本書Tの用語を確認した。HannerのAR(Q), ANR(Q)はX∈Qを定義に含むため、ここでは§34の距離空間Yについての主張に範囲を限る。Theorems 15.4, 15.5, 16.3, 16.6は必要条件・十分条件の参照先として併記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
任意の位相空間Yにまでクラスの定義の一致を主張しない。全ての参照定理の証明を独立検証したものではない。
原文の確認に関する付記
本書211–212頁と原論文316–317・336–339頁を原文で照合。
本書内で併せて確認した所在
212，34.5(2)の続き
195，32.13のAR・ANR等の定義
原文献内で併せて確認した所在
317，AR(Q)・ANR(Q)の定義
336，Theorem 15.4
337，Theorem 15.5
338，Theorems 16.3・16.6
原本213頁・§34
定理の特殊場合 34.6（Hannerの六空間族の場合）
空間族を限定した部分対応
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
指定した初期拡張を保ちながら，ホモトピーを延長する．対応はHannerの六つの空間族に限る．
原文献の対応箇所
Theorem28.2; class convention on p.316・原文献358頁
Qがδ–ιのいずれかなら、Q空間からNES(Q)へのホモトピー拡張定理が成立しF0を保存する。
比較の付記
HannerのQはfully normal、Lindelöf、compact、metric、separable metric、compact metricの六族。28.2の明示されたFtとF0の条件は本書の結論に対応する。これらの族でX×I∈Qなら閉断面X∈Qとなる。本書の任意閉遺伝族をHannerが明示したとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書213頁の既存照合と原論文316・358・359頁の原文照合。
留保
一般Q版、Borsuk原文、初出、本書著者の利用は未確認。
原文の確認に関する付記
358頁の証明参照先はDowker[9]205頁・Hurewicz–Wallman[18]86頁。
原本214頁・§35
定理 35.2
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Kodama, Yukihiro，Note on an absolute neighborhood extensor for metric spaces（1956）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Kodama
閉被覆に関する弱位相で，有限交差ごとの近傍拡張性を全空間へ引き継ぐ．
原文献の対応箇所
Theorem（番号なし、pp.206–207）・原文献206頁
閉被覆に関してweak topologyをもち、各非空有限交叉が距離空間に対するANEならば全体もANEである。
比較の付記
本書24.1と原論文p.206の閉被覆による弱位相の定義を照合。本書32.13・32.15のNES(M)はANE(metric)に対応する。本書p.197以後のT₂規約を含め、本書の仮定の範囲で対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
主張は原論文PDF第1–2頁にまたがる。弱位相の閉被覆条件と非空有限交叉について確認した。証明の独立検証はしていない。
本書内で併せて確認した所在
129，定義24.1
195，定義32.13
197，32.15・T₂空間の規約
原本217頁・§35
命題（PN以外の指定5クラス、X∈Qの場合） 35.5
指定した範囲の対応を確認
Hanner, Olof，Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
指定のクラスに属するパラコンパクトHausdorff空間で，可縮なANRであることがARを特徴付ける．PNは別項目．
原文献の対応箇所
Theorem 12.6・原文献332頁
クラスβ–ιについて、fully normalな空間がAR(Q)であることと、可縮なANR(Q)であることは同値。
比較の付記
N・CN・P・M・SMの5クラスに限り、さらに原論文のAR・ANRの定義が含むX∈Qを条件として保持して照合する。fully normalとパラコンパクトの対応はLemma 5.3で確認し、本書197頁のT₂規約を適用する。PNの場合およびX∈Qを仮定しない範囲は今回の照合に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
PNの場合とX∈Qを外した場合は未照合。命題の証明の独立検証は行っていない。
原文の確認に関する付記
本書197・217頁と原論文316–317・321・332頁の原文で用語と主張を比較。
本書内で併せて確認した所在
197，クラスの記号と第6章のT₂規約
原文献内で併せて確認した所在
316，クラスの列挙
317，AR・ANRの定義
321，Lemma 5.3
原本217頁・§35
命題の必要性への限定対応 35.5（非空PN空間の必要性のみ）
仮定を限定した必要方向の対応
McCandless, Byron H.，Perfect normality, local neighborhood extension spaces, and contractibility of absolute retracts（1964）
本書の主張の要約
空でないPN空間がAR(PN)でもあれば，可縮性が従うという必要条件を扱う．
原文献の対応箇所
Theorem 1（388頁の後出、AR(PN)の可縮性）・原文献388頁
Any AR (perfectly normal) is contractible.
比較の付記
本書のPNの場合の必要性のうち、非空かつX自身が完全正規である範囲を照合。原論文は385頁でHausdorffを共通規約とし、388頁の証明はXを完全正規として一点x0を選ぶ。本書のパラコンパクト性を追加した特殊場合が含まれる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書217頁と原論文385・388頁の原文による主張比較。
留保
PNの場合の十分性、X∈PNを外した場合、空空間を含む定義規約、32.19の全同値は未照合。
原文の確認に関する付記
McCandless1964全7頁を原文閲読。本書217頁を追加確認。独立証明監査ではない。
原本221頁・§32
演習 6.I（空でない閉集合）
construction-specialization
Dugundji, J.，Absolute neighborhood retracts and local connectedness in arbitrary metric spaces（1956-1958）
本書の主張の要約
零次元距離空間では，空でない閉部分集合へ全空間を引き戻すレトラクションを作れる．
原文献の対応箇所
§2 canonical coverの位数制御、2.61、2.62・原文献230–231頁
canonical coverを位数≤dim(X−A)+1に選び、XからA∪N(U)への連続写像とA∪N(U)の零骨格からAへのレトラクションを構成する。
比較の付記
dim X=0ならdim(X−A)≤0なので脈N(U)は零骨格のみ。2.61と2.62の合成がA上恒等な連続写像X→Aとなる。Aは空でない必要がある。可分性は不要。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
空でない閉集合に限定した演習6.Iの構成対応。本書の空集合に関する条件省略は別途注記。
留保
演習にある任意の閉集合には空集合も含まれる字義上の問題がある。児玉1957の直接対応および歴史的初出は未確認。
原文の確認に関する付記
原誌230・231・238頁と本書221–222頁を原文閲読。定理9.1のLC^n条件とは区別して、零骨格の構成のみ対応させた。
原本227頁・§36
定理（非負整数nの場合） 36.5
指定した範囲の対応を確認
Dowker, C. H.，Mapping Theorems for Non-Compact Spaces（1947）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Dowker–Morita
正規空間の次元上限nを，開被覆の重なりの制御やn次元球面への写像の延長で判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3.5・Corollary 3.6とdim F・dim S・dim Lの定義・原文献211頁
正規空間の有限開被覆による次元、局所有限開被覆による次元、球面への写像の拡張による次元が一致する。特にdim X≤nと閉部分集合からSⁿへの写像が拡張できることは同値。
比較の付記
本書36.1の有限開被覆による被覆次元と36.5の局所有限細分・Sⁿへの拡張性を、原論文のdim F・dim L・dim Sに対応させた。非負整数nについての三条件の照合である。原論文は一般に分離公理を課さないが、本書のT₁正規空間の場合はその範囲に含まれる。Morita側の原論文は未照合であり、この照合だけから絶対的な初出は認定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
非負整数nについての主張の対応。Morita側の照合・歴史的初出・証明の独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書224・227頁と原論文206・211–212頁を原文で比較。原論文200頁脚注5の分離公理の規約も確認。
本書内で併せて確認した所在
224，定義36.1：有限開被覆による次元
原文献内で併せて確認した所在
206，dim F・dim S・dim Lの定義
212，Corollary 3.6
200，脚注5：分離公理の規約
原本230頁・§36
定理 36.7
full-statement-through-generalization-and-explicit-supporting-necessity
Nagami, Keiô and Roberts, J. H.，A Note on Countable-dimensional Metric Spaces（1965）
本書の主張の要約
各点の近傍を捉える被覆列の重なりをn+1以下に抑えることで，距離空間の次元上限nを判定する．
原文献の対応箇所
Theorem3 p156; proof p157; reference[3] p158・原文献156頁
細分する開被覆列U_iで各xのSt(x,U_i^Delta)が近傍ベース、order U_i≤n+1ならdim X≤n。Vopěnkaのmesh版の一般化と明記。
比較の付記
156頁Theorem3の距離空間、細分する開被覆列、各点xでSt(x,U_i^Delta)が近傍ベース、order U_i≤n+1という十分条件は本書36.7と一致する。本書15.1のU^Delta(x)と原論文のSt(x,U^Delta)は二重星の表現に対応し、157頁でSt(U_alpha,U_i)が有限被覆を細分する条件からX_iを定義する構成も本書230頁と対応する。必要性は同論文のTheorem3本文ではifのみなので、既存Vopenka1959の次元≤n⇒細分するmesh→0・重複度≤n+1の列と、既存対応vopenka-36-7-mesh-subcaseのd(x,y)≤2mesh評価を組み合わせる。これにより本書の必要十分条件の両方向をカバーする。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書230–231頁とNagami–Roberts155–158頁原文、既存Vopenka mesh版対応による必要性の組合せ。
留保
本書の単独Vopenka帰属を一般版の単独初出として追認しない。1965年原論文は一般化と明記する。本書著者の実使用文献・優先権の独立調査は未確認。
原文の確認に関する付記
原論文4頁全てを原文で閲読したが独立証明監査は行わない。
関連する対応
原本230頁・§36
定理の限定対応 36.7（mesh条件の場合）
mesh→0の場合に限定した主張の対応と仮定の橋渡し
Vopěnka, Petr，Замечание о размерности метрических пространств（1959）
本書の主張の要約
距離空間の次元を，重なりを制御しながら細かくする開被覆列で捉える．対応はmesh条件の場合に限る．
原文献の対応箇所
unnumbered Theorem; English Summary・原文献519, 522頁
距離空間の次元≤n iff細分する重複度≤n+1の開被覆列でmesh→0となるものが存在する。
比較の付記
本書15.1（71頁）の定義より U^Delta(x) は、あるzについてxとyがともにU(z)に属するようなyの集合。x,zを含むA∈Uとz,yを含むB∈Uがあり、d(x,y)≤diam A+diam B≤2 mesh U。したがってmesh U_i→0なら任意のxの近傍Oに対しU_i^Delta(x)⊂Oが十分大きなiで成立する。各星は開近傍なので本書36.7(2)を満たす。細分と重複度≤n+1は原論文519頁と本書で一致。原論文522頁英語Summaryのorder≤nは最大重複度から1を引く慣習で、ロシア語519頁は重複度≤n+1と明記。逆に本書の点ごとの条件から同じ列のmesh→0はここでは導かない。独立証明監査ではなく、比較に必要な著者側の仮定の橋渡し。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文519・522頁、本書71・230頁原文と定義の比較。
留保
本書の任意の点ごとの近傍ベース列に対する十分性全体との原文一致は未認定。named-36-7は候補を維持。
原文の確認に関する付記
原論文の証明全体の独立監査ではない。
原本235頁・§37
叙述 prose-235-13
後年の一般形による主張対応
Diestel, Reinhard，Graph Theory（2017）
本書の主張の要約
各段階が空でない有限集合なら，有向逆スペクトルの極限にも点が存在するというKönig型の原理．
原文献の対応箇所
Appendix A, Generalized Infinity Lemma; Lemma8.1.2・原文献396頁
任意の有向半順序集合P上の有限集合Xpと整合する写像fpq:Xq→Xpに対し、fpq(xq)=xpを満たす代表元族が存在する。非空仮定は215頁Lemma8.1.2から引き継ぐ文脈。396頁脚注は有向逆系の非空逆極限と明記。
比較の付記
本書の逆スペクトルの点は整合座標族である。Diestelの代表元族はこの座標条件をそのまま満たし、任意の有向添字集合の有限非空集合の場合に対応。全射性は両主張で不要。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
有限非空集合の任意有向逆系の非空性と、後続文献での一般化されたinfinity lemmaという名称。
留保
König1926に任意有向集合版が直接記載されること、歴史的初出、本書著者の使用文献は認定しない。後年資料との数学的主張一致。
原文の確認に関する付記
本書235頁とDiestel印刷215・396頁を原文閲読。
原本235頁・§37
本文 §37 Königの補題（自然数添字の場合）
自然数添字の逆極限への限定帰結
König, Dénes，Sur les correspondances multivoques des ensembles（1926）
本書の主張の要約
空でない有限集合からなる逆列には，共通して整合する点を選べるというKönigの補題．
原文献の対応箇所
§3 Lemma E・原文献120頁
有限非空集合の可算列E1,E2,…で、各E(n+1)の元に関係Rで結ばれるE(n)の元が少なくとも一つあれば、an∈Enでan R a(n+1)なる無限列が存在する。
比較の付記
En=Xn、a R bをa=πn^(n+1)(b)と置く。結合写像は各bに対し像aを与えるので補題Eの仮定を満たす。得た列は隣接添字で整合し、逆スペクトルの合成条件から任意のi<jでも整合するため逆極限の元である。結合写像の全射性はこの適用には不要。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書235頁と原論文114・120–121頁の原文確認。
留保
任意の有向集合を添字とする本書の形全体、初出と本書著者が用いた歴史的原典の確定は含めない。
原文の確認に関する付記
補題Eと証明冒頭は閲読。
原本236頁・§37
定理 37.10
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Eilenberg, Samuel and Steenrod, Norman，Foundations of Algebraic Topology（1952）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Eilenberg–Steenrod
コンパクトHausdorff空間を，有限多面体からなる逆系の極限で表す．
原文献の対応箇所
Chapter X, §10, Theorem 10.1・原文献284頁
任意のcompact pairはtriangulable pairsからなる逆系の極限である。
比較の付記
原著は空間対について述べるので、部分空間を空にした場合が本書の空間についての主張となる。原著p.4のcompactはHausdorffを含み、pp.56,60のsimplicial complex・triangulableは有限複体により定義される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
原著のより一般の主張の特殊化として対応を確認した。保存PDFは1957年第2刷で、印刷頁284はPDF第300頁。
原本238頁・§38
定理 38.3
statement-via-factorization-and-inverse-sequence-representation
Engelking, Ryszard，Dimension Theory（1978）
本書の主張の要約
コンパクトHausdorff空間から可算立方体への写像を，次元を増やさない有限多面体の逆列の極限を経由させる．
原文献の対応箇所
Engelking1978 Theorems 3.3.2, 1.13.2; Freudenthal1937 §28 p183 and §32 Hauptsatz I p191・原文献144, 242, 249頁
コンパクトX→Yをdim Z≤dim X, w(Z)≤w(Y)のコンパクトZ経由で全射因子分解する。有限次元コンパクト距離空間は同じ次元上限の有限開被覆の神経からなる多面体の逆列の極限。 Freudenthal1937 Hauptsatz Iはすべてのコンパクト距離化可能空間を有限多面体の逆列の極限として表す。
比較の付記
Y=I^ωに3.3.2を適用すると全射g:X→Zとh:Z→I^ω、dim Z≤dim X、w(Z)≤ℵ₀を得る。コンパクトHausdorffかつ可算重みのZは距離化可能。dim X=n<∞の場合、1.13.2によりZ≅lim Q_i、各Q_iは有限開被覆の神経で有限多面体かつdim Q_i≤n。極限への同相写像とg,hを合成すると本書の全射因子分解を得る。249頁は3.3.2をMardešić1960に、掲載証明をArhangel’skii1967に帰属させる。dim X=∞の場合は、得たコンパクト距離化可能ZにFreudenthal1937 Hauptsatz I（191頁、PDF48）を適用する。183頁（PDF40）のPolyederは有限個の単体の合併と明記されるので各Q_iは有限多面体であり、dim Q_i≤∞は自動的。極限との同相写像をg,hと合成すると同じ全射因子分解を得る。空のXは空多面体の逆列を許す通常の規約で自明。結合写像の全射性・正規性・既約性など原論文の強い付加条件は本書の定理文には追加しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書38.3の定理文を、有限次元・無限次元に分けて取得済みの二文献と対応。1960原論文自体との直接対応ではない。
留保
Mardešić1960原論文の直接照合、初出、1974本書の使用文献、独立証明監査は未認定。可算重みのコンパクトHausdorff空間の距離化と同相写像による合成を橋渡しとして明示。
原文の確認に関する付記
本書238頁、Engelking標題紙・144・242・249頁、Freudenthal1937の183・191頁を確認。
原本238頁・§38
定理 38.3（有限次元の場合）
partial-statement-via-two-theorems
Engelking, Ryszard，Dimension Theory（1978）
本書の主張の要約
有限次元コンパクトHausdorff空間から可算立方体への写像を，同じ次元上限の多面体の逆列で分解する．
原文献の対応箇所
Theorems 3.3.2 and 1.13.2; historical notes p249・原文献144, 242, 249頁
コンパクトX→Yをdim Z≤dim X, w(Z)≤w(Y)のコンパクトZ経由で全射因子分解する。有限次元コンパクト距離空間は同じ次元上限の有限開被覆の神経からなる多面体の逆列の極限。
比較の付記
Y=I^ωに3.3.2を適用すると全射g:X→Zとh:Z→I^ω、dim Z≤dim X、w(Z)≤ℵ₀を得る。コンパクトHausdorffかつ可算重みのZは距離化可能。dim X=n<∞の場合、1.13.2によりZ≅lim Q_i、各Q_iは有限開被覆の神経で有限多面体かつdim Q_i≤n。極限への同相写像とg,hを合成すると本書の全射因子分解を得る。249頁は3.3.2をMardešić1960に、掲載証明をArhangel’skii1967に帰属させる。dim X=∞は今回の1.13.2の有限nによる照合の範囲外。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
有限次元の場合のみ。多面体への最初の写像の全射性や結合写像の単体性を本書に追加しない。
留保
無限次元の場合、1960原論文の直接照合、1974本書の使用文献、独立証明監査は未認定。可算重みからの距離化は標準的な橋渡しとして明示する。
原文の確認に関する付記
本書238頁、補助書標題紙・144・242・249頁の原文確認。
原本240頁・§38
系 38.4
有限次元展開と用語の照合
Freudenthal, Hans，Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen（1937）
本書の主張の要約
コンパクト距離空間を，次元を増やさない有限多面体の全射逆系の極限として表す．
原文献の対応箇所
§32 Hauptsatz I (p.191); §59 Satz 4 (p.229); §§2,28,58,60・原文献229頁
有限次元dのコンパクト空間は、次元dの多面体の全射逆列に展開できる。
比較の付記
151頁でauf-Rn-adischは全射結合写像と整合座標の極限を意味する。183頁で多面体は有限個の単体の和と定義される。229頁Satz 4が有限次元dの展開を与える。228頁§58では次元列が最終的に一定又は無限に増大すると述べる。 191頁Hauptsatz Iは有限次元の仮定なしに、全コンパクト距離空間の全射多面体逆列表示を述べる。したがって本書の次元が無限大の場合、有限多面体の次元上限条件は自動的に満たされる。230頁§60は§59の次元とBrouwer–Urysohn–Menger次元の同値性を明記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文151・183・191・228–230頁、および本書240–241頁の38.4を照合。一般の全射多面体展開と、原論文の次元による有限次元上限を確認。
留保
有限次元の場合、原論文のε写像による次元（§59）およびBrouwer–Urysohn–Menger次元と、本書36.1の被覆次元との同値性の出典照合が未完了。無限次元の展開はHauptsatz Iで確認。
原文の確認に関する付記
229頁の不等号の読み落としを原文で確認。有限次元の展開を記録し、次元定義の照合未了を明記。
原本241頁・§38
例（存在主張と構成の骨格） 38.6
指定した範囲の対応を確認
Pasynkov, B. A.，On the spectra and dimensionality of topological spaces（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Pasynkov
結合写像をすべて全射にした多面体の逆系では表せない，コンパクト空間の例．
原文献の対応箇所
Example 7のAP、Lemmas 9–10と末尾の議論・原文献463頁
全射の接合写像をもつ多面体の逆スペクトルの極限ではないbicompact空間APを構成する。連続体の濃度に対応する順序数まで、区間と列からなる付加部分を超限的に作る。
比較の付記
本書38.6の存在主張はExample 7に対応し、そのXは原論文のAPに対応する。ωcまでの超限構成、後続段階でのJ・L・Iの付加、極限段階での逆極限、終端の区間の二点を分ける射影を選ぶ議論という骨格を照合した。AP′は別の構成として区別。原論文464頁のlαは印刷上n=1からの合併、本書242頁のLαはi=0,1,2,…を含む集合で定義されているため、全式の一致とは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
存在主張と構成の骨格の対応に限る。添字範囲の相違を保留し、原論文表記の補正、全式の一致、証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書241–244頁と原論文463–465頁の本文を対照。原論文449頁・476頁で書誌範囲も確認。
本書内で併せて確認した所在
242，38.6の超限構成・Lαの添字
243，38.6の極限段階
244，38.6の最終段階
原文献内で併せて確認した所在
464，Example 7の構成
465，Lemmas 9–10と多面体に関する結論
原本241頁・§38
叙述 38.6前の本文
statement-and-explicit-secondary-attribution
Engelking, Ryszard，Dimension Theory（1978）
本書の主張の要約
全射の結合写像だけで有限多面体へ展開できるかという問いに，Pasynkovが反例を与えた経緯．
原文献の対応箇所
Last paragraph p248; historical and bibliographic notes p249・原文献248–249頁
ind=Ind=dim=1でありながら、全射結合写像をもつ多面体（より一般には局所連結コンパクト距離空間）の逆系の極限ではないコンパクト空間が存在。249頁は前頁末の二例をPasynkov1962に帰属させる。
比較の付記
本書241頁の本文は反例の存在とPasynkovへの帰属を述べる。Engelking248頁末段落は全射結合写像をもつ多面体逆系の極限に表せないコンパクト空間を明示し、249頁歴史注記は直前末尾の二つの例をPasynkov1962に帰属させる。有限多面体はこの多面体クラスの部分クラスなので、その不存在は本書の反例存在の主張を含む。直前Example3.3.8の「次元≤1の多面体」だけに制限した別の反例と区別する。本書38.6の順序数による具体的構成と同じ例であること、1962原論文の直接閲読、初出はこの対応に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
38.6直前の反例存在・Pasynkovへの帰属記述。38.6の具体的構成自体を対象としない。
留保
1962原論文自体、初出、具体的反例の同一性、独立証明監査は未認定。1978補助書による主張と引用帰属の確認。
原文の確認に関する付記
本書241頁、Engelking248・249頁を原文確認。
原本244頁・§39
定理 39.2
full-statement-through-explicit-uniform-completeness-reduction
Morita, Kiiti，Topological completions and M-spaces（1970）
本書の主張の要約
位相完備性を，距離空間またはパラコンパクトHausdorff空間の逆系による表示で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem1.5(a),(c), non-parenthesized clauses・原文献275頁
最細一様性に関する完備性（topologically complete）と距離空間の逆系の極限であることは同値。
比較の付記
条件1⇔2は既存Morita Theorem1.5(a),(c)の対応。距離空間はパラコンパクトHausdorffなので2⇒3。3⇒1の補足：既存dieudonne-17-2-full-normalityにより各因子Yの全開被覆は正規であり最細一様性に属する。この一様性のCauchyフィルターFに集積点がないなら、各yの開近傍U_yとB_y∈FでU_y∩B_y=空を取れる。被覆{U_y}に関するCauchy性はあるA∈Fが一つのU_yに含まれることを要求し、A∩B_y=空となりフィルター性に矛盾。従って集積点があり、Cauchy性から同点へ収束する。各因子に完備な適合一様性が得られる。その積一様性は完備（各座標Cauchyフィルターが収束し有限座標近傍で積収束）。Hausdorff因子の逆極限はbonding-map等式の閉な等値集合の交わりで積の閉部分空間なので完備。最細一様性はこの適合一様性より細かいため、最細一様性でCauchyなフィルターは後者でもCauchy、同じ位相で収束する。従って逆極限は位相完備。本書の展開=逆極限への同相という既存定義照合を用いる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書244–245頁とMorita275頁本文を再閲読。既存定義照合・全体正規性対応に上記明示的補足を合わせた三条件の主張対応。
留保
Morita1.5(d)を第3条件と同一視しない。第3条件は補足還元による。Pasynkov1963原論文の直接照合・引用番号の歴史的訂正・独立した原論文全証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
Morita1970による再記述との対応。引用番号の不一致は別証拠で保存。
関連する対応
原本244頁・§39
定理 39.2（第1・第2条件）
三条件同値定理の二条件のみの照合
Morita, Kiiti，Topological completions and M-spaces（1970）
本書の主張の要約
完全正則空間の位相完備性を，距離空間の逆系へ展開できることと結び付ける．
原文献の対応箇所
Theorem1.5(a),(c), non-parenthesized clauses・原文献275頁
最細一様性に関する完備性（topologically complete）と距離空間の逆系の極限であることは同値。
比較の付記
本書152頁は位相完備性を極大一様被覆系に関する完備性として明記し、234頁は展開を逆極限と同相であることと定義する。Morita271頁のtopologically completeはfinest uniformityに関する完備性、275頁1.5(a),(c)は対応する二条件の同値を述べる。括弧内のrealcompact・separable版を本書の一般条件に混同しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書152・234・244–245頁と原論文271・275–276頁の原文による限定主張比較。
留保
パラコンパクトT₂空間の逆スペクトルという第3条件は未照合。Pasynkov1963原文は未取得。
原文の確認に関する付記
Morita1970による再記述との対応。引用番号の不一致は別証拠で保存。
原本247頁・§39
定理 39.4
原文定理・構成と補足論証による三項対応
Morita, Kiiti，Topological completions and M-spaces（1970）
本書の主張の要約
パラコンパクト・正則Lindelöf・コンパクトの場合に，次元を増やさない距離空間の逆系へ展開する．
原文献の対応箇所
Theorem1.4 (275頁), quotient construction (272–274頁)・原文献275頁
次元≤nのパラコンパクト空間は次元≤nの距離空間の逆極限。各距離空間は元空間からの連続全射による商として構成される。
比較の付記
Theorem1.4はdim X≤nのパラコンパクトXをdim≤nの距離空間の逆極限として表す。272–274頁では各段X/φ_λが元のXの連続全射φ_λによる商である。(2)正則Lindelöf空間はパラコンパクトであるため同構成を適用できる。各X/φ_λはLindelöf空間の連続像でLindelöf、距離化可能なので可分。(3)コンパクトT2空間もパラコンパクト。各商はコンパクト空間の連続像でコンパクト。次元上限と逆極限表示は同じ構成のまま保持される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
39.4三項の主張対応。第2・3項の特別な各段の性質は原文の商構成から導いた補足論証。
留保
Mardesic–Pasynkovへの初出帰属、本書著者使用文献は未確定。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
272–275頁と本書247頁を原文確認。可分性とコンパクト性の帰結は本作業による補足論証。 詳細：保存した調査資料
原本247頁・§39
定理 39.4（1）
三部からなる定理の第1項のみの直接対応
Morita, Kiiti，Topological completions and M-spaces（1970）
本書の主張の要約
パラコンパクトHausdorff空間を，同じ次元上限を持つ距離空間の逆系へ展開する．
原文献の対応箇所
Theorem1.4, final sentence・原文献275頁
dim X≤nのパラコンパクト空間は、次元≤nの距離空間の逆系の極限として表される。
比較の付記
Theorem1.4末尾はパラコンパクトかつdim X≤nの場合に前述の逆極限表示が成立すると明記する。本書234頁は「逆スペクトルに展開」を逆極限と同相であることと定義しており、結論の用語は一致。原論文271頁の空間規約は完全正則Hausdorff。パラコンパクトT₂の場合に第1項の主張が対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書234・247頁、原論文271・275–276・288頁を確認。
留保
第2項の可分距離空間表示と第3項のコンパクト距離空間表示は、この箇所で照合していない。Pasynkov1963原論文およびMardešićとの歴史的優先関係は未確認。
原文の確認に関する付記
Morita276頁は1.4の後半をPasynkovに帰属するが、引用番号[5]と288頁文献[15]の不一致を別途記録。
原本252頁・§39
定理 39.10（τが無限濃度の場合）
partial-statement-with-infinite-cardinal-premise
Engelking, Ryszard，Dimension Theory（1978）
本書の主張の要約
無限濃度の重さと次元を指定し，同じ重さ・次元の全体正規空間を受け入れるコンパクトな万有空間を作る．
原文献の対応箇所
Theorem 3.3.4, pp244–245; historical notes p249・原文献244–245,249頁
整数n≥0、濃度m≥ℵ₀に対し、dim≤nかつw≤mの全正規空間に対するコンパクト万有空間を構成。証明ではdim P≤n、w(P)≤m。249頁はPasynkov1964とZarelua1964の独立な結果と記す。
比較の付記
τ≥ℵ₀ではEngelking3.3.4のクラスは本書の等号で指定されたクラスを含む。コンパクト万有空間の次元・重みの等号には橋渡しが必要であり、n立方体とτ点離散空間の一点コンパクト化の位相和Kを用いるとKはコンパクト正規、dim K=n、w(K)=τ。このKは万有空間に閉埋め込みされるので次元・重みの単調性により下限n,τを得て、証明にある上限と合わせて等号になる。これは対応のために明記した導出で、原文の定理文が等号を直接印刷するとの認定ではない。本書252頁はτを単に濃度とするが補助書はm≥ℵ₀を明記。有限τの場合の規約・本書の適用範囲は未確認。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
n≥0、τ≥ℵ₀の場合の万有空間、等号への明示的な橋渡し、歴史注記の引用。
留保
有限τの扱い、本書の正規空間・重みの全規約、1964原論文本文、初出の独立認定、独立証明監査は未確認。1978補助書は本書1974年の使用資料としない。 本書13頁4.2の重みはベース濃度の最小値であり、max(ℵ₀,・)による無限化を定義していない。252頁39.10はτを濃度とだけ記す。253頁の等号を得る証明はΩからXαを任意に選ぶのでΩの非空性を使う。有限重みのT₁空間は有限離散空間となり次元0であるため、有限τとn≥1ではΩは空で、同時に要求されたコンパクトT₂ Pのdim P=n,w(P)=τは成立しない。従って無限濃度の対応を無断で全濃度に拡張せず、適用範囲の要確認事項として維持する。原文改変・誤植の著者意図の認定・独立証明監査は行わない。253頁末のP(τ,n)=nはdimの脱落と読めるが、原文の印刷を保存する。
原文の確認に関する付記
本書252頁、Engelking244・245・249頁を原文確認。
原本256頁・§40
定理 40.4
本書は原論文の系に正規性を追加した形
Smirnov, Yu. M.，On the dimension of increments of bicompact extensions of proximity spaces and topological spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Smirnov
正規で可算型のδ空間では，Smirnovコンパクト化の剰余の次元を縁次元で記述できる．
原文献の対応箇所
§4, Theorem 1, Corollary 1・原文献148頁
可算型に相当する条件をみたす近接空間Pについて、剰余Nc=cP∖Pの次元は縁次元dim∞ Pに等しい。
比較の付記
原論文p.143のDefinition 4と本書p.160の定義28.8は、各コンパクト集合を可算指標のコンパクト集合に含める同じ条件。縁被覆の定義は原論文p.146と本書p.254、縁次元の上界の定義は原論文p.148と本書p.256で照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
本書定義40.3のdim∞ X=nを定める文では、原文にdim∞ X≤nとdim∞ X≤n−1の二つの不等号が印刷されている。転記を修正せず、この表記上の疑義を残す。対応判定には直前の「dim∞ X≤n」の定義を用いた。
本書内で併せて確認した所在
160，定義28.8
254，定義40.1
原本260頁・§40
定理 40.12
原論文定理3と剰余次元等式を組み合わせた正規空間の場合
Smirnov, Yu. M.，On the dimension of increments of bicompact extensions of proximity spaces and topological spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Smirnov
正規・可算型のδ空間で，非コンパクトな近接縁コンパクト性を，剰余の被覆次元が0になることで判定する．
原文献の対応箇所
§5, Theorem 3; §4, Theorem 1, Corollary 1・原文献152頁
可算型の近接空間Pについて、dim∞P=0であることと、Pが近接縁コンパクトかつ非コンパクトであることは同値。§4の系により対象とする正規の場合はdim Nc=dim∞P。
比較の付記
原論文p.152のDefinitions 6, 6′, 6″, 7は、コンパクトな分離集合Cとその任意の開近傍外での遠隔性を要求し、本書40.10（p.259）の近接縁コンパクト性と同じ条件。Theorem 3は可算型の近接空間について dim∞P=0 と近接縁コンパクトかつ非コンパクトの同値を述べる。本書40.12は、正規性を追加し、既存対応smirnov-40-4の dim Nc=dim∞X によって剰余の次元を用いて述べた形。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
本書pp.259–260および原論文p.152を原文で確認。148頁の次元等式と可算型の定義の照合は既存記録smirnov-40-4を参照。定理3単独が直接dim Ncを述べるとは記録しない。
本書内で併せて確認した所在
259，定義40.10
256，定理40.4; smirnov-40-4
原本262頁・§40
系 40.14
原論文内の二つの系を合わせた主張対応
Sklyarenko, E. G.，Some questions in the theory of bicompactifications（1962）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Freudenthal–Morita
非コンパクトで縁コンパクトなHausdorff空間に，剰余の小帰納的次元が0の極小完全コンパクト化を与える．
原文献の対応箇所
§2, Theorem5 and Freudenthal–Morita corollary pp.438–439; corollary to Theorem7 p.442・原文献442頁
極大π拡張Y0は極小完全拡張μXに一致する。Theorem5によってその剰余は零次元である。
比較の付記
437頁で縁コンパクトHausdorff空間を定義。439頁のFreudenthal–Moritaの系はind零剰余を持つコンパクト拡張を述べる。442頁のTheorem7の系は極大π拡張を極小完全拡張μXと同定し、その剰余がTheorem5により零次元であると明記する。本書262頁の40.14の存在・完全性・極小性・ind零剰余と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
437・439・442頁と本書262頁の主張を原文照合。452頁の文献[7]Morita1952と[16]Freudenthal1951も確認。
原文の確認に関する付記
Freudenthal1951とMorita1952の原論文本文は未取得。ここでの主張対応はSklyarenko1962による再提示であり、歴史的原典二論文の直接照合ではない。全証明の監査は行っていない。
原本269頁・§42
定義 42.1
p空間の定義対応
Nagami, Keiô，Minimal class generated by open compact and perfect mappings（1973）
本書の主張の要約
Stone–Čechコンパクト化の外側の点を排除する開集合族を用いて，完全正則なp空間を定める．
原文献の対応箇所
Introduction, footnote (4)・原文献227頁
A completely regular space X has a sequence of open collections in its Stone–Čech compactification βX whose stars at each x have intersection contained in X.
比較の付記
本書42.1と原論文227頁脚注(4)はいずれも完全正則X、βX内の開集合族の可算列、各点xの星の共通部分がXに含まれる条件を使う。本書U_i(x)と論文S(x,U_i)は、その点を含む族の元の合併を表す。本書の一般拡張空間Yに関する外延的p構造の定義全体への対応ではなく、βXを使うp空間の定義に限定する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書269頁定義42.1とNagami1973の227頁脚注(4)を原文で照合。
原文の確認に関する付記
NagamiはArhangelskii1963のDefinition5を引用するが、その引用元本文は未取得。本書著者の使用典拠、定義の初出、Moritaとの独立発見の歴史的帰属を確定しない。
原本271頁・§42
定理 42.3
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭの外延基定理
p空間のコンパクト化での外位相濃度を，その空間のネットワーク濃度で抑える．
原文献の対応箇所
Main Theorem 4.2 and Definition 4.1・原文献64頁
完全正則なперистое空間が濃度τ以下のネットワークをもてば、任意のHausdorffコンパクト化内に濃度τ以下の外延基をもつ。
比較の付記
τをネットワーク濃度に取った形が42.3。64–65頁の外延基はXの各点のBX内の近傍を細分する族であり、本書41.7の意味と一致する。原論文のперистоеはDefinitions 1.1・1.4とTheorem 1.7により、本書42.1の完全正則なp空間と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書267・269・271–272頁とロシア語原論文56–58・64–65頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
267，41.7：外延基の定義
269，42.1：p空間の定義
272，42.3の続き
原文献内で併せて確認した所在
56，A：特記のない空間を完全正則、B：写像を連続とする規約
57，Definitions 1.1・1.4
58，Theorem 1.7：拡大空間による不変性
65，外延基の確認とCorollary 4.3
原本272頁・§42
系 42.4
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
p空間では，ネットワークの最小の大きさがベースの最小の大きさと一致する．
原文献の対応箇所
Corollary 4.3・原文献65頁
完全正則なперистое空間に濃度τ以下のネットワークがあれば位相濃度もτ以下である。
比較の付記
原論文のw(X)≤n(X)に、任意のベースはネットワークという定義上のn(X)≤w(X)を併せた等式表示が42.4。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書272頁と原論文64–65頁を確認。
原本272頁・§42
系 42.5
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
p空間のベースには，その空間の点の個数以下の濃度を持つものを選べる．
原文献の対応箇所
Corollary 4.6・原文献65頁
完全正則なперистое空間の位相濃度はその濃度を超えない。
比較の付記
本書のp空間が完全正則であるという定義の下で、仮定と結論が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書269・272頁と原論文65頁を確認。
原本272頁・§42
系 42.6
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
無限濃度τ以下の重さを持つ部分空間をτ個以下合わせたp空間は，重さもτ以下になる．
原文献の対応箇所
Additivity Theorem 4.4・原文献65頁
完全正則なперистое空間がτ個以下の位相濃度τ以下の部分空間の和なら、全体の位相濃度もτ以下。
比較の付記
部分空間の個数とそれぞれの位相濃度に課す条件が一致する。本書が明記する無限濃度τの範囲を照合する。各部分空間自体のp性を仮定しているわけではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書272頁と原論文65頁を確認。
原本274頁・§42
定理（(1)⇔(3)のみ） 42.10
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
完全正則空間のパラコンパクトp性を，距離空間への完全全射の存在で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 5.1・原文献66頁
空間が距離空間へ完全写像で写されるための必要十分条件は、パラコンパクトかつперистоеであること。
比較の付記
原論文56頁の完全正則性・連続性の規約の下で、42.10(1)⇔(3)がTheorem 5.1に対応する。(2)の正規開被覆列によるp構造の条件は、今回この定理との直接対応に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書274頁と原論文56・66頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
56，A：特記のない空間を完全正則、B：写像を連続とする規約
原本274頁・§42
系 42.11
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
パラコンパクトなp空間どうしの可算積は，その二つの性質をともに引き継ぐ．
原文献の対応箇所
Theorem 5.4・原文献67頁
パラコンパクトなперистое空間の可算積は同じ性質をもつ。
比較の付記
p空間の用語を対応させると可算積に関する仮定と結論が一致する。一般のパラコンパクト空間の積に拡張した主張ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書274–275頁と原論文67頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
275，42.11の続き
原本275頁・§42
系（Xも完全正則な場合） 42.12
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
完全正則な定義域では，完全全射の像がパラコンパクトp空間なら，定義域も同じ性質を持つ．
原文献の対応箇所
Theorem 5.5 with the general separation convention・原文献67頁
パラコンパクトなперистое空間の完全写像による逆像は同じ性質をもつ。特記のない空間は完全正則とする。
比較の付記
結論は42.12に対応するが、原論文56頁は特記のない空間を完全正則とする。本書はXのHausdorff性だけを仮定するので、今回の直接の照合はXも完全正則な場合に限定する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書が述べるHausdorffなXの一般形までを原論文と同一の仮定として扱わない。
原文の確認に関する付記
本書275頁と原論文56・67頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
56，A：特記のない空間を完全正則、B：写像を連続とする規約
原本275頁・§42
定義 42.14
定義の同値な読み替え
Morita, Kiiti，Products of normal spaces with metric spaces（1964）
本書の主張の要約
正規な開被覆列と星近傍の準収束を用いて，M空間を定める．
原文献の対応箇所
§6, M-space definition, condition(40)・原文献379頁
正規開被覆列があり、固定点の各星近傍の部分集合を元として含む可算FIP集合族の閉包の共通部分が非空となる空間をM-spaceとする。
比較の付記
正規被覆列の星近傍V_nはcl(V_{n+1})⊂V_nをみたす。本書41.1の準収束条件と原論文(40)はこの条件の下で同値となる。共通部分の可算コンパクト性と近傍の包含を可算FIP族の共通点の条件へ変換する導出を保存した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書266・275頁、原論文379頁を原文で照合。定義変換の導出は作業者による確認。
原文の確認に関する付記
導出は保存した調査資料。定義文の逐語的一致ではない。Moritaの大文字P空間、本書の小文字p空間とは別のM空間である。独立監査は未実施。
原本275頁・§42
定理 42.15
定義の読み替えを伴う主張の対応
Morita, Kiiti，Products of normal spaces with metric spaces（1964）
本書の主張の要約
M空間を，距離空間への準完全全射が存在する空間として特徴付ける．
原文献の対応箇所
§6, Theorem6.1・原文献379頁
M空間であることと、距離空間への閉連続全射で各ファイバーが可算コンパクトとなる写像が存在することは同値。
比較の付記
本書42.14の準完全は閉連続写像で各ファイバーが可算コンパクト。M空間の定義は原論文条件(40)と本書41.1の準収束を正規被覆列の星近傍に適用して同値となる。正規性から次の星近傍の閉包が前の星近傍に入り、共通部分は閉。定義同値の導出を別記に保存。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書266・275頁と原論文379頁を照合。定義の読み替えの導出は作業者によるもので独立監査ではない。
原文の確認に関する付記
保存した調査資料。Theorem6.1の証明全文の独立検証、独立発見・初出の認定は行わない。
原本275頁・§42
定理の後年の解説対応 42.16（後年の解説による対応）
後年の解説による主張対応
van Wouwe, J. M.，GO-spaces and generalizations of metrizability（1979）
本書の主張の要約
パラコンパクトHausdorff空間の中では，M空間とp空間の条件が一致する．
原文献の対応箇所
p.23 paragraph following Theorem1.5.2; definitions p.22 and T1 convention p.4・原文献23頁
Theorems1.5.1/1.5.2からパラコンパクト空間はM空間であることとp空間であることが同等と記す。
比較の付記
本書のパラコンパクトHausdorff範囲は原書のT1規約とp空間の完全正則性のもとでの同値主張に対応。22頁でp空間をHausdorffコンパクト化中のplumingで定義する。23頁Theorem1.5.2の引用はMorita1964 Theorem6.1。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原書4・22・23・111・113頁の原文と本書275頁の既存照合記録・忠実TeX。
留保
1979年刊行の解説であり本書1974年の直接利用資料ではない。初出・独立発見の一次証言・証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
23頁は二特徴付けからの帰結と記す。証明全文・原典の全照合ではない。
原本276頁・§42
補題 42.18
本書のT₁規約の下で仮定と結論が対応
Michael, Ernest，A theorem on perfect maps（1971）
本書の主張の要約
完全写像にHausdorff値域への連続写像を座標として加えても，対角写像は完全になる．
原文献の対応箇所
Theorem 1.1・原文献633頁
f:X→Yが完全、g:X→Zが連続、ZがHausdorffならば、(f,g):X→Y×Zは完全である。
比較の付記
本書p.276の補題42.18と原論文p.633のTheorem 1.1を原文で照合。証明はいずれもグラフへの写像とf×idの合成を用いる（原論文p.634）。本書の補題見出しには著者名がなく、著者がこの論文を直接参照したかは確定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による仮定・結論と証明の構成の対応確認
原文の確認に関する付記
本書ではX,Yも第2章以後のT₁規約に従う。原論文はZのHausdorff性を明記する一般形。本書はその適用範囲を取り出した形として対応する。原論文はArhangel’skiĭ・Frolíkの既出結果にも言及し、初出の認定ではない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本276頁・§42
定理 42.19(1)
原論文の因子・weightの指定を省いた特徴付け
Nagata, Jun-iti，A Note on M-Space and Topologically Complete Space（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Nagata
パラコンパクトp空間を，距離空間とコンパクトHausdorff空間の積に閉じて埋め込める空間として捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 1・原文献541頁
Hausdorff空間X（weight |A|）がパラコンパクトM空間であることと、S⊂H(A)および立方体P(A)についてS×P(A)に閉埋め込みをもつことは同値。
比較の付記
本書42.16によるp/Mの言い換えを確認。原論文は距離空間の因子を一般化Hilbert空間の部分空間、コンパクト因子を立方体に指定している。本書は任意の距離空間とコンパクトT₂空間を用いた存在条件として述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文p.541はAを無限集合、空間をHausdorffとする規約を置く。weightの精密化を含めて本書と逐語的に同じ定理だとは扱わない。
本書内で併せて確認した所在
275，定理42.16（パラコンパクトT₂空間のp性とM性の同値）
原本276頁・§42
定理 42.19(2)
原論文の因子・weightの指定を省いた特徴付け
Nagata, Jun-iti，A Note on M-Space and Topologically Complete Space（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Nagata
Čech完備パラコンパクト空間を，完備距離空間とコンパクトHausdorff空間の積への閉埋め込みで捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 2・原文献542頁
Hausdorff空間X（weight |A|）がパラコンパクトかつČechの意味でtopologically completeであることと、H(A)×P(A)への閉埋め込みをもつことは同値。
比較の付記
原論文p.541はtopologically completeをČechの意味と明記し、Theorem 2は一般化Hilbert空間H(A)と立方体P(A)を用いる。本書は完備距離空間とコンパクトT₂空間を用いて述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文の精密なweightの指定は本書にはない。両方の証明全体を独立監査したものではない。
原本277頁・§42
定義（連続写像の場合） 42.20
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
値域のコンパクト集合を，定義域のコンパクト集合から写せるコンパクト被覆写像を定義する．
原文献の対応箇所
§7冒頭のcompact-coveringの定義・原文献987頁
連続写像について、像空間の各コンパクト集合を定義域のコンパクト集合で覆う条件を定める。
比較の付記
コンパクト集合の持ち上げ条件が一致する。原論文は連続写像について定義しているため、ここでの対応は連続写像の場合に限る。用語の初出を1966年と認定するものではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定義の照合のみ。連続性のない写像まで原論文の定義を拡張しない。
原文の確認に関する付記
本書277頁と原論文987頁を確認。
原本277頁・§42
定理（点可算型の部分のみ） 42.21
指定した範囲の対応を確認
Wicke, H. H.，On the Hausdorff open continuous images of Hausdorff paracompact p-spaces（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Wicke
Hausdorff空間の点可算型を，パラコンパクトp空間からの開連続全射の存在で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 2・原文献138頁
Hausdorff空間が点可算型であることと、Hausdorffパラコンパクトp空間の開連続像であることが同値。
比較の付記
本書42.21の前半がTheorem 2と対応する。137頁のpoint-countable typeは各点が可算指標をもつコンパクト集合に含まれるという意味。後半の可算型・コンパクト被覆開連続像の特徴付けはこの定理には記されておらず、照合範囲に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
42.21の後半は未照合。証明の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書277頁と原論文137–138頁を照合。原誌136・139–140頁も書誌・範囲を確認。
原文献内で併せて確認した所在
137，定義とLemma 2
原本278頁・§42
定理 42.22
Filippov原論文の主張文との直接一致
Filippov, V. V.，On feathered paracompacta（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Filippov
パラコンパクトなp空間では，点可算ベースが距離化の十分条件になる．
原文献の対応箇所
Theorem 3・原文献558頁
パラコンパクトなp空間では，点可算ベースが距離化の十分条件になる．
比較の付記
p.555の導入はperisty空間をp空間と明記し、脚注は対象を完全正則空間とする。本書42.1のp空間も完全正則性を含む。p.558のTheorem 3は本書42.22のp空間による表現に一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張文・分離公理の確認（p空間の定義の引用元までは未照合）
原文の確認に関する付記
p空間の定義の引用元であるArhangel’skiĭ論文まで逐語照合したものではない。Nagata 1969による再掲の確認とは別に、Filippovの原論文の定理を確認した。
本書内で併せて確認した所在
269，定義42.1
原本278頁・§42
定理 42.22
NagataによるFilippovの定理の再掲との一致
Nagata, Jun-iti，A Note on Filipov’s Theorem（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Filippov
パラコンパクトなp空間では，点可算ベースが距離化の十分条件になる．
原文献の対応箇所
Filipov’s Theorem（引用定理）・原文献30頁
点可算開ベースをもつパラコンパクトM空間は距離化可能。
比較の付記
p.30脚注2はHausdorff規約と、パラコンパクトの場合のp空間とM空間の同値性を明記。本書の二通りの仮定に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
照合した原文はNagataの論文。Filippov 1968原論文の直接照合としては数えない。
本書内で併せて確認した所在
275，定理42.16（パラコンパクトT₂空間のp性とM性の同値）
原本279頁・§42
定理 42.23
本書は原論文のより広い仮定の特殊場合
Borges, Carlos J. R.，On Metrizability of Topological Spaces（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Borges–Okuyama
パラコンパクトなp空間で，対角集合がGδになれば適合距離を入れられる．
原文献の対応箇所
Theorem 2.13（metacompact側）・原文献799頁
正則metacompact M空間Xは、Gδ対角集合をもつことと距離化可能であることが同値。
比較の付記
パラコンパクトHausdorff空間は正則かつmetacompactなので、Theorem 2.13の括弧外の主張を本書の仮定で適用できる。括弧内には別にmeta-LindelöfとḠδ対角集合の組があるが、この照合では使わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
BorgesとOkuyamaは別々の論文として登録。2件の対応記録は、本書の定理が二つ増えたという意味ではない。
本書内で併せて確認した所在
275，定理42.16（パラコンパクトT₂空間のp性とM性の同値）
原本279頁・§42
定理 42.23
原論文の必要十分条件の十分性
Okuyama, Akihiro，On Metrizability of M-Spaces（1964）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Borges–Okuyama
パラコンパクトなp空間で，対角集合がGδになれば適合距離を入れられる．
原文献の対応箇所
Theorem 1′・原文献176頁
Xが距離化可能であることと、パラコンパクトHausdorff M空間でありX×Xの対角線がGδ集合であることは同値。
比較の付記
本書の括弧内のM空間による仮定が原論文と一致する。p空間による表現は本書42.16の同値性による。原論文は逆向きの必要性も述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
本書の帰属は原文でBorges–Okuyamaと読める。誤読したUkuyamaを出典探索に採用しない。
本書内で併せて確認した所在
275，定理42.16（パラコンパクトT₂空間のp性とM性の同値）
原本280頁・§42
定理 42.25
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Čoban, M. M.，Perfect mappings and spaces of countable type（1967）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Čoban
p空間の条件から，コンパクト集合に関する可算型の条件を導く．
原文献の対応箇所
Theorem 10・原文献92頁
完全正則なfeathered spaceは可算型である。
比較の付記
本書42.1はp空間を完全正則空間として定義する。原論文p.92のfeathered spaceの主張が対応する。可算型の定義は原論文p.88脚注***と本書28.8の、各コンパクト集合を可算指標のコンパクト集合に含める条件で照合した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
featheringの定義の引用元であるArhangel’skiĭの文献まで逐語照合したものではない。
本書内で併せて確認した所在
269，定義42.1
160，定義28.8
原本282頁・§43
定理 43.4
本書のT₁規約の下で四条件が対応
Burke, Dennis K.，On subparacompact spaces（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Burke
T₁空間のσパラコンパクト性を，疎性・局所有限性・閉包保存性を持つ列状の閉細分で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.2・原文献655頁
位相空間Xについて、σ-paracompactと、各開被覆のσ-discrete・σ-locally-finite・σ-closure-preservingな閉細分の存在が同値。
比較の付記
本書43.1と原論文冒頭のσ-paracompactの定義も、開被覆列の星の包含条件として照合。条件(1)〜(4)は(a)〜(d)の順で対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文はこの四条件でsubparacompactを定義する。分離公理のない一般形から本書のT₁の場合を取り出した対応。
本書内で併せて確認した所在
281，定義43.1
27，第2章以後のT₁規約
原本286頁・§43
例 43.8
指定した範囲の対応を確認
Burke, Dennis K.，On subparacompact spaces（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Burke
点有限パラコンパクトな完全p空間でも，サブパラコンパクト性が従わないことを示す例．
原文献の対応箇所
Examples 4.1–4.2・原文献661頁
Example 4.1のstrict p-spaceはsubparacompactでなく、同じ空間がExample 4.2ではpointwise paracompactと述べられる。
比較の付記
両者の台集合は[0,ω₂)²。原点と両座標が非零の点を孤立させ、残る軸上の点では対応する行・列の余有限集合を基本近傍にする。本書のL₀α,L₁αは原論文L₁,α,L₂,αに対応する。本書42.7は完全p空間をstrict p-spaceと明記し、例で用いる同じ一定被覆のstarは開コンパクトなので、両論文で表し方の異なるp構造の条件をこの具体例では満たす。一般の二つの定義の同値性を独立に証明した記録ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書273・286頁、原論文660–663頁を表示確認。subparacompactの用語の対応は同論文と本書43.4の既存照合にもよる。
本書内で併せて確認した所在
273，定義42.7と定理42.8
原文献内で併せて確認した所在
660，strict p-spaceの定義
662，Example 4.1の構成
663，Example 4.2
原本287頁・§43
定義 43.10
定義の直接対応
Worrell, Jr., J. M. and Wicke, H. H.，Characterizations of Developable Topological Spaces（1965）
本書の主張の要約
開被覆を列状に細分し，各点で少なくとも一段階が点有限になるθ細分可能性を定める．
原文献の対応箇所
Section 3, Definition 2・原文献824頁
各開被覆Hに対し、Hを細分して全空間を覆う開集合族の可算族Cが存在し、各点PでCのある元Fがfinite at Pとなる。
比較の付記
原論文finite at PはPが和集合に属し、Pを含む元が有限個という意味。各Fは全空間を覆うため本書のord_x U_i<∞と一致する。可算族を列として記述する記法の違いのみ。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書287頁と原論文824頁の原文で定義とfinite at Pの説明を確認。
原文の確認に関する付記
直前のWicke–Worrellへの帰属は原論文のtheta-refinability導入と対応する。定義の絶対的初出や著者の直接利用は確定しない。隣接する独立性の二反例は照合範囲外。
原本288頁・§43
命題 43.12
主張対応と位数条件の橋渡し
Worrell, Jr., J. M. and Wicke, H. H.，Characterizations of Developable Topological Spaces（1965）
本書の主張の要約
θ細分可能性を，全空間を覆う閉集合列上で開細分の重なりを有限にできる条件で捉える．
原文献の対応箇所
Section3, Remark immediately after Definition2・原文献824頁
θ細分可能性は、各開被覆について、全空間を覆う可算閉集合族と、各閉集合の各点で有限となる開細分被覆が存在する条件と同値。
比較の付記
閉集合M_iをさらに位数がj以下となる閉集合F_ijに分け、開被覆V_iを繰り返し、(i,j)を可算列に並べれば本書の条件になる。逆向きは有限位数から各点の有限性が従う。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書288頁と原論文824頁の原文による主張照合。有限位数と点有限の差を別JSONに記録。
原文の確認に関する付記
原論文は各閉集合上の共通上界を明示していないため、そのまま逐語一致とはしない。本書のF_ijの構成が差を埋める。
原本288頁・§43
定義 43.13
二つのベース条件の同値性を伴う定義対応
Worrell, Jr., J. M. and Wicke, H. H.，Characterizations of Developable Topological Spaces（1965）
本書の主張の要約
共通点を持つベースの真の減少列が，その点の近傍を捉え尽くすという可算深度を定める．
原文献の対応箇所
Definitions and Notation; Section2 opening definition・原文献821頁
各元の真部分集合を含むperfectly decreasingなベース部分族が共通点Pを持つならPの局所ベースになる。
比較の付記
本書の真減少列は論文のperfectly decreasing部分族であるため、論文条件から本書条件が従う。逆にperfectly decreasing部分族TからU1を選び、各Uiの真部分集合Ui+1をT内で逐次選ぶと真減少列になる。Tの共通点xは列の共通点でもある。本書条件で列がxの局所ベースとなるため、それを含むTも局所ベースとなる。通常の選択公理の下で同じベースに対する二条件が同値。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文821頁と本書288頁を照合し、定義の同値性の橋渡しを記録。
原文の確認に関する付記
perfectly decreasingは部分族の各元が同族内に真部分集合を持つという意味であり、部分族全体の線形順序を仮定しない。43.17の仮定比較と原典1963本文の直接照合は別作業。
原本289頁・§43
定理 43.16
本書のT₁規約の下での対応
Worrell, Jr., J. M. and Wicke, H. H.，Characterizations of Developable Topological Spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Wicke–Worrell
T₁空間の展開可能性を，可算深度とθ細分可能性の組合せで特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 3・原文献825頁
空間が展開可能であることと、essentially T₁かつθ-refinableでbase of countable orderをもつことは同値。
比較の付記
原論文p.821のessentially T₁は、異なる点の閉包が一致するか互いに素であること。本書では各点が閉なので自動的に満たす。θ細分可能性は本書43.10と原論文p.824 Definition 2で照合。可算深度について、原論文のperfectly decreasingな族から真の減少列を逐次選べること、および真の減少列自身もそのような族であることにより、本書43.13の列による表現と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定理文・分離公理・二つの定義の対応
原文の確認に関する付記
前回保留したessentially T₁との相違は、本書全体の規約に戻って解消した。全体の証明や可算選択を使わない基礎論的版の検証ではない。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
287，定義43.10
288，定義43.13
原本291頁・§43
定理 43.17
後続原論文の明示引用と仮定の言い換え
Worrell, Jr., J. M. and Wicke, H. H.，Characterizations of Developable Topological Spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skii
可算深度と全体正規性を併せ持つ空間では，位相に適合する距離を得られる．
原文献の対応箇所
Introduction, Arhangelskii theorem attributed to [4]; definition Section2・原文献820頁
Hausdorffパラコンパクト空間は可算順序ベースを持つことと距離化可能であることが同値。Arhangelskii[4]に帰属。
比較の付記
本書81頁17.4で全体正規⇒族正規⇒正規、17.5で全体正規⇒パラコンパクト。本書のT1の共通仮定の下で正規性はHausdorffを含意する。したがって43.17の空間は論文のHausdorffパラコンパクトの仮定を満たす。43.13の可算深度と論文821頁の可算順序ベースは別登録の定義対応で同値。820頁のArhangelskiiへの明示引用の十分性が43.17を与える。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文820–821頁、本書81・288・291頁を照合。仮定の橋渡しと十分性の対応を記録。
留保
Arhangelskii1963原典本文は未取得。この登録はWorrell–Wicke1965が明示引用した定理を介する主張対応であり、1963年原典の直接照合ではない。
原文の確認に関する付記
全体正規をcollectionwise normalのみと訳さず、17.4と17.5の両方を用いた。数学的証明の独立監査は未実施。
原本292頁・§44
例 44.6
指定した範囲の対応を確認
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
実直線上で整数とその逆数を同一視する例で，対称距離化と，商写像の制限の失敗を示す．
原文献の対応箇所
Example 2.2とその直後の制限写像の説明・原文献127頁
同じ同一視による商空間Qはsymmetrizableであり、すべての非整数x>1と0の像からなる部分集合への制限では、商写像性が失われる。
比較の付記
SとQの同一視、射影、制限する部分集合が対応する。原論文125頁脚注のsymmetricの三条件を本書44.1と照合した。本書44.6(2)は特定の対称距離を部分集合に制限する記述であり、ここでは(1)と(3)を直接照合対象とする。原論文の非第1可算性・strong compatibilityの主張全体まで同じ記述とはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書291–293頁、原論文125・127頁を表示確認。保存英訳PDFは130–131頁が欠落するが、今回の照合頁は存在する。
本書内で併せて確認した所在
291，定義44.1
293，例44.6(3)
原文献内で併せて確認した所在
125，symmetricの定義と商距離
原本295頁・§44
定理 44.11
コンパクトの場合の部分対応
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Niemytzki–Arhangelskii
対称距離を持つHausdorff空間に可算コンパクト性を加えると，通常の距離化が可能になる．
原文献の対応箇所
Discussion following Theorem 2.6, compactum metrization argument・原文献126–127頁
すべての対称距離コンパクトHausdorff空間は距離化可能。各点のGδ性から第1可算性を得てNemytskii [58]の定理を適用する。
比較の付記
論文126–127頁はコンパクト空間の距離化を明示し、本書44.11のコンパクトな場合に対応する。127頁は第1可算性を得た後の距離化をNemytskii [58]に帰属させる。本書は44.10で可算コンパクト空間をコンパクト半距離空間に帰着する。論文のこの箇所だけから本書の可算コンパクト全体の主張を直接照合済みとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
論文126–127頁と本書295頁を照合。コンパクトの場合の主張とNemytskiiへの明示帰属のみ。
留保
可算コンパクトからコンパクトへの帰着はこの論文箇所で確認していない。44.11全体の歴史的典拠、およびNedev1967二論文の帰属関係は未解決。
原文の確認に関する付記
compactumをcountably compactの意味に拡張しない。Nemytskii [58]原論文本文は今回照合していない。
原本295頁・§44
定理 44.11
半距離の場合の原典対応と本書の帰着
Niemytzki, V.，Über die Axiome des metrischen Raumes（1931）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Niemytzki–Arhangelskii
対称距離を持つHausdorff空間に可算コンパクト性を加えると，通常の距離化が可能になる．
原文献の対応箇所
Definition I–II p.666; Satz II and Hilfssatz pp.668–669・原文献666–669頁
対称なρについてxがMの閉包に属することとρ(x,M)=0が同値である空間（Definition I–II）がkompaktなら距離化可能（Satz II）。補題はbikompaktへの帰着。
比較の付記
1931年Definition Iは任意の集合Mの閉包を距離0で判定し、Definition IIは対称性を要求する。これは本書の一般の対称距離より強い半距離条件。Satz IIはその条件の下で距離化する。本書44.11の証明は44.10によってコンパクト半距離空間へ帰着するため、その帰着後の距離化段階はSatz IIと対応する。原論文のkompaktとbikompaktを同じ語に訳さず、本文668頁の点列集積点の使用とbikompaktへの補題を区別して記録した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
論文666–669頁の定義・定理II・補題、本書295頁の帰着を照合。帰着後の半距離コンパクト空間の距離化の典拠。
留保
一般の対称距離を半距離へ帰着する本書44.10の原典はこの論文では確認していない。1931年のkompaktの一般的定義の参照文献は今回直接照合せず、現代の可算コンパクト条件全体との同一視を保留。
原文の確認に関する付記
1931年Definition Iの強い閉包条件と1966年論文125頁脚注の弱い閉集合判定条件を区別する。証明の独立監査は行っていない。
原本297頁・§44
定理 44.15
原論文の特殊な場合
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
p空間で対称距離と族正規性がそろうと，位相に適合する距離を持つことを示す．
原文献の対応箇所
Theorem 2.5・原文献126頁
対称距離p空間の族正規な部分空間は距離化可能である。
比較の付記
原論文Theorem 2.5は対称距離p空間の族正規な部分空間が距離化可能と述べる。本書44.15はその部分空間をX自身とする場合に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書の定理の主張を、原論文のより一般的な定理のX自身を部分空間に取る場合に対応付ける。証明の独立検証は行わない。
留保
原論文の部分空間一般についての主張全体を本書44.15と同一視しない。
原文の確認に関する付記
本書297頁と原論文126頁の定理見出し・主張を原文で確認。対称距離の原論文の規約については125頁脚注の抽出文を参照。
原本298頁・§42
演習 8.B
reported-theorem-with-explicit-local-compactness-reduction
Arhangel'skii, A. V.，Concerning the weight of topological spaces（1962）
本書の主張の要約
局所可算コンパクトな正則空間を可分距離空間の可算和で覆えるなら，全体も可分距離化できる．
原文献の対応箇所
§1, paragraph preceding Remark 1, citing Smirnov [2]・原文献72頁
Smirnovは局所コンパクトXと可算個の第二可算部分空間Xαについて重みの加法公式wX=ΣwXαを証明した、と明示的に述べる。
比較の付記
可算個の可分距離部分空間Xiの可算基底を合わせるとXの可算ネットワークになる。ネットワークは部分空間に制限でき、可算ネットワークを持つ任意の部分空間はLindelöfである（各開被覆に対しネットワーク元ごとにそれを含む被覆元を一つ選ぶ）。各点の可算コンパクトな近傍を取り、正則性によりその内部へ閉包を含めて開近傍を縮小する。この閉包は元の近傍の閉部分空間として可算コンパクトで、可算ネットワークによりLindelöfでもある。従ってコンパクトでありXは局所コンパクト。Arhangelskii72頁がSmirnov[2]に帰属する局所コンパクト版の重み公式を適用するとw(X)≤ℵ0。正則T1空間の第二可算性から距離化可能、かつ可分。有限・空の部分空間についても可算ネットワークによる上界を用いるので結論に影響しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書298頁8.Bと後続原論文72頁の照合、および局所可算コンパクトから局所コンパクトへの補助議論。
留保
Smirnov1956原論文の直接閲読・原定理番号・初出・著者が実際に使った典拠は未確認。後続論文の明示報告と補助議論による主張対応。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
原論文72頁を再度確認。本書298頁8.B・ヒントを確認。原論文74頁[2]書誌は既存閲読記録参照。
原本299頁・§42
演習 8.G
正則性から完全正則性への橋渡しを介した主張対応
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
可算型の正則空間をコンパクト距離空間の可算和で表せれば，全体を距離化できる．
原文献の対応箇所
Chapter III, §4, Theorem3.21 (sufficiency)・原文献50頁
完全正則なFσ型空間が距離化可能である必要十分条件は可算型であることで、このとき可算ベースをもつ。
比較の付記
原論文50頁Theorem3.21は完全正則なFσ型空間（ここでは可算個のコンパクト距離空間の和）が距離化可能であることと可算型であることを同値とする。本書8.Gは正則・可算型とコンパクト距離空間の可算和を仮定する。その和はLindelöfであり、本書9.21の正則Lindelöf⇒正規、および9.9のUrysohn分離により完全正則となる。従って原論文の十分条件が適用できる。原論文は第二可算性まで結論し、本書のヒントもコンパクト各片の可算指標と外部ベースからw(X)≤ℵ₀を導く。原論文のFσ型は閉コンパクト片による和であり、Hausdorff性により本書のコンパクト片も閉である。仮定の文字通りの一致ではなく、この橋渡しを介した対応。独立証明監査ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書299頁と原論文50頁を照合。原論文の十分条件と本書演習の仮定の橋渡しを確認。
原文の確認に関する付記
Fσ型の意味は原論文50頁前半の括弧説明で確認。1965年p空間論文とは別論文であり候補を修正した。
原本299頁・§42
演習 8.L
主張の直接一致
Michael, Ernest，A theorem on perfect maps（1971）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
二つの連続写像の合成が完全で中間空間がHausdorffなら，最初の写像も完全になる．
原文献の対応箇所
Corollary 1.4・原文献634頁
二つの連続写像の合成が完全で中間空間がHausdorffなら，最初の写像も完全になる．
比較の付記
記号を対応させると仮定・結論が一致する。8.Lのヒントのグラフへの写像と射影は論文§3のCorollary 1.4の証明と対応する。8.Mの包含写像への適用は論文のCorollary 1.5導入と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書299頁と原論文634頁の原文による主張・ヒント対応の確認。
原文の確認に関する付記
原論文はCorollary 1.4をBourbakiの既知結果としても紹介する。本書がMichael論文を直接利用したという歴史的断定はしない。完全写像は閉写像かつコンパクトな点逆像の意味で、全射を要求しない。
原本299頁・§42
演習 8.M
主張の直接一致
Michael, Ernest，A theorem on perfect maps（1971）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：なし（8.Lを用いるヒント）
Hausdorff空間上の連続写像がある部分空間では完全になるとき，その部分空間の閉性を導く．
原文献の対応箇所
Corollary 1.5・原文献634頁
Hausdorff空間上の連続写像がある部分空間では完全になるとき，その部分空間の閉性を導く．
比較の付記
記号を対応させると仮定・結論が一致する。8.Lのヒントのグラフへの写像と射影は論文§3のCorollary 1.4の証明と対応する。8.Mの包含写像への適用は論文のCorollary 1.5導入と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書299頁と原論文634頁の原文による主張・ヒント対応の確認。
原文の確認に関する付記
原論文はCorollary 1.4をBourbakiの既知結果としても紹介する。本書がMichael論文を直接利用したという歴史的断定はしない。完全写像は閉写像かつコンパクトな点逆像の意味で、全射を要求しない。
原本302頁・§45
定理 45.7
主張文と補助空間の分離性を照合
Michael, Ernest，Local compactness and cartesian products of quotient maps and k-spaces（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：J. H. C. Whitehead–Michael
正則空間の局所コンパクト性を，恒等写像との積が商写像を保つ性質によって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 2.1; construction p.282・原文献282頁
正則空間の局所コンパクト性を、恒等写像と商写像の積、およびパラコンパクトk空間間の閉コンパクト被覆写像との積によって特徴付ける。
比較の付記
条件(3)で本書が明示するT₂性は、原論文の必要性の構成から補える。原論文p.282のΛはコンパクトHausdorff順序数区間の位相和なのでHausdorff。その各終点だけを一点に縮めた商YもHausdorffである。終点以外の二点は終点集合を避けた開集合で分離でき、縮約点と他の点は、その点の属する区間で終点と分離した開集合を取り、縮約点側に他の全成分を加えて分離できる。これは構成からの補足推論であり、論文中にYのHausdorff性が明記されているとの主張ではない。 本書p.303にも同じ終点同一視の構成がある。本書のT₁規約の範囲で三条件が対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応と、補助空間の分離性に限る補足確認。証明全体の独立監査・初出認定は行っていない
原文の確認に関する付記
原論文は局所コンパクト性から積が商となる方向をWhiteheadの結果として引用する。Whitehead原論文自体の対応は今回未照合。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
303，定理45.7の補助空間
原本304頁・§45
定理 45.9
主張文と補助空間の分離性を照合
Michael, Ernest，Local compactness and cartesian products of quotient maps and k-spaces（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Cohen–Michael
正則空間の局所コンパクト性を，k空間との積がk空間になることによって判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3.1; proof p.284・原文献283頁
正則空間の局所コンパクト性を、任意のk空間との積、または任意のパラコンパクトk空間との積がk空間となることで特徴付ける。
比較の付記
原論文p.284は必要性にTheorem 2.1の補助空間Yを使う。このYのHausdorff性は構成から補足確認できるため、本書条件(3)のT₂という限定と両立する。詳細は45.7の対応欄と調査記録に記載。本書のT₁規約の範囲で比較した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応と、補助空間の分離性に限る補足確認。証明全体の独立監査・初出認定は行っていない
原文の確認に関する付記
原論文は十分性をCohenに帰属させる。Cohen原論文の独立した照合は今回の確認範囲に含めない。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
原本305頁・§45
定理 45.10
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
Hausdorffな点可算型空間では，コンパクト部分集合によって閉性を判定できる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.7′・原文献35頁
点可算型空間はk空間である（全空間Hausdorff）。
比較の付記
本書41.4の点可算型は、各点がXで可算指標をもつコンパクト集合に含まれるという同値な記述を備え、原論文定義3.8に対応する。本書45.1のk空間の条件と原論文定義2.1は、Hausdorff空間でコンパクト部分集合の閉集合がコンパクトであることにより一致する。本書45.10はT₂を明記しており仮定も対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で、ここに指定した分離公理・定義・仮定・結論の対応を確認。証明の独立検証と歴史的な直接利用の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書266頁の41.4、301頁の45.1、305頁の45.10と、原論文4頁脚注1、10頁定義2.1、34頁定義3.8、35頁Theorem 3.7′を原文で確認。
本書内で併せて確認した所在
266，定義41.4
301，定義45.1
原文献内で併せて確認した所在
10，Definition 2.1
34，Definition 3.8
4，Footnote 1: all spaces Hausdorff
原本305頁・§45
定理 45.11
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
完全正則空間からk空間への完全全射があれば，定義域でもコンパクト集合で閉性を判定できる．
原文献の対応箇所
Theorem 2.5; Definition 2.2 and the following paragraph・原文献18頁
k空間Yへのk写像f:X→Yについて、fが連続であることとXがk空間であることは同値。k写像はコンパクト集合の像と逆像をコンパクトにする写像で、完全写像はその一例。
比較の付記
11頁で完全写像がk写像に含まれることを確認し、Theorem 2.5の連続な場合を本書45.11に対応させる。原論文の全空間Hausdorffという規約も満たされる：Xは完全正則T₁であり、異なるコンパクトファイバーをX内で開分離して閉写像性を使えば像YもHausdorffとなる。これは適用条件の確認であり、本書のStone–Čechコンパクト化を使う証明と原論文の証明の同一性は主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
完全写像からk写像への特殊化による主張対応。証明全体の独立検証と本書著者の直接利用の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書305頁と原論文4・11・18頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
11，Definition 2.2 and perfect maps as examples
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
原本306頁・§45
問題（六項目の定式化） 45.13
指定した範囲の対応を確認
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
Hausdorff空間をk先導へ変える操作が，濃度・正規性・被覆性など六つの性質を保つかを問う．
原文献の対応箇所
Group of Problems 6.1・原文献152頁
k先導への移行でparacompactness、weight、complete regularity、perfect normality、hereditary final compactness、normalityのいずれが保たれるかを問う。
比較の付記
本書の(1),(2),(3),(4),(5),(6)が、原文の(b),(a),(c),(d),(f),(e)に対応する。final compactnessはここではLindelöf性の用語。照合したのは問題の六項目とk先導への移行という問いであり、肯定・否定の解答を認定したものではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
問題の定式化の対応のみ。現在の解決状況、本書刊行時の解決状況、最初の提唱年は未調査。
原文の確認に関する付記
本書305–306頁のk先導・六項目と、保存英訳152頁のk-leaderおよびGroup of Problems 6.1を照合。
本書内で併せて確認した所在
305，k先導の定義45.12
原本307頁・§46
定理 46.6
原論文の系を合わせた三条件の対応
Franklin, S. P.，Spaces in which sequences suffice（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Franklin
列によって閉性を判定する空間を，距離空間または局所コンパクト距離空間の商として捉える．
原文献の対応箇所
Proposition1.12; Corollaries1.13 and1.14・原文献112頁
各列型空間は収束列の位相和の商であり、零次元局所コンパクト完備距離空間の商である。列型、第1可算空間の商、距離空間の商の三条件が同値。
比較の付記
Corollary1.13は本書(1)から(2)への含意を、さらに零次元・完備という条件付きで明記する。Corollary1.14(a),(c)は本書(1),(3)の同値を明記する。(2)から(3)は定義上の含意であり、本書三条件全体に対応する。Proposition1.12の収束列の位相和による商写像構成も本書証明に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定理文と構成の対応を原文で確認
原文の確認に関する付記
本書307頁と原論文112–115頁を原文で確認。原論文は一般の位相空間での特徴付け。
原本308頁・§46
定理 46.9
原文定義の特殊化と補足同値論証
Arhangel’skii, A. V.; Isler, R.; Tironi, G.，On pseudo-radial spaces（1986）
本書の主張の要約
可算部分集合から閉性を判定する条件と，閉包点を可算部分集合の閉包で捉える条件を結び付ける．
原文献の対応箇所
Definition3.1・3.2, §3 (147–148頁)・原文献147–148頁
部分集合族によるFréchet生成は各閉包点を族の元の閉包で捉え、gradual生成は非閉集合の外側の閉包点を族の元の閉包で捉える。
比較の付記
族をXの全可算部分集合とする。Definition3.1は46.9(2)そのもの。Definition3.2の非閉Aに対する可算H⊂Aでcl(H)\A≠∅という条件は46.7の対偶である。E=⋃{cl(H):H⊂A可算}と置く。可算L⊂Eの各点に対応する可算H_lを選び、その可算和Hを取ればcl(L)⊂cl(H)⊂E。46.7よりEは閉、A⊂E⊂cl(A)よりE=cl(A)、従って46.9(2)。逆向きは各閉包点の可算証人から直ちに従う。この同値論証は本作業による補足であり1986原文の番号付き同値定理とは表示しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
両条件の一般位相空間での定義対応と可算の場合の同値性。
留保
後続の一次文献と明示的補足論証による対応。1969原論文の定義、初出帰属、本書著者の使用文献は未確定。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
本書308頁、論文137–138・147–149頁を原文確認。詳細保存した調査資料。
原本309頁・§47
問題 47.1
同じ問題の否定形による定式化
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
第1可算コンパクトHausdorff空間の大きさを，連続体濃度で抑えられるかを問う．
原文献の対応箇所
§1 opening paragraph, unnumbered problem・原文献117頁
第1可算コンパクトHausdorff空間で濃度が連続体を超えるものは存在するか。
比較の付記
本書は第1可算コンパクトT₂空間の濃度がc以下かを問う。原論文117頁§1冒頭は同じ仮定で濃度がcを超える空間が存在するかを問う。肯定・否定の向きは逆だが同じ問題である。原論文はAleksandrovとUrysonの共著に帰属し、本書はAlexandroffに帰属する。この帰属差と1923年初出の確認は未解決。1966年論文の未解決という記述を現在の状態とは扱わない。本書309頁は1969年の解決とPonomarevによる簡単化に言及するが、この歴史的記述は今回独立に照合していない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書309頁と原論文117頁§1冒頭の照合。
原文の確認に関する付記
Problem1.1（118頁）の追加仮定付きの問いとは区別。1923年原文・1969年の解答の照合は含めない。
原本311頁・§47
命題 47.4
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorff空間のk空間性を，コンパクト部分集合に基づく閉包操作で閉集合を判定できることとして捉える．
原文献の対応箇所
Proposition 3.7; the compact closure operation at the start of Chapter III, §3・原文献45頁
Xがk空間であることと、すべてのA⊂XについてA=[A]とA=[A]¹が同値となることは同値。[A]¹は、コンパクト集合との交わりの閉包により一段階で得る集合。
比較の付記
本書47.2の[A]kが原論文の[A]¹に当たり、通常の閉包を表す原論文[A]と本書の上線を読み替えるとProposition 3.7と一致する。両者ともHausdorffの範囲である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
コンパクト閉包に関する主張のみ。列閉包についての本書47.5をこの命題に割り当てない。
原文の確認に関する付記
本書309・311頁、原論文4・45頁の原文で操作と主張を照合。
本書内で併せて確認した所在
309，定義47.2のコンパクト閉包操作
原文献内で併せて確認した所在
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
原本311頁・§47
定理（反復後のk先導） 47.6
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
コンパクト部分集合による閉包操作を超限反復し，k先導の位相を作る．
原文献の対応箇所
Theorem 3.15, especially (1)–(4)・原文献47頁
コンパクト閉包操作の超限反復で得る最終の閉包は位相を定め、その空間X*はk空間となり、自然写像X*→Xはコンパクト集合を保つk凝縮で、X*はXのk先導となる。
比較の付記
反復後に得られる閉包・k空間・自然な全単射・コンパクト部分集合の保存という結論が、本書45.12および47.6に対応する。ただし原論文は各αで先行段階の合併に[A]¹を作用させ、本書47.2は極限段階では合併だけを取る。したがって照合範囲は定常化後に得られるk先導であり、各順序数の添字で反復列が一致するという意味ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
超限反復の極限段階の規約が異なる。個々の順序数での列や階数の一致、列型先導への拡張は未認定。
原文の確認に関する付記
本書305–306・309–312頁と原論文4・45・47頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
305，定義45.12
306，k先導の性質
309，47.2の極限段階
310，47.2の定常化
312，47.6の続き
原文献内で併せて確認した所在
45，The one-step compact closure operation
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
原本313頁・§47
定理 47.10
full-statement-via-later-author-survey
Hrušák, Michael，Almost disjoint families and topology（n.d.）
本書の主張の要約
Hausdorffな列型空間では，閉包を得るための反復段階数を最初の非可算順序数で抑えられる．
原文献の対応箇所
Section10 opening definitions, author-preprint p28・原文献28頁
列型空間の各部分集合Aの閉包はA^(alpha), alpha≤omega_1で得られ、空間の列型順序は各Aの最小alphaの上限。
比較の付記
本書47.2 p309の[A]_sはHausdorff空間ではA内の収束列の極限集合と一致する。非孤立極限はA∩Kの部分列で得られ、Aの点は定数列で得られる。初期A、後続列閉包、極限で合併という反復は公開資料p28の定義と一致。各Aでalpha≤omega_1なので全Aの最小alphaの上限も≤omega_1となり47.10全体の上界に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書309,311,313頁と著者PDF28頁の原文の主張・定義の照合。
留保
後年の著者サーベイによる主張対応。1968年Arhangelskii–Franklin原論文・追補は未取得で、単独帰属・初出・本書著者の実使用文献は未確認。版年月は未確認。
原文の確認に関する付記
公開資料の全41頁を読んだという主張ではない。該当28頁を原文で閲読。
原本313頁・§47
定理（完全正則の場合） 47.11
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
完全正則な点可算型空間では，コンパクト閉包操作の段階数をk₂の範囲で抑えられる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.17・原文献48頁
完全正則な点可算型空間Xでは、任意のA⊂Xについて二回のコンパクト閉包操作が通常の閉包に等しい。
比較の付記
原論文の[A]¹を本書の[A]kと読み替えると、二回の操作で通常の閉包になるという結論が一致する。原論文は完全正則を明記し、本書はT₂だけを明記しているので、完全正則の場合の対応として記録する。有限段階の二回の操作には、47.6で注記した極限順序数の規約差は影響しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書のT₂の場合全体を原論文Theorem 3.17と同じ一般性で確認したとはしない。
原文の確認に関する付記
本書309・313頁と原論文4・45・48頁を照合。
本書内で併せて確認した所在
309，定義47.2
原文献内で併せて確認した所在
45，Definition of [A]¹
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
原本314頁・§47
補題 47.12
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，The power of bicompacta with first axiom of countability（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorffな列型空間では，集合の濃度が2のτ乗以下なら，閉包を取ってもその上限を超えない．τは無限濃度．
原文献の対応箇所
Lemma 1・原文献967頁
Hausdorffなsequential空間の部分集合Aについて、τ≥ℵ₀かつ|A|≤2^τならば|[A]|≤2^τ。
比較の付記
原論文の[ A ]を通常の閉包、sequentialを本書の列型と読み替えると、仮定と結論が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張の照合。原論文が引用する1965年Theorem 3.15との証明依存関係や証明全体の正当性は監査していない。
原文の確認に関する付記
本書314頁と原論文967頁を原文で比較。
原本315頁・§47
定理 47.17
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，The power of bicompacta with first axiom of countability（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
無限濃度τについて，コンパクト列型Hausdorff空間の各点の指標が2のτ乗以下なら，全空間の濃度も同じ上限に収まる．
原文献の対応箇所
Theorem 4・原文献970頁
τ≥ℵ₀のとき、sequentialかつ(τ⁺,∞)-compactなHausdorff空間Xでχ(X)≤2^τならば|X|≤2^τ。
比較の付記
967頁の定義では(τ⁺,∞)-compactとは開被覆が濃度τ⁺未満の部分被覆をもつこと。本書のコンパクト空間は有限部分被覆をもつので、この仮定を満たす。χ(X)は各点の指標の上限であり、Theorem 4をコンパクト空間に特殊化すると47.17と一致する。本書309頁はPonomarevによる簡略化に沿うと述べるため、証明の同一性は主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
一般の(τ⁺,∞)-compact空間への原論文の主張全体を本書の定理として転記したものではない。独立した証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書315頁と原論文967・970頁を照合。完成TeXから本書309頁の証明方針も確認。
原文献内で併せて確認した所在
967，Definitions of character and (τ,∞)-compactness
原本317頁・§47
系 47.18
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，The power of bicompacta with first axiom of countability（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
第1可算性を持つコンパクトHausdorff空間の濃度には，連続体濃度という上限がある．
原文献の対応箇所
Theorem 1 and the following paragraph・原文献967頁
非可算な第一可算bicompactumの濃度は連続体濃度に等しく、直後に上限を示せば足りると述べる。
比較の付記
非可算の場合にはTheorem 1の等式から本書の上限が従い、可算以下の場合には上限は自明である。原論文のbicompactumを本書のコンパクトT₂空間と読めば47.18の範囲を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書は濃度の上限を述べる。原論文の非可算の場合の等号を、本書47.18が同じ形で述べているとはしない。
原文の確認に関する付記
本書317頁と原論文967頁を原文で照合。
原本317頁・§47
問題 47.19
明示されたコンパクトの場合の問題文対応
Juhász, István，Cardinal Functions in Topology（1971）
本書の主張の要約
継承的可分なコンパクトHausdorff空間について，濃度が連続体を超えないかを問う．
原文献の対応箇所
Unnumbered Problem after 2.6, explicit compact T2 case・原文献13頁
継承的可分T₂空間の濃度は2^ω以下か。コンパクトT₂空間に制限しても未解決と明記。
比較の付記
Juhasz1971 p13の番号なしProblemは継承的可分Hausdorff空間の濃度が2^ω以下かを問い、直後にコンパクトT₂空間に限っても未解決と明記する。この明示されたコンパクトの場合が本書47.19の仮定・結論と一致する。一般形全体と本書を同一視しない。本文箇所はHajnal単独または共著者による初出を特定しないので、問題文対応と歴史的帰属の確定を区別する。1971年の未解決という記述を現在の解決状況と扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書317頁47.19とJuhasz1971 13頁Problemの照合。
原文の確認に関する付記
原問題の初出・現在の解決状況の調査を含まない。
原本317頁・§47
問題 47.20
問題定式化の直接照合と用語・仮定の比較
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
可算密度のコンパクトHausdorff空間に第1可算な点があるかを問う．連続体仮説を置く場合も考える．
原文献の対応箇所
§V, Problem (9)・原文献25頁
25頁(9)はcountable densityを各閉包点の可算証人が存在する条件として定義し、本書46.9によって46.7の可算密度と一致。コンパクトHausdorff空間に可算近傍基を持つ点があるか、CHを仮定してもどうかという二つの問いが本書317頁47.20に一致。A.ArhangelskijとB.Efimovへ明記して帰属。
比較の付記
25頁(9)はcountable densityを各閉包点の可算証人が存在する条件として定義し、本書46.9によって46.7の可算密度と一致。コンパクトHausdorff空間に可算近傍基を持つ点があるか、CHを仮定してもどうかという二つの問いが本書317頁47.20に一致。A.ArhangelskijとB.Efimovへ明記して帰属。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問いの対応と記載された帰属。
留保
初出・本書著者使用文献・現在の解決状況・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書317–318頁と会議録25頁を原文確認。本文拡大で不等号≤と指数を確認。
原本317頁・§47
問題 47.21（無限仮定を留保）
問題定式化の直接照合と用語・仮定の比較
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
可算密度の無限コンパクトHausdorff空間で，非自明な収束列の存在を問う．無限性の仮定に留保がある．
原文献の対応箇所
§V, Problem (10)・原文献25頁
25頁(10)は可算密度のbicompactumが非自明な収束点列を含むかと問い、Arhangelskij–Efimovへ帰属。本書317頁47.21は無限コンパクトT2空間を明記するが、会議録(10)はinfiniteを印刷していない。有限Hausdorff空間には非自明収束列がないため、有限例外を省略した意図の推定が必要。共通する問いと帰属のみ登録し、全仮定の文字通りの一致には昇格しない。
比較の付記
25頁(10)は可算密度のbicompactumが非自明な収束点列を含むかと問い、Arhangelskij–Efimovへ帰属。本書317頁47.21は無限コンパクトT2空間を明記するが、会議録(10)はinfiniteを印刷していない。有限Hausdorff空間には非自明収束列がないため、有限例外を省略した意図の推定が必要。共通する問いと帰属のみ登録し、全仮定の文字通りの一致には昇格しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問い・帰属の共通部分のみ。無限仮定の省略を留保。
留保
初出・本書著者使用文献・現在の解決状況・独立証明監査は認定しない。原文はinfiniteを明記しないため候補を維持。
原文の確認に関する付記
本書317–318頁と会議録25頁を原文確認。本文拡大で不等号≤と指数を確認。
原本317頁・§47
問題 47.22
問題定式化の直接照合と用語・仮定の比較
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
可算密度のコンパクトHausdorff空間にSouslin条件を加えれば，濃度が連続体を超えないかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (12)・原文献25頁
25頁(12)は可算密度のコンパクト空間でSouslin条件cX=ℵ0を満たすものの濃度≤2^ℵ0を証明せよと述べ、本書317頁47.22の問いと一致。可算密度は(9)の定義と46.9により比較。bicompactumのHausdorff性は本文24頁のsequential bicompactumの規約でも確認済み。有限空間の場合の濃度上界は自明であり、本書のSouslin条件が有限cellularityを許す場合も結論には影響しない。
比較の付記
25頁(12)は可算密度のコンパクト空間でSouslin条件cX=ℵ0を満たすものの濃度≤2^ℵ0を証明せよと述べ、本書317頁47.22の問いと一致。可算密度は(9)の定義と46.9により比較。bicompactumのHausdorff性は本文24頁のsequential bicompactumの規約でも確認済み。有限空間の場合の濃度上界は自明であり、本書のSouslin条件が有限cellularityを許す場合も結論には影響しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問いの対応と記載された帰属。
留保
初出・本書著者使用文献・現在の解決状況・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書317–318頁と会議録25頁を原文確認。本文拡大で不等号≤と指数を確認。
原本317頁・§47
問題 47.23
問題定式化の直接照合と用語・仮定の比較
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
可算密度のLindelöf正則空間で各点がGδなら，濃度を連続体濃度cや2のc乗で抑えられるかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (14)・原文献25頁
25頁(14)は可算密度のLindelöf空間、各点Gδを仮定し、濃度≤2^ℵ0か、少なくとも≤2^cかを問う。本書317–318頁の二つの上界と一致。19頁脚注の完全正則規約は本書の正則Lindelöf T1空間から得られる：正則Lindelöf空間は正規、正規T1は完全正則。逆向きは完全正則空間の正則性。従ってこの規約による条件の差は補足還元で埋まる。署名付き著者論文の追加問題であり25頁脚注は校正時に追加と記すが、番号(14)の文面自体に括弧付き著者名はない。
比較の付記
25頁(14)は可算密度のLindelöf空間、各点Gδを仮定し、濃度≤2^ℵ0か、少なくとも≤2^cかを問う。本書317–318頁の二つの上界と一致。19頁脚注の完全正則規約は本書の正則Lindelöf T1空間から得られる：正則Lindelöf空間は正規、正規T1は完全正則。逆向きは完全正則空間の正則性。従ってこの規約による条件の差は補足還元で埋まる。署名付き著者論文の追加問題であり25頁脚注は校正時に追加と記すが、番号(14)の文面自体に括弧付き著者名はない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問いの対応と記載された帰属。
留保
初出・本書著者使用文献・現在の解決状況・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書317–318頁と会議録25頁を原文確認。本文拡大で不等号≤と指数を確認。
原本318頁・§47
問題 47.25
問題定式化の直接照合と用語・仮定の比較
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
可算密度と斉次性を持つコンパクトHausdorff空間について，濃度の上限を連続体に抑えられるかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (11)・原文献25頁
25頁(11)は可算密度のhomogeneous bicompactumで濃度>2^ℵ0のものが存在するかと問い、Arhangelskijへ帰属。本書318頁47.25は同じクラスの濃度が常に≤cかと問い、反例存在と普遍的上界という互いに否定の二形式で同じ問題。可算密度は(9)の点ごとの定義と本書46.9によって一致。
比較の付記
25頁(11)は可算密度のhomogeneous bicompactumで濃度>2^ℵ0のものが存在するかと問い、Arhangelskijへ帰属。本書318頁47.25は同じクラスの濃度が常に≤cかと問い、反例存在と普遍的上界という互いに否定の二形式で同じ問題。可算密度は(9)の点ごとの定義と本書46.9によって一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問いの対応と記載された帰属。
留保
初出・本書著者使用文献・現在の解決状況・独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書317–318頁と会議録25頁を原文確認。本文拡大で不等号≤と指数を確認。
原本318頁・§48
定理（Hausdorffの場合） 48.1
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A.，Some types of factor mappings, and the relations between classes of topological spaces（1963）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
Hausdorff空間どうしでは，擬開な連続全射と継承的な商写像が同じクラスになる．
原文献の対応箇所
Theorem 1; Definition 2 and the introductory convention・原文献743頁
写像がpseudo-openであることとhereditarily quotientであることは同値。全空間はHausdorff、全写像は連続という規約の下で述べる。
比較の付記
Definition 2のファイバーの開近傍に関する条件が本書の擬開写像に当たり、Theorem 1が48.1に対応する。冒頭のHausdorff規約があるので本対応はその範囲に限定する。既存の1966年総説との対応も保持する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
1963年原論文での記載を確認したものであり、絶対的な初出の認定ではない。746頁の追記は擬開という概念の独立した導入にも言及する。
原文の確認に関する付記
本書318頁と原論文743・746頁を確認。
原本318頁・§48
定理 48.1
指定した範囲の対応を確認
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
連続全射の擬開性を，部分空間に制限しても商写像となる性質によって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Unnumbered paragraph after Example 2.2 and before Proposition 2.2・原文献127頁
f:X→Yがhereditarily quotientであることと、fが連続であり、各yとf⁻¹(y)の任意の近傍Uについてy∈Int f(U)となることは同値。後者をpseudo-openと呼ぶ。
比較の付記
原論文のhereditarily quotientとpseudo-openがそれぞれ本書の継承的商・擬開に対応する。原論文は番号なしの段落で同値性を述べており、直後のProposition 2.2は別の主張なので混同しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
同値条件の記述の照合であって、その段落の独立した証明検証や最初の公表箇所の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書318頁と英訳本文127頁を確認。保存PDFで欠落する130–131頁は今回の対応に用いていない。
原本319頁・§48
定理の限定された場合 48.3
定義域がHausdorff Fréchet空間の場合のみ
Franklin, S. P.，Spaces in which sequences suffice（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skii
Hausdorff Fréchet空間どうしの商写像では，部分空間への制限も商写像になる．
原文献の対応箇所
Proposition2.3・原文献113頁
X,Y Hausdorff、X Fréchet、f:X→Y商写像のとき、Y Fréchet iff f pseudo-open。
比較の付記
Franklin Proposition2.3はX,YがHausdorff、XがFréchet、fが商写像という仮定の下でYがFréchetであることとfがpseudo-openであることが同値とする。本書48.3への対応はXがHausdorff Fréchet空間の場合に限る。継承的商写像とpseudo-openの同値性はArhangelskii1966の127頁を併用。任意の空間Xの範囲の出典特定は未了。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
限定された定理文と仮定の対応を原文で確認
留保
本書48.3の任意の定義域Xという範囲のうち、Hausdorff Fréchet空間Xに限定。
原文の確認に関する付記
Franklin113頁Proposition2.3と114頁の証明続き、本書319頁の定理文を確認。
原文献内で併せて確認した所在
127，pseudo-openと継承的商写像の同値性
原本319頁・§48
定理（Hausdorffの場合） 48.6
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭ
Hausdorffなk′空間を，局所コンパクトHausdorff空間からの継承的商によって表す．
原文献の対応箇所
Theorem 3.3, with Theorems 3.1 and 3.4・原文献30頁
Hausdorff空間がk′空間であることと、局所コンパクトHausdorff空間の擬開連続像であることは同値。
比較の付記
Definitions 3.1–3.2およびTheorem 3.16で原論文のk′を確認し、本書48.2の高々k₁という条件に対応させた。擬開と継承的商の同値は本書48.1および1966年総説127頁による。本書後半の逆向きの存在主張と、前半の定義域・像ともにHausdorffの場合をTheorem 3.3に対応させる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
原論文は全空間Hausdorff。前半を本書のT₁だけの一般性まで照合済みとはしない。
原文の確認に関する付記
本書318–320頁、原論文4・28–31・47頁、英訳総説127頁を確認。原論文31頁脚注で写像の連続性を確認。
本書内で併せて確認した所在
318，48.1と48.2の定義
320，48.6の続き
原文献内で併せて確認した所在
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
28，Definition 3.1
29，Definition 3.2
31，Proof of Theorem 3.3 and Theorem 3.4
47，Theorem 3.16: one compact closure step
127，Hereditary quotient iff pseudo-open, unnumbered paragraph
31，Footnote 1: all maps in Chapter III are continuous
原本321頁・§48
定理 48.10
定義を含む主定理の対応
Arhangel’skii, A. V.，On some results concerning k-spaces（1967）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skii
Hausdorff空間のFréchet性を，すべての部分空間がk空間となることによって捉える．
原文献の対応箇所
opening paragraph, main theorem・原文献42頁
Hausdorff空間ではFréchet–Urysohn空間のクラスと、全部分空間がk空間であるvery k-spaceのクラスが一致する。
比較の付記
原資料はFU-spaceを任意の集合の列による閉包と閉包が一致する空間と定義し、very k-spaceを全部分空間がk空間である空間と定義する。Hausdorff限定を明記した両クラスの一致は、本書48.10のT2限定および二条件と一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書321頁と原資料42頁の定理文・定義・分離条件を原文で確認
原文の確認に関する付記
1頁講演概要の主定理文。証明は収録されない。
原本321頁・§48
定理（Hausdorffの場合の(1)⇔(3)） 48.8
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
HausdorffなFréchet性を，距離空間からの継承的商として表せることで判定する．
原文献の対応箇所
Theorem 3.5・原文献32頁
Fréchet空間はちょうど距離空間の擬開像である。全空間はHausdorff、写像は連続とする。
比較の付記
Fréchetの定義を原論文32頁および本書48.2で確認し、擬開と継承的商を48.1を介して読み替えると(1)⇔(3)が対応する。原論文の証明は距離化可能なコンパクト集合の位相和を使うが、ここでは本書の三条件が同じ番号の定理として列挙されているとはせず、(2)を含む三条件全体の照合件数には数えない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
Hausdorffの場合の(1)⇔(3)のみ。本書のT₁だけの場合全体と、条件(2)を含む同じ三条件の原文記載は未認定。
原文の確認に関する付記
本書318–319・321頁、原論文4・31–32頁、総説127頁を原文で対照。
本書内で併せて確認した所在
318，48.1とFréchetの定義48.2
319，Fréchetの定義の続き
原文献内で併せて確認した所在
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
31，Footnote 1: all maps in Chapter III are continuous
127，Hereditary quotient iff pseudo-open, unnumbered paragraph
原本321頁・§48
定理 48.8
指定した範囲の主張対応
Arhangel'skii, A. V.，Mappings and spaces（1966）
本書の主張の要約
Fréchet空間を距離空間の継承的商で特徴付ける．Hausdorffの場合には局所コンパクトな距離空間からの構成も扱う．
原文献の対応箇所
Theorem 2.7・原文献128頁
Fréchet空間であることと距離空間のpseudo-open空間であることは同値。
比較の付記
Theorem 2.7は距離空間のpseudo-open像とFréchet–Urysohn空間が一致すると述べる。127頁のpseudo-openの同値性を併用すれば、本書48.8の(1)⇔(3)に対応する。(2)の局所コンパクト距離空間という強化は、この定理の文面には含まれない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で主張を照合。Hausdorff空間の範囲で登録し、非Hausdorff空間への拡張や証明の独立検証は認定しない。
留保
Hausdorff空間の範囲。48.8の(2)は照合範囲外。
原文の確認に関する付記
本書と原論文の記載を原文で確認。
原文献内で併せて確認した所在
127，pseudo-openと継承的商写像の同値性
原本321頁・§48
定理 48.8
Hausdorff範囲の局所コンパクト定義域の構成対応
Franklin, S. P.，Spaces in which sequences suffice（1965）
本書の主張の要約
Fréchet空間を距離空間の継承的商で特徴付ける．Hausdorffの場合には局所コンパクトな距離空間からの構成も扱う．
原文献の対応箇所
Proposition2.4; Proposition1.12 and Corollary1.13・原文献114頁
Hausdorff Fréchet空間は収束列の位相和のpseudo-open像である。同じ位相和は零次元局所コンパクト完備距離空間となる。
比較の付記
Franklin Proposition2.4はHausdorff Fréchet空間を収束列の位相和のpseudo-open像として特徴付ける。Proposition1.12の同じ位相和構成についてCorollary1.13は零次元局所コンパクト完備距離空間となることを明記する。pseudo-openと継承的商写像の同値性はArhangelskii1966の127頁の既存照合を併用する。したがって本書48.8(2)を得る構成に対応するが、局所コンパクト性をProposition2.4単独の定理文として引用しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Hausdorff空間の範囲で定理文と構成を照合。非Hausdorff範囲と証明監査は未確認。
留保
本書の一般の空間という範囲のうちHausdorff空間のみ。
原文の確認に関する付記
Franklin原論文112–114頁、本書321頁を原文で確認。Proposition2.4の証明中Proposition2.9への参照は、実際の節番号2.3との不一致があるため番号をそのまま同一視しない。
原文献内で併せて確認した所在
112，Proposition1.12; Corollary1.13
127，pseudo-openと継承的商写像の同値性
原本321頁・§48
系（Hausdorffの場合） 48.9
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Bicompact sets and the topology of spaces（1965）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorff Fréchet空間の継承的商を取っても，Fréchet性が像へ引き継がれる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.6・原文献32頁
Fréchet空間の擬開連続像はFréchet空間である（Hausdorffの規約下）。
比較の付記
本書48.1を介して擬開と継承的商を読み替えると、原論文Theorem 3.6が本書48.9のHausdorffの場合に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
T₁空間全体への一般化と証明の独立検証は照合範囲に含めない。
原文の確認に関する付記
本書318・321頁と原論文4・31–32頁、総説127頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
318，定理48.1
原文献内で併せて確認した所在
4，Footnote 1: all spaces are Hausdorff
31，Footnote 1: all maps in Chapter III are continuous
127，Hereditary quotient iff pseudo-open, unnumbered paragraph
原本325頁・§49
定理 49.8
定義と結論が対応
Michael, Ernest，Bi-quotient maps and cartesian products of quotient maps（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
双商写像をいくつ掛け合わせても，積写像は双商の性質を保つ．
原文献の対応箇所
Theorem 1.2・原文献288頁
有限または無限個のbi-quotient mapsの積はbi-quotientである。
比較の付記
本書49.1と原論文Definition 1.1は、各ファイバーの開被覆から有限個の像で値域の近傍を覆う同じ定義。原論文冒頭のmapは連続全射。本書のT₁規約を付した場合を比較する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
原論文p.287のHájekへの優先権注記を保持。初出の認定は行わない。
本書内で併せて確認した所在
323，定義49.1
27，T₁規約
原本326頁・§49
定理 49.9
原論文命題の両条件と結論の一致
Michael, Ernest，Bi-quotient maps and cartesian products of quotient maps（1968）
本書の主張の要約
Hausdorffな像への商写像を，定義域やファイバー境界のLindelöf性と，像の局所条件から双商と判定する．
原文献の対応箇所
Proposition 3.3(c)(d)・原文献292頁
Hausdorff Yへの写像は、(c) X Lindelöf・f quotient・Y q-space、または(d)全ファイバー境界Lindelöf・f quotient・Y first-countableならbi-quotient。
比較の付記
Hausdorff=T2、boundary=Bry、first-countable=第1可算で条件と結論が一致。双商写像の定義は既存49.1対応で比較済み。1972年Quintuple論文を候補としていたが、1968年原論文の命題3.3(c)(d)に直接対応がある。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文292頁と本書326頁原文の主張文を照合。
原文の確認に関する付記
この頁の定理文と記号を確認。全証明の独立監査および本書著者の実際の使用資料の確定ではない。
原本327頁・§49
定理 49.10
条件(3)のHausdorff性を証明中の明記まで確認
Michael, Ernest，Bi-quotient maps and cartesian products of quotient maps（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
Hausdorff値域への連続全射の双商性を，任意の恒等写像との積が商になることで特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.3; proof p.295・原文献288頁
YがHausdorffならば、fがbi-quotient、任意のZについてf×id_Zがquotient、任意のparacompactなZについてf×id_Zがquotient、は同値。
比較の付記
原論文p.295は(c)⇒(a)の対偶で構成するZがHausdorffであると明記する。したがって本書の(3)のHausdorffという限定、および(2)でのT₁規約を補った形との対応を確認できる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
定理文と指定された補助空間の分離性の照合であり、証明全体の独立監査ではない。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原本328頁・§49
定理 49.11
主張文と補助空間の分離性を照合
Michael, Ernest，Bi-quotient maps and cartesian products of quotient maps（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
正則値域への連続全射で，双商性と値域の局所コンパクト性を，商写像との積が商になることと結び付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.4, pp.288–289; proof p.296・原文献288頁
Yが正則のとき、fがbi-quotientでYが局所コンパクトであること、任意の商写像との積が商であること、パラコンパクト空間間の任意の閉写像との積が商であること、は同値。
比較の付記
p.287のmapは連続全射。本書条件(3)のT₂性について、fが双商でない場合の補助空間Zはp.295でHausdorffと明記される。Yが局所コンパクトでない場合にp.296が引用する[12] Theorem 2.1の定義域・値域も、順序数区間と終点の同一視の構成からHausdorffと確認できる（45.7の比較欄参照）。本書のT₁規約を付した三条件の対応である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応と、補助空間の分離性に限る補足確認。証明全体の独立監査・初出認定は行っていない
原文の確認に関する付記
引用[12]は同じ巻号の直前論文（pp.281–286）。paracompactという語が常にHausdorff性を含むと仮定して埋めたものではなく、指定された補助空間から確認した。
本書内で併せて確認した所在
27，第2章以後のT₁規約
329，定理49.11の証明と45.7への参照
原文献内で併せて確認した所在
引用[12] Theorem 2.1 / p.282
原本329頁・§49
定理 49.12
定理の主張対応
Burke, Dennis and Michael, Ernest，On a theorem of V. V. Filippov（1972）
本書の主張の要約
点可算ベースの存在を，有限個の元の和が点の近傍を含む点可算被覆によって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem1.2, conditions (a),(b)・原文献395頁
Y has a point-countable base iff it has a point-countable cover with the stated finite-union interior neighborhood property.
比較の付記
(a),(b)は本書(1),(2)と一致。論文の∪Fは本書F#、内部記号は両者とも同義。原論文394頁は分離公理を仮定しないと明記するので本書T1の範囲を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書329頁と原論文プレビュー394–395頁の原文による主張・規約照合。
原文の確認に関する付記
公開プレビューの2頁のみ閲読。Theorem1.2の証明は395頁途中から続くため全証明は未読。初出や本書著者の直接使用は確定しない。
原本331頁・§49
定理 49.13
定理の主張対応（Filippov定理の再証明）
Burke, Dennis and Michael, Ernest，On a theorem of V. V. Filippov（1972）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Filippov
双商s写像による像へ，定義域の点可算ベースの性質が引き継がれる．
原文献の対応箇所
Theorem1.1 (Filippov); terminology in §1・原文献394頁
Xが点可算基底をもちf:X→Yがbi-quotient s-mapならYは点可算基底をもつ。
比較の付記
本書14.11（69頁）はs写像を各点逆像の位相濃度がℵ0以下であるものとする。原論文394頁は各点逆像が可算基底を持つものと定め、同じ条件である。双商写像も開被覆の有限部分族の像合併の内部がyを含む条件で一致。論文は分離条件を仮定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書69頁・331頁と原論文プレビュー394–395頁の原文による定義・定理文確認。双商の本書定義は既存49.13対応の照合記録を参照。
原文の確認に関する付記
論文はFilippov[1,Theorem1.1]の新しい証明と明記。原Filippov論文の直接照合や初出確定とは扱わない。公開プレビューのみであり、論文全文の閲読ではない。
本書内で併せて確認した所在
13，ベース・位相濃度の定義
69，定義14.11の続き
323，定義49.1
原本331頁・§49
定理 49.13
写像・基の条件と結論が一致（本書にはT₁規約）
Michael, E.，On two theorems of V. V. Filippov（1972）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Filippov
双商s写像による像へ，定義域の点可算ベースの性質が引き継がれる．
原文献の対応箇所
Theorem 1.1 (Filippov)・原文献307頁
f:X→Yがbi-quotient s-mapでXが点可算ベースをもつならばYも点可算ベースをもつ。
比較の付記
本書p.69の定義14.11は点逆像のweightがℵ₀以下という条件であり、p.13のweightの定義から可算ベースの存在を意味する。これはMichael p.307のs-mapの定義に一致する。双商写像も本書49.1と同ページの開被覆・有限部分族による定義で一致。Michaelは全ての写像を連続かつ全射とする。MichaelのTheorem 1.1には分離公理の明記がなく、本書には第2章以後のT₁規約がある。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
証明中の可算稠密集合への言及だけからs写像を可分な点逆像と読み替えない。照合対象はMichaelによる再掲で、Filippov 1969原論文の直接照合ではない。
本書内で併せて確認した所在
13，ベース・位相濃度の定義
69，定義14.11の続き
323，定義49.1
原本338頁・§50
定理 50.17
point-separating-quotient-reformulation
Stone, M. H.，Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology（1937）
本書の主張の要約
コンパクト空間上で，点を分離し定数を含む閉じた関数環が，連続関数全体に一致するStone–Weierstrass型の結果．
原文献の対応箇所
Definition 22; Theorems 81–82・原文献456,465–467頁
コンパクトHausdorff空間の関数族が定める商空間が元の空間と同相であることと、生成analytical subringが全関数環になることは同値。
比較の付記
Stone1937の456頁定義22は定数実数体を含む閉部分環をanalytical subringと定義し、同頁は一様収束を距離位相と同定する。465頁定理81は関数族の値が一致する点をまとめたコンパクトHausdorff商空間を構成し、466頁定理82はこの商が元の空間と同相になることと生成analytical subringが全関数環になることの同値を述べる。点分離族では各同値類が一点なので、自然写像は連続全単射かつコンパクトHausdorff間で同相。本書のPは定数を含み一様閉だから生成analytical subring=PとなりP=C(X)。本書のXにはHausdorffが明記されないが、連続実関数による点分離という仮定からHausdorff性が従う。コンパクト上の実連続関数は有界なので原論文の有界関数環との範囲差もない。空空間の場合は両辺が一元の関数環で自明。これは定式化の読み替えによる対応で、1937本文が本書と逐語的同文だという認定や独立証明監査ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書50.17の実関数環版の仮定・結論を、原論文の商空間とanalytical subringの定式化から対応付ける。
留保
1948年二部論文の本文・初出・本書著者が使用した文献は未認定。原論文全体の読了や独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
原論文456・465・466・467頁と本書338頁を閲読。
原本340–341頁・§50
定理 50.22
later-sufficiency-with-book-closure-bridge
Fox, Geoffrey and Morales, Pedro，Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem（1976）
本書の主張の要約
距離空間への同程度連続な写像族は，点ごとの値が相対コンパクトなら，コンパクト開位相で相対コンパクトになる．
原文献の対応箇所
Definition of pointwise bounded; compact-open topology; Lemma 3.6; Corollary 4 (sufficiency)・原文献137–138,140,143頁
正則値域Yへの閉じたpointwise boundedかつevenly continuousな連続写像族はコンパクト開位相でコンパクト。
比較の付記
原論文137–138頁のpointwise boundedは各点の値集合の閉包がコンパクトであること。140頁の多価写像のコンパクト開位相τcの二種の準基底は、一価写像に制限するといずれもf(K)⊂Uとなり本書のコンパクト開位相に一致する。同頁のuniform-space equicontinuityも一価写像と距離一様構造に制限すれば本書の同程度連続性になり、補題3.6によりevenly continuousとなる。本書340頁50.21に従い元の族のコンパクト開閉包Hは同程度連続。点評価はこの位相で連続なのでH(x)⊂cl F(x)、従ってcl H(x)もコンパクトなcl F(x)の閉部分集合でコンパクト。距離Yは正則でHは閉じているため143頁Corollary4の十分条件をHへ適用し、50.22のコンパクト性の結論を得る。十分性にはXのk₃性を追加しない（それは必要性側の条件）。原論文は非空X,Yを扱うが、Xが空または写像族が空の退化例の結論は自明。これは本書50.21を使う後年の一般定理との対応であり、1974年刊の本書が1976年論文を参照したという認定ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書50.22全体の十分条件と結論を、原論文の単一値域への制限・補題3.6・系4および本書50.21によって対応付ける。
留保
1884年Ascoli、1899–1900年Arzelàの同一般性・初出・本書著者の使用文献は未確定。原論文全文読了や独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
原論文137・138・140・143頁、本書340–341頁を確認。
原本342頁・§50
演習 9.A
反例の構成と結論の対応（濃度範囲に差）
Čoban, M. M.，Perfect mappings and spaces of countable type（1967）
本書の主張の要約
一点だけを非孤立点にした正則Lindelöf空間で，k先導にするとLindelöf性が失われる例．
原文献の対応箇所
§II, concluding counterexample, end p.90 and beginning p.91・原文献90–91頁
Lindelöf空間のk先導がLindelöfでない反例として、R={a,b_λ:λ∈Θ}、card Θ>ω₁をとり、b_λを孤立させaの近傍を可算集合を除く集合とする。
比較の付記
本書pと原論文a、残りの孤立点とb_λの位相の指定が同じ。§IIではXのk先導をチルダXで扱い、90頁末から91頁冒頭でLindelöf性を失うこの例を述べる。原文の濃度指定はcard Θ>ω₁であり、抽出テキストだけの>ωという読みは採用しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文90–91頁と本書342頁を原文で照合。反例の構成・k先導のLindelöf性の失敗、濃度仮定差を確認。
留保
原論文が明記するcard Θ>ω₁の範囲の例を直接照合。本書の任意の非可算点集合という範囲全体と、正則性・k先導が離散という補足は原論文のこの段落に逐語的には明記されない。
原文の確認に関する付記
全文独立証明監査ではない。原文ではω₁の添字1を確認。
原本344頁・§50
演習 9.P
book-explicit-hint-and-polynomial-ring-specialization
Stone, M. H.，Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology（1937）
本書の主張の要約
可算立方体上の連続実関数を，有限個の座標に依存する多項式の一様極限で近似する．
原文献の対応箇所
Definition 22; Theorems 81–82, applied to finite-coordinate polynomial ring・原文献456,465–467頁
点分離関数族が生成するanalytical subringはコンパクトHausdorff空間の全有界実連続関数環となる。
比較の付記
本書344頁9.PはI^ω上の各実連続関数が、各項は有限個の変数しか持たない多項式列の一様極限になると述べ、ヒントで50.17の適用を明示する。有限座標多項式の全体Aは、有限座標集合の和集合を取ることで加法・乗法に閉じ、全実定数を含み、異なる二点は異なる座標の射影で分離する。I^ωはコンパクトHausdorffで、Aの一様閉包も部分環かつ定数を含み点を分離する。Stone1937の定義22・定理81–82から得られる50.17の実関数環版により閉包はC(I^ω)。一様距離で誤差1/n未満の多項式を選べば本書の列の結論となる。本書の明示的ヒントと一般定理の適用による対応であり、1937原文にHilbert立方体の演習が同文であるという認定やWeierstrassへの歴史的帰属の初出認定ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
有限座標多項式環への一般定理の適用と一様距離による列の定式化。
留保
原文に演習そのものが載るという認定、1948年論文の直接本文照合、Weierstrassへの初出帰属や独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書344頁を確認。原論文456・465–467頁の照合はstone1937-approximation/reading.jsonに記録。
原本346頁・§51
定理（1966年論文の再掲との対応） 51.3
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
パラコンパクトHausdorff空間からの閉連続全射では，像のコンパクト集合をコンパクト集合から持ち上げられる．
原文献の対応箇所
Proposition 7.2・原文献987頁
パラコンパクトな定義域からの全射な閉連続写像はコンパクト被覆である。
比較の付記
本書51.3の主張はProposition 7.2に再掲されている。原論文は証明として引用文献15のCorollary 1.2を指し、1002頁の引用欄でMichael 1964, A note on closed maps and compact setsと分かる。今回読んだのは1966年の再掲であり、1964年原論文の定理・証明を直接読んだことにはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
1964年原論文は未取得。51.4の反例と証明の独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書346頁、原論文987頁の命題と1002頁の引用15を確認。
原文献内で併せて確認した所在
1002，引用文献15
原本346頁・§51
例 51.4
例の主張・構成対応
Michael, E.，A note on closed maps and compact sets（1964）
本書の主張の要約
可算順序数の空間の一部を一点に潰す閉商写像が，コンパクト被覆にならない例．
原文献の対応箇所
Example 3.3・原文献176頁
可算順序数空間Xの極限順序数集合Aを一点に潰す閉商写像はコンパクトHausdorff値域Yを持つが、Xのどのコンパクト集合もYを覆わない。
比較の付記
同一の順序空間、極限順序数集合、商空間を使う。値域のコンパクトHausdorff性と閉写像の非コンパクト被覆性が一致する。原論文Example3.3の見出しのHausdorffを採用し、証明中のcompact metricという語は誤記と考えられるため採用しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書346–347頁と原論文176頁の原文で構成・結論を照合。
原文の確認に関する付記
原論文Example3.3は見出しがcompact Hausdorffで、続くCH付きExample3.4がmetricへの強化を述べる。3.3証明中のcompact metricは見出しおよびこの区別と整合しない。本書はHausdorffのみを主張する。証明全体の独立検証は未実施。
原本347頁・§51
定理 51.6
指定した範囲の対応を確認
Morita, Kiiti and Hanai, Sitiro，Closed Mappings and Metric Spaces（1956）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Hanai–Morita–A. H. Stone
距離空間の閉連続像では，Hausdorffな第1可算性が距離化可能性を判定する条件になる．
原文献の対応箇所
Theorem 4・原文献13頁
距離空間XからYへの閉連続全射について、Yが第一可算ならばYは距離化可能。
比較の付記
Theorem 4は本書51.6の十分性を与え、像のHausdorff性を別に仮定しない形で述べられている。本書の逆方向は距離化可能空間が第一可算かつHausdorffであるという基本的帰結である。本書のp空間・展開を使う証明と原論文の証明全体の一致は主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
十分性の原定理との対応。証明の独立検証と本書著者による直接利用は未認定。
原文の確認に関する付記
本書347頁と原論文10・13–14頁を確認。
原本347頁・§51
定理 51.6
指定した範囲の対応を確認
Stone, A. H.，Metrizability of decomposition spaces（1956）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Hanai–Morita–A. H. Stone
距離空間の閉連続像では，Hausdorffな第1可算性が距離化可能性を判定する条件になる．
原文献の対応箇所
Theorem 1, (i) iff (iii)・原文献691頁
距離空間SからEへの閉連続全射について、Eの第一可算性、各ファイバーの境界のコンパクト性、Eの距離化可能性は同値。
比較の付記
Theorem 1の(i)⇔(iii)が本書51.6に対応する。原論文は像のHausdorff性を追加しない形で述べている。690頁脚注3はMorita–Hanaiの同年論文を独立の証明として挙げているので、両論文への対応を別々に記録する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張の対応とStone自身の脚注の確認。証明の独立検証や絶対的な優先権の判定は行っていない。
原文の確認に関する付記
本書347頁、原論文690–691・700頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
690，Footnote 3: Morita–Hanai reference
原本350頁・§51
定理 51.7
原文定理と明示的定義変換による全三項対応
Chaber, J.; Čoban, M. M.; Nagami, Keiô，On monotonic generalizations of Moore spaces, Čech complete spaces and p-spaces（1974）
本書の主張の要約
単調p性が完全像・正則な完全逆像で保たれ，点有限パラコンパクト性の下ではp空間になることを扱う．
原文献の対応箇所
Definition2.1 (110頁), Theorem2.8(b) (111頁), Theorem3.4 (114–116頁)・原文献114頁
四つのmonotonic性質はperfect mappingsの下で不変。θ-refinableなmonotonically p-spaceはp-space。全空間はregularと仮定。
比較の付記
本書の有向構造(9)と原論文(mp)-sieveの存在は正則空間で同値。履歴付き開細分・親内閉包細分による両方向の補足論証を別記した。Theorem3.4が(1)(2)に対応し、点有限開精密化を繰り返せばθ-refinableとなるためTheorem2.8(b)が(3)を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
51.7三項の主張対応。定義同値は本作業の補足論証であり原文からの逐語引用ではない。
留保
Wicke–Worrellへの初出帰属や本書著者の使用文献は確定しない。論文刊年1974と受理1972年12月を区別。
原文の確認に関する付記
原論文107–119頁と本書266・288・350頁の原文確認。定義変換の詳細は保存した調査資料
原本350頁・§51
系 51.8
原論文の主張文との一致、対象空間の規約を併記
Filippov, V. V.，The perfect image of a paracompact feathery space（1967）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Filippov–Ishii–Morita
パラコンパクトなp空間を完全写像で写しても，その二つの性質は保たれる．
原文献の対応箇所
Theorem 1・原文献533頁
パラコンパクトなp空間を完全写像で写しても，その二つの性質は保たれる．
比較の付記
原論文p.533の脚注は全ての対象空間を完全正則T₁とする。本書では42.1のp空間の定義に完全正則性が含まれ、第2章以後はT₁を仮定する。原論文の対象空間の規約の下で同じ保存定理を述べている。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張文・分離公理の確認（p空間の定義の引用元までは未照合）
原文の確認に関する付記
原論文が定義を委ねる文献[2]までの逐語照合は未実施。Ishii・Moritaの各論文との対応や三者の歴史的先後を確定したものではない。
本書内で併せて確認した所在
269，定義42.1
275，定理42.16（パラコンパクトT₂空間のp性とM性の同値）
原本350頁・§51
補題（完全正則の場合） 51.9
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Closed mappings, bicompact sets and a problem of P. S. Aleksandrov（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
完全正則なk空間からの閉全射で，点有限開被覆の有限部分では覆えないファイバーを持つ点は，像で疎になる．
原文献の対応箇所
Lemma (1.3)・原文献14頁
k空間Xの点有限開被覆γと閉全射f:X→Yについて、どの有限部分族でもファイバーを覆えない点の集合NはYでdiscreteである。
比較の付記
原論文のNと本書のHは同じ条件で定義される。15頁の説明はNにY内の集積点があることを否定するので、本書の疎な点集合との対応として読む。原論文の全空間完全正則という規約を残し、完全正則の場合に限定する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書のT₁だけの一般性まで原論文と同じ範囲で照合したとはしない。証明全体の独立検証は未実施。
原文の確認に関する付記
本書350–351頁と原論文14–15頁を原文で確認。
本書内で併せて確認した所在
351，補題51.9の証明の結び
原文献内で併せて確認した所在
14，Terminological convention 1: all spaces completely regular
15，No accumulation point for N in Y
原本351頁・§51
定理（値域も完全正則な場合） 51.10
指定した範囲の対応を確認
Arkhangel'skii, A. V.，Closed mappings, bicompact sets and a problem of P. S. Aleksandrov（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Arhangel’skiĭの値域分解定理
Čech完備で点有限パラコンパクトな空間の閉全射像を，コンパクトなファイバーの部分とσ疎な部分に分ける．
原文献の対応箇所
Theorem (1.1), with the two footnotes defining the hypotheses・原文献14頁
weakly paracompactでČech-completeなXの閉像Yは、コンパクトなファイバーをもつY₀と、Y内でdiscreteなYᵢ（i≥1）の可算和に分解できる。全空間を完全正則とする。
比較の付記
脚注のweakly paracompactは点有限開細分可能性、Čech-completeはHausdorffコンパクト拡大でGδとなる条件であり、本書の仮定に対応する。i≥1の部分の合併を除いた部分をY₀とすれば本書の二条件となる。Xの完全正則性はČech完備の仮定に含まれるが、原論文はYも完全正則とするため、その場合に限定する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
本書はYの完全正則性を明記しないので、その仮定を除く一般形の対応は未確認。英訳の刊行書誌の確定と証明監査も未実施。
原文の確認に関する付記
本書351頁、ロシア語原論文14頁、手元の英訳42頁を原文で比較。
原文献内で併せて確認した所在
14，Terminological convention 1: all spaces completely regular
42，English scan, Theorem (1.1); publication metadata not established
原本351頁・§51
主張 51.10後（M空間の値域分解）
partial-statement
Ishii, Tadashi，wM-spaces and closed maps（1970）
本書の主張の要約
M空間からの閉全射像を，可算コンパクトなファイバーの部分とσ離散な部分へ分ける．
原文献の対応箇所
Theorem 3.1; introduction p.16・原文献18頁
M空間からの閉全射像を，可算コンパクトなファイバーの部分とσ離散な部分へ分ける．
比較の付記
原論文16頁はwM空間がM空間の一般化であると明記し、18頁定理3.1はwM空間からの閉連続全射について、Y=∪Yn、n≥1のYnはYで離散、Y0上のファイバーは可算コンパクトと述べる。Y0をYから∪n≥1Ynを除いた集合に取り直せば、本書の分解形式になる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定理51.10後の紹介文の限定された場合。
留保
紹介文の該当する枝に限定する。初出および著者が実際に参照した文献、独立証明監査は認定しない。
原文の確認に関する付記
原論文16・18頁を閲読。本書351頁の紹介文を確認。
原本351頁・§51
主張 51.10後（正規な半層型空間の値域分解）
partial-statement
Stoltenberg, R. A.，A note on stratifiable spaces（1969）
本書の主張の要約
正規な半層型空間からの閉全射像を，コンパクトなファイバーの部分とσ離散な部分へ分ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.2・原文献294頁
正規な半層型空間からの閉全射像を，コンパクトなファイバーの部分とσ離散な部分へ分ける．
比較の付記
原論文294頁定理1.2は正規な半層型空間Xと閉連続全射f:X→YについてY=Y′∪Y″、Y′はYのσ離散部分集合、Y″上のファイバーはコンパクトと明記する。本書351頁は半層型空間とだけ述べ、正規性を明記しないため、正規な場合だけの対応として記録する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定理51.10後の紹介文の限定された場合。
留保
紹介文の該当する枝に限定する。初出および著者が実際に参照した文献、独立証明監査は認定しない。 正規性を外した本書の記述全体との一致は未確認。原論文は全空間をT2とする。
原文の確認に関する付記
原論文294頁の定理1.2と全空間T2の規約、本書351頁を閲読。
原本351頁・§52
定義（kネットワーク・ℵ₀空間・r空間） 52.1
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
kネットワークとℵ₀空間，点列をコンパクト集合に収める近傍列によるr空間を定める．
原文献の対応箇所
Definitions 1.1–1.2 and §3冒頭のr-point/r-spaceの定義・原文献983頁
pseudobase、可算pseudobaseをもつ正則空間としてのℵ₀-space、およびr-point/r-spaceを定義する。
比較の付記
本書のkネットワークはこの論文のpseudobaseに対応し、どちらも一つのPでK⊂P⊂Uを満たす。正則性はT₁を含む。r点・r空間の近傍列による条件も985頁と一致する。パラコンパクト空間でのr・q・点可算型の同値性の証明までを照合したものではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定義のみ。近傍列に関する後続の同値性の独立検証は含めない。
原文の確認に関する付記
本書351–352頁と原論文983・985頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
352，定義の続きとr点・r空間
原文献内で併せて確認した所在
985，§3の定義
原本352頁・§52
命題 52.2
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
可算kネットワークを持つ正則空間には，パラコンパクト性が備わる．
原文献の対応箇所
§1(D) and §4(b)・原文献986頁
ℵ₀空間はLindelöfかつ正則なのでパラコンパクトである。
比較の付記
本書52.2の結論が§4(b)に対応する。導入部983頁の(D)は同じ性質の一覧である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書352頁と原論文983・986頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
983，性質(D)
原本352頁・§52
命題 52.3
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
ℵ₀空間にr空間の条件を加えると，可分な適合距離を入れられる．
原文献の対応箇所
Proposition 3.1・原文献985頁
ℵ₀空間にr空間の条件を加えると，可分な適合距離を入れられる．
比較の付記
r点・r空間の定義を合わせると、仮定・結論が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書352頁と原論文985頁を確認。
原本352頁・§52
命題 52.4
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
コンパクト被覆連続写像を通じて，可算kネットワークを像へ運べる．
原文献の対応箇所
Proposition 7.1・原文献987頁
コンパクト被覆写像は可算pseudobaseの存在を像へ伝える。
比較の付記
52.1のkネットワークとpseudobaseの定義を合わせると同じ主張である。像の正則性やℵ₀空間であることを追加した主張にはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書352頁と原論文987頁を確認。
原本352頁・§52
命題 52.5
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
ℵ₀空間から閉連続全射で得た像も，可算kネットワークを持つ正則空間になる．
原文献の対応箇所
Corollary 7.3・原文献987頁
ℵ₀空間から閉連続全射で得た像も，可算kネットワークを持つ正則空間になる．
比較の付記
仮定と結論が一致する。閉像の正則性とコンパクト被覆性を介して示す記述も両方にあるが、証明の独立検証とは区別する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書352–353頁と原論文987頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
353，52.5の末尾
原本353頁・§52
命題 52.6
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
Hausdorff空間とそのk先導では，可算kネットワークの有無が一致する．
原文献の対応箇所
Corollary 8.3 and the definition of k(X)・原文献990頁
Xが可算pseudobaseをもつこととk(X)がそれをもつことは同値。
比較の付記
原論文990頁のk(X)はコンパクト集合で判定した閉集合を用いる位相であり、本書のk先導に対応する。本書のHausdorffの場合がCorollary 8.3に含まれる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書353頁と原論文990頁を確認。
原本353頁・§52
命題 52.7
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
ℵ₀空間から任意の部分空間を取っても，ℵ₀空間の条件が残る．
原文献の対応箇所
§1(E) and §6冒頭の(E)の証明・原文献986頁
ℵ₀空間から任意の部分空間を取っても，ℵ₀空間の条件が残る．
比較の付記
任意の部分空間について同じ遺伝性を述べる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書353頁と原論文983・986頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
983，性質(E)
原本353頁・§52
定理 52.8
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
二つのℵ₀空間の間の連続写像を集め，コンパクト開位相を入れた空間もℵ₀空間になる．
原文献の対応箇所
Theorem 9.3・原文献992頁
Xが可算pseudobaseをもつHausdorff空間、Yがℵ₀空間ならC(X,Y)はℵ₀空間。
比較の付記
本書のXもℵ₀空間という仮定は、Theorem 9.3のXに対する仮定を満たす。コンパクト開位相は原論文991頁で定義される。原論文の仮定の方が広く、本書と完全に同じ仮定だとはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書353頁の定理文と原論文991–992頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
991，§9冒頭の関数空間の位相
原本355頁・§52
補題（正則なXの場合） 52.9
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
正則空間の可算ネットワークを，可分距離空間からの連続全射によって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Proposition 10.2(a)⇔(c)・原文献994頁
正則空間について、cosmicであることと可分距離空間の連続像であることが同値。
比較の付記
原論文993頁のcosmicは正則かつ可算point-pseudobaseをもつことで、point-pseudobaseは本書のネットワークに当たる。Proposition 10.2は正則性を仮定するため、本書52.9のうち正則なXの場合のみを対応させる。一般のT₁空間の範囲まで同一定理と扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書355–356頁と原論文993–994頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
356，52.9の結び
原文献内で併せて確認した所在
993，§10のpoint-pseudobase・cosmicの定義
原本356頁・§52
定理 52.10
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
正則なℵ₀空間を，可分距離空間からのコンパクト被覆連続全射がある空間として捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 11.4(a)⇔(b)・原文献998頁
正則空間について、ℵ₀空間であることと可分距離空間のコンパクト被覆像であることが同値。
比較の付記
本書の二条件がTheorem 11.4の(a),(b)と一致する。原論文の(c),(d)はk(X)に関する別条件であり、本書52.10の定理文に含めて数えない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書356頁と原論文998頁を確認。
原本356頁・§52
例（蝶空間の構成と(1)・(2)） 52.11
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
上半平面の蝶近傍を用い，可算ネットワークはあるが可算kネットワークはない空間を作る．
原文献の対応箇所
Example 12.1 and its preceding construction・原文献999頁
McAuleyの蝶空間はcosmicだが第一可算で非距離化可能なのでℵ₀空間ではない。
比較の付記
x軸上の点で二本の傾き±εの半直線の下側を使う近傍が、本書のUε(p)に対応する。cosmicの可算ネットワーク条件が(1)、非ℵ₀性が(2)に対応する。原論文が付記する関数空間C(I,Y)の性質や、本書冒頭の完全正則性の独立した証明は照合範囲に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
構成と列挙された二性質の対応のみ。蝶空間の初出論文を同定したものではない。
原文の確認に関する付記
本書356–357頁と原論文993・999頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
357，52.11の(1)・(2)
原文献内で併せて確認した所在
993，cosmicの定義
原本357頁・§52
例 52.12
指定した範囲の対応を確認
Michael, Ernest，ℵ₀-spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
自然数のStone–Čech剰余から一点を加えた空間が，ℵ₀空間でもk空間にならない例．
原文献の対応箇所
Example 12.5・原文献1000頁
N∪{p}のコンパクト部分集合は有限であり、同空間はℵ₀空間だがk空間ではない。
比較の付記
用いる部分空間、コンパクト集合の有限性、非k性の主張が一致する。原論文では非k性の説明が1001頁へ続く。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書357頁と原論文1000–1001頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
1001，Example 12.5の結び
原本357頁・§53
補題 53.1
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
可算外延基を持つコンパクト集合に対して，近傍と閉包の包含を制御する有限被覆列を選ぶ．
原文献の対応箇所
Lemma 3.3・原文献262頁
可算Y-baseをもつコンパクト集合には、各点の近傍基と閉包の包含条件を満たす有限被覆列がある。
比較の付記
本書(1)は原論文の有限族がKを覆うという前提、(2)は(a)、(3)は(b)に対応する。本書の外延基は原論文のY-baseであり、集合全体を包む近傍列としてのouter baseとは異なる。原論文262頁脚注6もこの区別を明記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書357–358頁と原論文261–263頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
358，53.1(3)の続き
原文献内で併せて確認した所在
261，Y-baseの定義
263，Lemma 3.3の結び
原本358頁・§53
補題 53.2
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
第1可算Hausdorff空間を距離空間の開像で表し，特定のコンパクト集合の持上げと逆像の第二可算性を確保する．
原文献の対応箇所
Theorem 4.1・原文献263頁
第一可算空間と基底に対し、コンパクト集合の持ち上げと特定の逆像の第二可算性を同時に満たす距離空間からの開写像が存在する。
比較の付記
原論文では全空間Hausdorff・全写像連続という260頁の規約がある。本書の(1),(2)がTheorem 4.1の(a),(b)に対応する。近傍基を離散添字集合の積の点として符号化する構成も対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書358–359頁と原論文260・263頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
359，53.2の構成の続き
原文献内で併せて確認した所在
260，分離公理・写像の規約
原本359頁・§53
定理 53.3
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael–Nagami
Hausdorff空間のコンパクト集合の距離化可能性と可算指標を，距離空間からのコンパクト被覆開像で捉える．
原文献の対応箇所
Theorem 1.2・原文献260頁
Hausdorff空間が距離空間のコンパクト被覆開像であることと、各コンパクト部分集合が距離化可能かつ像空間内で可算指標をもつことが同値。
比較の付記
本書の二条件がTheorem 1.2と一致する。260頁脚注3のcountable characterを確認。題名だけによる従来のMichael 1966・Nagami 1973単著の候補を、この共著論文の具体的な定理への対応で置き換える。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書359頁と原論文260頁を確認。
原本359頁・§53
定理 53.4
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
点可算ベースを持つ空間を，距離空間からの開s像・双商s像などの形で特徴付ける．
原文献の対応箇所
Theorem 1.4・原文献261頁
点可算基底、距離空間のコンパクト被覆開s像、開s像、bi-quotient s像が同値。
比較の付記
Hausdorff・連続写像という原論文の規約の下で、四条件が同じ順序で対応する。s-mapは各点の逆像が可分となる写像。原論文が挙げるPonomarev・Filippovへの依存先すべての証明を、この対応だけで検証済みとはしない。 本書69頁は点逆像の位相濃度が可算であることをs写像の条件とし、原論文260頁脚注4は点逆像の可分性を条件とする。ここで扱う定義域は距離空間であり点逆像も距離空間なので、第二可算性と可分性が同値となり、この二つの条件は一致する。一般の定義域について二つの定義を同一視しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
指定した主張・定義の対応のみ。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書359–360頁と原論文260–261頁を確認。 本書69頁のs写像の定義も原文で追加確認。
本書内で併せて確認した所在
360，53.4の結び
69，s写像と点逆像の位相濃度
原文献内で併せて確認した所在
260，写像の規約とs-mapの定義
原本360頁・§53
例（構成と非距離化可能性の結論） 53.5
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
二重点の順序空間を用い，非距離化可能なパラコンパクトp空間が距離空間のコンパクト被覆開像になる例を作る．
原文献の対応箇所
Example 5.2・原文献264頁
同じ辞書式順序空間と部分集合の逆像を用い、Theorem 1.2の条件を満たすが点可算基底をもたないパラコンパクトp空間を作る。
比較の付記
本書のSは原論文のE、制限した逆像Yは両者で対応する。原論文は点可算基底をもたないと結論するため、距離化不能という本書の結論も含まれる。原論文264頁のX/Yの文字の印刷上の混在は保存し、全式・全証明の一致とはしない。本書冒頭の辞書式順序空間の性質一覧すべてを照合済みとは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
構成と指定した結論のみ。原論文のX/Y表記混在の修正や証明の独立検証は行わない。
原文の確認に関する付記
本書360頁と原論文264頁の構成・結論を原文で対照。
原本360頁・§53
問題（問題文の対応） 53.6
指定した範囲の対応を確認
Michael, E. and Nagami, K.，Compact-covering images of metric spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael–Nagami
距離空間の商s像を，コンパクト被覆性も備えた商s像として表し直せるかを問う．
原文献の対応箇所
Problem 1.5・原文献261頁
距離空間の商s像は、距離空間のコンパクト被覆商s像でもあるかと問う。
比較の付記
同じHausdorff空間・連続写像の範囲で、同じ表現可能性の問いである。既存の写像そのものがコンパクト被覆になるとの主張ではない。歴史的な問題文の対応であり、現在の解決状況ではない。 本書69頁は点逆像の位相濃度が可算であることをs写像の条件とし、原論文260頁脚注4は点逆像の可分性を条件とする。ここで扱う定義域は距離空間であり点逆像も距離空間なので、第二可算性と可分性が同値となり、この二つの条件は一致する。一般の定義域について二つの定義を同一視しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で問題の仮定と問いを照合。解答・現在の解決状況・証明の正否を認定するものではない。
原文の確認に関する付記
本書360頁と原論文260–261頁の規約・Problem 1.5を確認。 本書69頁のs写像の定義も原文で追加確認。
本書内で併せて確認した所在
69，s写像と点逆像の位相濃度
原文献内で併せて確認した所在
260，分離公理とs-mapの定義
原本360頁・§53
問題 53.8
原会議録の問題定式化と帰属の直接照合
Arhangelskij, A. V.，A survey of some recent advances in general topology, old and new problems（1971）
本書の主張の要約
完備可分距離空間のコンパクト被覆連続像が距離空間なら，像にも完備な適合距離があるかを問う．
原文献の対応箇所
§V, Problem (2)・原文献24頁
本書360頁の完備可分距離空間Xから距離化可能Yへの全射コンパクト被覆連続写像でYが完備距離化可能かという問いと§V(2)が一致しE.Michaelへ帰属する
比較の付記
本書360頁の完備可分距離空間Xから距離化可能Yへの全射コンパクト被覆連続写像でYが完備距離化可能かという問いと§V(2)が一致しE.Michaelへ帰属する。21頁はk-coveringを各コンパクトが定義域のコンパクトの像に含まれる条件と定義。制限したコンパクトの逆像を取れば像をそのコンパクトと等しくでき、本書のコンパクト被覆条件に一致。19頁脚注はmapを連続写像と規定。肯定的解答SaintRaymond1972との対応は別記録で維持。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問い・仮定・帰属の一致。問題の初出や解決状況の認定とは区別。
留保
1970会議・1971刊の収録先。本書著者が用いた資料と初出を認定しない。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
本書の各頁、会議録19–21・24頁を原文確認。詳細保存した調査資料。
原本360頁・§53
問題 53.8（肯定的解答のみ）
問題への肯定的解答・原出典とは別
Saint Raymond, Jean，Caractérisation d’espaces polonais d’après des travaux récents de J. P. R. Christensen et D. Preiss（1971-1973）
本書の主張の要約
完備可分距離空間のコンパクト被覆像の完備距離化を問う問題について，肯定解との対応だけを扱う．
原文献の対応箇所
Definition1 (5-02頁) and Theorem7 (5-05頁)・原文献5-05頁
Polish空間Xから距離化可能空間Yへの全射semi-propre写像があるならYはPolish。
比較の付記
semi-propreの定義は連続かつ各コンパクト集合をコンパクト集合の像として覆う写像。本書のコンパクト被覆連続全射に一致し、定理7のPolish結論はYの完備距離化を含む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問題53.8の仮定に対する肯定的解答の所在。Michaelの元の問題の収録箇所は未確定。
留保
1972年10月19日講演・収録年1971–1973。問題の初出と本書著者が参照した原稿を確定するものではない。
原文の確認に関する付記
本書360頁と原論文5-05頁を再度原文確認。定義1は既存原文閲読記録を参照。
原本361頁・§53
問題 53.9
問題文の原文照合（解決を示すものではない）
Michael, Ernest A. and Stone, A. H.，Quotients of the space of irrationals（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael, Ernest A. and Stone, A. H.
無理数空間からのコンパクト被覆連続像である可分距離空間が，完備距離化できるかを問う．
原文献の対応箇所
§3.7の予想（必要性の方向）・原文献632頁
空でない可分距離空間Yについて、無理数空間Pのコンパクト被覆連続像であることと、完備距離化可能であることが同値ではないかと予想する。
比較の付記
本書の問いは原論文の同値予想の必要性の方向に一致する。全射の定義域が非空なので、本書でもYは非空となる。原論文が既知とする十分性の方向は、本書53.9の設問には含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
1969年原論文に掲載された問題の定式化との対応。現在の解決状況、解答、独立性は未確認。
原文の確認に関する付記
次頁p.633のGödel–Novikovへの言及と文献[14]も確認した。そこでの無矛盾性の結果は、この予想自体の否定や独立性を示すものとして扱わない。
原本361頁・§54
定義（副基・対ベース・Mᵢ空間） 54.1
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
閉包保存ベースや副基，クッション対ベースを用いて，三つの一般化距離空間M₁・M₂・M₃を定める．
原文献の対応箇所
Definitions 1.1–1.3 and the definitions preceding them・原文献105頁
M₁は正則なσ閉包保存ベース、M₂は正則なσ閉包保存quasi-base、M₃はT₁でσクッションpair-baseをもつ空間。
比較の付記
本書の副基は原論文のquasi-baseに対応し、subbaseという通常の別概念ではない。対ベース・クッション性の条件も一致する。M₃について本書は正則と記すが、直後に対ベース条件が正則性を含むと明記する。Cederの正則性は105頁脚注によりT₁を含む。層型空間という名称の導入の対応はBorgesを別途参照する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
定義の対応のみ。すべての後続定理や層型空間という命名の初出までを認定しない。
原文の確認に関する付記
本書361頁と原論文105–106頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
106，Definitions 1.2–1.3; pair-base and cushioned family
原本361頁・§54
定理 54.2
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
距離空間からM₁・M₂・M₃を経て，パラコンパクト完全正規空間へ至る含意関係を示す．
原文献の対応箇所
Theorem 2.2・原文献106頁
Metrizable⇒M₁⇒M₂⇒M₃⇒paracompact and perfectly normal。
比較の付記
54.1とDefinitions 1.1–1.3の用語を合わせると、54.2の含意の列はTheorem 2.2と一致する。完全正規はperfectly normalとして読む。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書361頁と原論文105–106頁を確認。
原本361頁・§53
本文 問題53.9後の本文（Gödel–Novikovの相対的無矛盾性への言及）
本文の歴史的言及の対応
Michael, Ernest A. and Stone, A. H.，Quotients of the space of irrationals（1969）
本書の主張の要約
問題に続く，集合論の公理との無矛盾性をGödel・Novikovの仕事に結び付けた説明を扱う．歴史的帰属には留保がある．
原文献の対応箇所
§3末尾、参考文献[14]と脚注2・原文献633頁
無理数空間Pのコンパクト被覆像Yは解析的で、有理数空間と同相な閉（またはGδ）部分集合を含まない。この条件から絶対Gδ性が期待されるが、その否定は通常の集合論公理と相対的に無矛盾であることをGödelとNovikov[14]に帰属させる。直後に予想は未解決と明記する。
比較の付記
本書が「核心的な部分」と限定する言及に対応する歴史的報告が、同じMichael–Stone予想を扱う原論文633頁にある。報告の対象を解析性と有理数空間の閉コピーの不存在から絶対Gδ性を導く段階に限定する。[14]はNovikov1951の279–316頁を指す。問題53.9全体の否定の無矛盾性や独立性を述べるものとは扱わない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書361頁とMichael–Stone633頁の主張・引用先の対応。Novikov279–280頁の導入は引用連鎖の補助確認。
留保
歴史的報告の対応のみ。Novikov原論文の証明と位相的翻訳、Gödelの具体的原出典、本書著者が使用した資料、初出優先権、問題53.9の現在の解決状況は未認定。
原文の確認に関する付記
Michael–Stone633頁の原文を確認。Novikov論文の導入2頁でGödelの相対的無矛盾性結果への言及を確認したが、その集合論的命題から位相的条件への翻訳は独立に検証していない。
原本362頁・§54
補題 54.3
原文で主張文・必要な用語を照合（下記の範囲）
Michael, Ernest，Yet another note on paracompact spaces（1959）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
クッション細分の列で各族の和の内部が全空間を覆う条件によって，パラコンパクトHausdorff性を捉える．
原文献の対応箇所
§4, Theorem 1.2の証明後の記述・原文献313頁
Theorem 1.2のσ-cushioned refinementにおける開性は、各族の和の内部がXを覆うという条件に弱められる。
比較の付記
原論文p.313はTheorem 1.2の開性を弱める条件を明記し、その条件が本書54.3(2)に一致する。原論文のHausdorff性を含むparacompactの用法と、本書のT₁規約を反映して比較した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による主張の対応確認。定義・仮定の差と限定は比較欄に記載。
原文の確認に関する付記
Theorem 1.2の開細分の形だけを引くのでなく、p.313の追加記述を対応箇所とした。
本書内で併せて確認した所在
86，定義17.11・定理17.12
原本363頁・§54
定理 54.5
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ceder
M₁・M₂・M₃の各クラスは，同じクラスの空間の可算積を取っても保たれる．
原文献の対応箇所
Theorem 2.4・原文献107頁
A countable product of Mᵢ-spaces is Mᵢ。
比較の付記
同じiを固定した可算積について、仮定と結論が一致する。Cederの定義と本書54.1の対応も確認した。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書363–364頁と原論文105–107頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
364，定理54.5の文の続き
原本364頁・§54
定理（(2)のみ） 54.6
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
M₂とM₃について，部分空間を取る操作でもそれぞれのクラスにとどまることを扱う．
原文献の対応箇所
Theorem 2.3・原文献107頁
M₂・M₃空間の任意の部分空間は、それぞれM₂・M₃である。
比較の付記
54.6(2)の遺伝性がTheorem 2.3と一致する。(1)のM₁空間の開部分空間についての主張は今回の照合に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書364頁と原論文107頁を確認。
原本364頁・§54
問題（全三項の問い） 54.7
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ceder
M₁の部分空間・閉像での保存性と，M₂からM₁，M₃からM₂へ戻る含意があるかを問う．
原文献の対応箇所
Questions following Theorems 2.2–2.3, and preceding Lemma 7.3・原文献107頁
M₂⇒M₁とM₃⇒M₂の問い、M₁の部分空間・閉部分空間についての問い、Mᵢの閉連続像についての問いを記す。
比較の付記
本書(1)の部分空間に関する問いは107頁、閉連続像に関する問いは116頁のi=1の場合に対応する。(2)・(3)は107頁のM₂⇒M₁・M₃⇒M₂の問いに対応する。対応させるのは歴史的な問題の定式化であり、現在の解決状況ではない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で歴史的な問題の定式化を照合。現在の解決状況と本書刊行時の解決状況は未調査。
留保
本書刊行時・現在の解決状況はここでは調査しない。問題の解答を確認したとの意味ではない。
原文の確認に関する付記
本書364–365頁と原論文105・107・116頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
365，問題54.7の続き：(1)の閉像と(2)・(3)
原文献内で併せて確認した所在
116，閉連続像の問い：i=1の場合
原本365頁・§54
定理（(1)⇔(2)のみ） 54.8
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Borges
M₃空間を，包含関係に単調で，閉包も内側に収まる増大開集合列によって特徴付ける．
原文献の対応箇所
Definition 1.1, the increasing-sequence convention, and footnote 2・原文献1頁
層対応をDefinition 1.1で定義し、列を増大列にできると述べる。2頁脚注2でCederのσクッション対ベースによる定義との同値性を示す。
比較の付記
54.8(2)の三条件はDefinition 1.1と増大列の規約に一致し、(1)との同値性は脚注2に記載される。(3)の点近傍列による特徴付けは今回の対応範囲に含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
(3)は未照合。脚注2は同値性をCederの1959年学位論文にも帰するが、その原本は未確認。
原文の確認に関する付記
本書365頁、Borges 1–2頁とCeder 106頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
2，Footnote 2
106，Definition 1.3
原本366頁・§54
補題 54.10
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
閉部分空間の層対応を全空間へ延長し，元の対応や包含関係との整合を保つ．
原文献の対応箇所
Lemma 2.3, including its extension formula・原文献4頁
閉集合Aと開集合Vに対し、V∩Aの層列をVへ延長し、Aとの交わり・閉包の交わりを保ち、二つの列の間の単調性も保つ。
比較の付記
本書の開集合Uを原論文のVと読み替えると、延長の定義式と(1),(2)がLemma 2.3(a),(b),(c)に対応する。原論文は個々の開集合の層列を述べ、本書はA全体の層対応にまとめて適用している。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書366–367頁と原論文4頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
367，補題54.10の結論(1)・(2)
原本366頁・§54
補題 54.9
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
層対応を用いて閉集合と開集合に応じた近傍を作り，両変数の単調性と閉包の包含を制御する．
原文献の対応箇所
Lemma 2.1 and its defining formula・原文献3頁
同じ式で定めるU_Aが単調性とA∩U⊂U_A⊂Cl U_A⊂A∪Uを満たし、A⊂UならA⊂U_A⊂Cl U_A⊂Uとなる。
比較の付記
54.9(1),(2)の条件とU_Aの式がLemma 2.1および4頁の式に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書366頁と原論文3–4頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
4，U_Aの定義式
原本367頁・§54
定理 54.11
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Borges
層型空間から閉連続写像で得た像へ，層型の性質が引き継がれる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.1・原文献5頁
層型空間から閉連続写像で得た像へ，層型の性質が引き継がれる．空間はT₁とする規約を用いる。
比較の付記
仮定と結論が一致する。原論文1頁脚注のT₁規約は本書の一般規約と対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書367頁と原論文1・5頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
1，T₁の一般規約
原本367頁・§54
補題 54.12
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
層対応から点の近傍を選び，二つの近傍が交わるときの点の所属関係を制御する．
原文献の対応箇所
Definition 4.1 and Lemma 4.2(ii),(iii)・原文献6頁
同じn(U,x)とU_xを定義し、U_x∩V_y≠∅かつn(U,x)≤n(V,y)ならy∈U、また交わりが非空ならx∈Vまたはy∈Uとなる。
比較の付記
本書のU[x]を原論文のU_xと読み替えると、54.12(1),(2)はLemma 4.2(ii),(iii)に対応する。54.9のU_Aとは異なる構成である。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書367–368頁と原論文6–7頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
368，補題54.12の続き
原文献内で併せて確認した所在
7，Lemma 4.2
原本368頁・§54
定理（拡張の存在） 54.13
指定した範囲の対応を確認
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ceder–Borges
層型空間の閉集合上の局所凸線形位相空間値の連続写像を，全空間へ延長する．
原文献の対応箇所
Theorem 4.3(a)・原文献7頁
層型空間X、閉部分空間A、局所凸位相線形空間Eについて、すべてのf∈C(A,E)に拡張φ(f)∈C(X,E)を与える作用素が存在する。
比較の付記
54.13の拡張の存在はTheorem 4.3(a)に対応する。原論文はさらに凸包内に値を取ることと作用素の線形性も述べるが、本書の定理文と同一の主張として登録するのは拡張の存在まで。CederのTheorem 3.2はNagata空間（第一可算M₃）の場合であり、Borgesが一般の層型空間を扱う。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
原論文(b),(c)と本書の定理文の同一性、全証明の独立検証は認定しない。
原文の確認に関する付記
本書368頁、Borges 7頁、Ceder 109–110頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
109，Theorem 3.1：Nagata空間と第一可算M₃
110，Theorem 3.2：制限された先行結果
原本372頁・§55
定理 55.2
定理の主張対応（再証明）
Heath, R. W. and Hodel, Richard E.，Characterizations of σ-spaces（1973）
本書の主張の要約
正則T₁空間のσ空間性を，列状の閉包保存ネットワークや疎なネットワークによって判定する．
原文献の対応箇所
§2 Theorem, conditions (1)–(3); introduction・原文献272頁
正則空間においてσ-discrete net、σ-space、σ-closure preserving netの存在は同値。
比較の付記
論文の(1),(2),(3)は本書の(3),(1),(2)の順に一致する。冒頭のσ-space定義はσ局所有限netを用いる。netは各点と開近傍の間に集合を挟むnetworkの意味。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書372頁、原論文271–272頁の原文で定義と三条件を照合。
原文の確認に関する付記
論文冒頭はNagata–Siwiecの結果の別証明を与えると明記する。本書が帰属するNagata–Siwiec原論文の対応記録siwiec-nagata-55-2を保持し、この共著論文を初出とは扱わない。証明の独立監査は未実施。
原本372頁・§55
定理 55.2
条件の順序を入れ替えた同じ主張
Siwiec, Francis and Nagata, Jun-iti，A Note on Nets and Metrization（1968）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Nagata–Siwiec
正則T₁空間のσ空間性を，列状の閉包保存ネットワークや疎なネットワークによって判定する．
原文献の対応箇所
1. Theorem・原文献624頁
正則空間について、σ-closure preserving netをもつ、σ-space、σ-discrete netをもつ、が同値。
比較の付記
原論文p.623のnetは、各点とその開近傍の間に族の要素が挟まるという意味で、本書のnetworkに対応。σ空間はσ局所有限なnetによる定義。原論文は全空間をT₁とし、本書p.27の規約と一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文による定義・規約・仮定・結論の対応確認
原文の確認に関する付記
本書(1)(2)(3)と原論文(ii)(i)(iii)の対応。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原本374頁・§55
定理 55.4
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ceder
距離空間では，閉集合の近傍を閉包保存なベースで捉えられる．
原文献の対応箇所
Lemma 7.5・原文献117頁
距離空間の閉集合Aには、開集合からなる閉包保存な近傍ベースが存在する。
比較の付記
任意の開近傍Uに対しA⊂V⊂Uを満たす開集合Vを取れるというLemma 7.5の結論が、本書の近傍ベースに対応する。55.6の近傍副基とは区別する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書374頁と原論文117頁を確認。
原本374頁・§55
定理 55.6
指定した範囲の対応を確認
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ceder
M₂空間の閉集合には，閉包保存な近傍副基を選べる．
原文献の対応箇所
Lemma 7.3・原文献116頁
M₂空間の閉集合Aには閉包保存な近傍族Vがあり、任意の開近傍Uに対してA⊂Int V⊂V⊂UとなるVを取れる。
比較の付記
55.5の近傍副基の定義を用いると、Lemma 7.3の近傍族が55.6の結論そのものである。族の要素すべての開性を要求する55.4の主張へ強めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
主張・定義の対応の確認であり、証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定ではない。
原文の確認に関する付記
本書374–375頁と原論文116–117頁を確認。
本書内で併せて確認した所在
375，55.6の近傍族の構成
原文献内で併せて確認した所在
117，Lemma 7.3の続き
原本376頁・§55
定理 55.7（近傍条件・構成の限定対応）
original-paper-image-collation
Borges, C. R. and Lutzer, D. J.，Characterizations and mappings of Mᵢ spaces（1974）
本書の主張の要約
閉集合ごとのσ閉包保存な非開近傍基を使い，M₂空間の条件を捉える．構成に関する限定がある．
原文献の対応箇所
Definition2.5, Theorem2.6・原文献36頁
閉集合ごとのσ閉包保存な非開近傍基を使い，M₂空間の条件を捉える．構成に関する限定がある．
比較の付記
本書55.5の近傍副基と原論文2.5のneighborhood baseはいずれも非開近傍の共終族。36頁2.6の離散閉ネットワークを開離散族へ拡げ、各集合の近傍族を可算に合併する構成が本書376頁の証明と対応。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書55.5の近傍副基と原論文2.5のneighborhood baseはいずれも非開近傍の共終族。36頁2.6の離散閉ネットワークを開離散族へ拡げ、各集合の近傍族を可算に合併する構成が本書376頁の証明と対応。
留保
本書の族正規σと原論文のパラコンパクトσの仮定表記の同値はこの記録で認定しない。全定理一致・独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
原PDFを保存。Frink602–607頁またはBorges–Lutzer34–40頁の論文全頁を原文閲読。LNM375全巻読了・独立証明監査ではない。
原本376頁・§55
定理の必要条件の一部 55.7（閉集合の近傍副基条件のみ）
必要条件の一部分の直接対応
Ceder, Jack G.，Some generalizations of metric spaces（1961）
本書の主張の要約
M₂空間から従う条件として，閉集合のσ閉包保存な近傍副基の存在を扱う．
原文献の対応箇所
Lemma 7.3・原文献116頁
M2空間の閉集合Aに閉包保存な近傍族Vが存在し、各開近傍Uに対してA⊂Int V⊂V⊂Uを満たす。
比較の付記
M2空間の各閉集合Aに閉包保存な近傍族Vが存在し、任意の開近傍Uに対しA⊂Int V⊂V⊂U。閉包保存はσ閉包保存を含意するため55.7の必要条件の近傍副基部分を裏づける。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書376頁と原文116頁の原文による限定照合
留保
55.7の全同値条件・Borges–Lutzerへの帰属・初出は未認定。
原文の確認に関する付記
既存のceder-55-6に対応するLemma7.3を、55.7の必要条件の一部として明示。近傍族の開性は要求しない。
関連する対応
原本377頁・§55
定理 55.11
original-paper-image-collation
Borges, C. R. and Lutzer, D. J.，Characterizations and mappings of Mᵢ spaces（1974）
本書の主張の要約
既約完全全射を通じて，定義域のM₁性を像へ引き継げる．
原文献の対応箇所
Theorem3.4・原文献38–39頁
既約完全全射を通じて，定義域のM₁性を像へ引き継げる．
比較の付記
本書55.11と原論文3.4の定理文、35頁の正則T1・mapping=連続全射規約、perfect=閉写像かつコンパクト点逆像、irreducibleの定義を照合。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書55.11と原論文3.4の定理文、35頁の正則T1・mapping=連続全射規約、perfect=閉写像かつコンパクト点逆像、irreducibleの定義を照合。
原文の確認に関する付記
原PDFを保存。Frink602–607頁またはBorges–Lutzer34–40頁の論文全頁を原文閲読。LNM375全巻読了・独立証明監査ではない。
原本377頁・§55
定理 55.11
full-statement-equivalence-through-explicit-later-attribution
Kao, Kuo-Shih，A note on M₁-spaces（1983）
本書の主張の要約
M₁空間を既約な完全写像で写した像でも，M₁性が保たれる．
原文献の対応箇所
Corollary 1 (Borges–Lutzer [2]); definition and conventions p121; reference [2] p128・原文献123頁
M1空間の既約完全写像による像はM1空間である。Borges–Lutzer[2]への明示帰属。
比較の付記
123頁系1の定義域M1、既約・完全写像、値域M1という主張は本書55.11と一致する。121頁はM1を正則かつσ閉包保存基底を持つ空間と定義し、正則・正規はT1、写像は連続全射と宣言する。本書のM1と連続全射・完全写像の範囲に対応する。系名にBorges–Lutzer[2]と明記し、128頁[2]は1974年Characterizations and mappings of Mi spaces, LNM375,34–40頁で既存候補と一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書377頁の定理文、原論文121・123・128頁の原文による定義・全主張・帰属書誌の対応。
留保
Borges–Lutzer1974原文のプレビュー外定理本文と証明、初出、本書著者の実使用文献は未確認。後続原論文の明示定式化による主張対応で独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
指定3頁を原文閲読。PDFのデジタル表紙を除く121頁はPDF2、123頁PDF4、128頁PDF9。
原本378頁・§55
定理 55.12
full-book-statement-as-special-case-of-explicit-later-attribution
Angoa, J.; Ibarra, M.; Tamariz-Mascarúa, A.，On ω-resolvable and almost-ω-resolvable spaces（2008）
本書の主張の要約
パラコンパクトHausdorff空間からFréchet Hausdorff空間への閉全射を，閉部分集合に制限して既約にできる．
原文献の対応箇所
Lemma 4.8 and immediately preceding attribution to Lasnev・原文献498頁
パラコンパクトT2空間XからFréchet空間Yへの閉連続全射fについて、ある閉部分集合X0がf[X0]=Yを満たし、制限が既約になる。
比較の付記
領域のパラコンパクトT2条件、写像の連続・閉・全射条件、閉部分集合への既約全射制限という結論は一致する。補題4.8の値域はFréchetとだけ記すので、Fréchet T2を仮定する本書55.12はその特別な場合。直前の文がLašnevへの帰属を明示する。ただしLašnev1965の特定論文・定理番号の引用はこの箇所にない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書378頁定理55.12と後続原論文498頁補題4.8の主張・帰属の照合。
留保
Lašnev1965候補原論文の直接閲読・原定理番号・初出・本書著者の実使用典拠は未確認。主張の一致と特定原典の同定を区別する。
原文の確認に関する付記
本書378頁、原論文485・498頁を確認。証明全体の監査ではない。
原本379頁・§55
定理 55.13
原文で主張文・定義・規約を照合
Slaughter, Jr., F. G.，The closed image of a metrizable space is M₁（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Slaughter, Jr., F. G.
距離空間から閉連続全射で得られるLašnev空間には，M₁性が備わる．
原文献の対応箇所
Theorem 6・原文献313頁
距離空間MからYへの閉写像が全射ならば、YはM₁空間である。写像はp.310の規約により連続。
比較の付記
閉連続全射による距離空間の像という仮定とM₁という結論が対応する。原論文p.310と本書54.1のM₁は、ともに正則性とσ閉包保存な開基底で定義される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
定義・連続性規約とTheorem 6の主張文。本書の証明との逐次照合・独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
原論文の著者表記はF. G. Slaughter, Jr.。本書55.13の帰属を原文で確認。
本書内で併せて確認した所在
361，定義54.1：M₁空間
原本381頁・§55
定理 55.15
原文で主張文と用語の定義を照合
Hyman, D. M.，A note on closed maps and metrizability（1969）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Hyman, D. M.
非離散な二因子の積がLašnev空間なら，その積には位相に適合する距離が存在する．
原文献の対応箇所
Theorem B・原文献109頁
X,Yが非離散位相空間で、X×Yが距離空間の閉連続像ならば、X×Yは距離化可能である。
比較の付記
本書55.13のLašnev空間の定義を展開すると、非離散性・閉連続像・距離化可能性の各条件が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
Theorem Bの仮定と結論。証明の独立監査は未実施。
原文の確認に関する付記
本書の定理直前の例全体を原論文との照合対象にはしていない。
本書内で併せて確認した所在
379，定理55.13とLašnev空間の定義
原本382頁・§55
定理 55.16
定理の主張対応
Heath, R. W. and Hodel, Richard E.，Characterizations of σ-spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Heath
層型空間では，σ空間を特徴付けるネットワークの条件も成り立つ．
原文献の対応箇所
§4, Theorem (Heath)・原文献274頁
Every stratifiable space is a σ-space.
比較の付記
層型空間（stratifiable space）⇒σ空間の主張が一致。論文§4も定理をHeathに帰属し、Heathの結果の短い証明を与えると説明する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書382頁と原論文274頁の原文で主張と帰属を照合。
原文の確認に関する付記
Heathの先行結果の再証明を収録する。参考文献[4]は同題名をto appearと記載。先行抄録Heath1969StratifiableSigmaの引用書誌とAMS検索索引の候補を別に登録したが、原抄録本文は未確認。共著1973論文を最初の公表源とは認定しない。証明全体の比較・独立検証は未実施。
原本385頁・§56
定義 56.1
定義の直接一致
Morita, Kiiti，Products of normal spaces with metric spaces（1964）
本書の主張の要約
開集合の単調な木状族に対し，枝ごとの被覆を保つ閉集合族を選べるMorita（P）空間を定める．
原文献の対応箇所
Introduction, P-space definition, conditions (1)–(3)・原文献365頁
任意の添字集合と単調増大開集合族について、各Gに含まれる閉集合Fが存在し、開集合の和がXになる添字列では閉集合の和もXになる空間をP-spaceと呼ぶ。
比較の付記
本書の単調増大・1:1細分・同調細分が原論文の条件(1)・(2)・(3)にそれぞれ対応する。枝ごとの被覆条件を含めて一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書385頁と原論文365頁の原文を照合。
原文の確認に関する付記
ここでのP-spaceは本書のMorita空間。Arhangelskiiの小文字p空間や可算個の開集合の交叉が開となるP-spaceとは区別する。原論文366頁の特徴付けは定義とは別の対応として今後記録する。
原本389頁・§56
定理 56.12(N)
主張対応（本書のHausdorff条件の下）
Morita, Kiiti，Products of normal spaces with metric spaces（1964）
本書の主張の要約
Hausdorff空間と任意の距離空間との積の正規性を，正規なMorita空間の条件で判定する．
原文献の対応箇所
Theorem4.1・原文献372頁
任意の距離化可能空間Yとの積X×Yが正規となることと、Xが正規P-spaceとなることは同値。
比較の付記
原論文Theorem4.1をHausdorffなXに適用。本書Morita空間と原論文P-spaceの定義は別記した56.1対応の通り一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書389頁と原論文365・366・372・377頁の原文で定義・主張を確認。
原文の確認に関する付記
原論文は一般の位相空間を扱い正規性を明示する。本書のHausdorff条件を省略した一般化としては認定しない。証明全体の独立検証は行っていない。
原本389頁・§56
定理 56.12(P)
主張対応（本書のHausdorff条件の下）
Morita, Kiiti，Products of normal spaces with metric spaces（1964）
本書の主張の要約
Hausdorff空間と任意の距離空間との積のパラコンパクト性を，パラコンパクトなMorita空間の条件で判定する．
原文献の対応箇所
Theorem5.1; Introduction p.366・原文献377頁
各無限基数mについて、重さがm以下の任意の距離化可能空間Yとの積がパラコンパクトかつ正規となることと、Xがパラコンパクト正規P(m)-spaceとなることは同値。冒頭では全距離空間についての形も明示。
比較の付記
本書はXをHausdorffとするため、Xおよび距離空間との積のパラコンパクト性は正規性を伴う。原論文冒頭366頁の全距離空間についての主張に対応する。Theorem5.1は重さ制限付きであり、全基数についての形と区別して併記する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書389頁と原論文365・366・372・377頁の原文で定義・主張を確認。
原文の確認に関する付記
原論文は一般の位相空間を扱い正規性を明示する。本書のHausdorff条件を省略した一般化としては認定しない。証明全体の独立検証は行っていない。
原本391頁・§57
定義 57.1
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
ネットワークを用いて，Σ空間と，それより強い強Σ空間の条件を定める．
原文献の対応箇所
Definition 1.1・原文献170頁
局所有限閉被覆の列、C(x,F)とC(x)の定義、閉集合の下降列条件、C(x)のコンパクト性による強Σ-net
比較の付記
本書のΣネットワークは原論文のΣ-net。局所有限閉被覆の列、各iでKi⊂C(x,Fi)となる空でない閉集合の下降列の共通部分が空でない条件、C(x)のコンパクト性による強Σの定義が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
該当する定義・補題の主張対応。§57全結果の帰属や独立証明監査は含めない。
留保
原論文の全空間Hausdorffという規約と本書の一般空間上の定義を区別。歴史的初出は未認定。
原文の確認に関する付記
原誌170–171頁と本書391頁を原文閲読。原論文では全空間Hausdorffという規約が170頁冒頭にある。本書は一般の空間に定義するため、原典対応はHausdorffの範囲で確認する。
原本391頁・§57
主張 57.2
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Σネットワークを局所有限な閉被覆で細分しても，Σネットワークとして使える．
原文献の対応箇所
Lemma 1.3・原文献170頁
Σ-net {Fi}について各HiがFiを細分する局所有限閉被覆なら{Hi}もΣ-net
比較の付記
被覆列ごとの細分条件と結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
該当する定義・補題の主張対応。§57全結果の帰属や独立証明監査は含めない。
留保
原論文の全空間Hausdorffという規約と本書の一般空間上の定義を区別。歴史的初出は未認定。
原文の確認に関する付記
原誌170–171頁と本書391頁を原文閲読。原論文では全空間Hausdorffという規約が170頁冒頭にある。本書は一般の空間に定義するため、原典対応はHausdorffの範囲で確認する。
原本391頁・§57
主張 57.3（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
HausdorffなΣ空間で，有限交差や次段への分解，近傍を追う枝を整えた標準形のネットワークを選ぶ．
原文献の対応箇所
Lemma 1.4・原文献170–171頁
HausdorffなΣ空間で，有限交差や次段への分解，近傍を追う枝を整えた標準形のネットワークを選ぶ．
比較の付記
原論文の(iii)(iv)と有限乗法性(i)を対応。本書のFi⊂Fi+1は構成でKiにXを加えることにより成り立つ。原論文の開近傍条件は本書の閉近傍条件を含意する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌170–171・175–176・187–188頁、本書391–392・396頁、Morita1964原誌365頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本392頁・§57
主張 57.4（正則Hausdorffの範囲）
definition-characterization-bridge
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
正則Hausdorff空間のσ空間性を，点ごとの核が一点になるΣネットワークで捉える．
原文献の対応箇所
Definition 1.2, Lemma 1.4 and Definition 1.1 footnote・原文献170–171頁
各点xでC(x)={x}となるΣ-netをσ-netと呼び、これを持つ空間をσ-spaceと定義する。標準化したΣ-netにはC(x)の開近傍内に入る枝がある。
比較の付記
原論文はC(x)={x}によってσ-spaceを定義する。本書55.1は正則性とσ局所有限ネットワークで定義するため、文字通り同じ定理ではない。本書57.4はこの二つの定式化の同値性を与える。正則Hausdorffの範囲で、原論文定義1.2の条件と本書57.4右辺が一致し、標準化補題1.4が本書の充分性の説明に対応する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
正則Hausdorff空間でのσ空間の定式化の対応。
留保
原論文に本書55.1との同値定理が同じ番号・文章で掲載されているとは主張しない。非Hausdorff範囲・証明の独立監査・歴史的初出は未確認。
原文の確認に関する付記
本書372頁55.1と392頁57.4、原論文170–171頁を原文比較。原論文170頁脚注は既発表版のσ-netの意味との違いも述べるため、版間の定義変更を区別。
原本392頁・§57
主張 57.5（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
HausdorffなΣ空間には，Morita空間の被覆条件が備わる．
原文献の対応箇所
Theorem 2.7・原文献175–176頁
HausdorffなΣ空間には，Morita空間の被覆条件が備わる．
比較の付記
原論文のP-spaceはMorita1964のP-space。本書56.1とMorita原誌365頁を再確認し、単調増大開集合族の同調閉細分条件が一致することを確認。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌170–171・175–176・187–188頁、本書391–392・396頁、Morita1964原誌365頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本393頁・§57
主張 57.6（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Hausdorffな準完全写像は，局所有限な閉集合族を像でも局所有限な閉集合族にする．
原文献の対応箇所
Lemma 1.7・原文献172頁
Hausdorffな準完全写像は，局所有限な閉集合族を像でも局所有限な閉集合族にする．
比較の付記
quasi-perfectは閉写像かつ各ファイバー可算コンパクトという170頁の規約で、本書の準完全写像と対応。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌172–179頁と本書393–395頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本393頁・§57
主張 57.7（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Hausdorffな準完全全射では，Σ空間性が定義域と像の間で同時に成り立つ．
原文献の対応箇所
Theorem 1.8・原文献172–173頁
Hausdorffな準完全全射では，Σ空間性が定義域と像の間で同時に成り立つ．
比較の付記
上への条件、閉写像・可算コンパクトなファイバー、および両方向の結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌172–179頁と本書393–395頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本394頁・§57
主張 57.10（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Hausdorffな強Σ空間に族正規性を加えると，パラコンパクト性が従う．
原文献の対応箇所
Theorem 3.12・原文献180頁
Hausdorffな強Σ空間に族正規性を加えると，パラコンパクト性が従う．
比較の付記
原論文のcollectionwise normal・strong Σの仮定とパラコンパクト性の結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌180–185頁と本書394–396頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本394頁・§57
主張 57.8（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
HausdorffなΣ空間とコンパクトHausdorff空間を掛け合わせても，Σ空間性が残る．
原文献の対応箇所
Corollary 1.9・原文献173頁
HausdorffなΣ空間とコンパクトHausdorff空間を掛け合わせても，Σ空間性が残る．
比較の付記
コンパクト因子からの射影が完全写像となる系が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌172–179頁と本書393–395頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本394頁・§57
主張 57.9（Hausdorffの範囲）
explicit-implication-combination
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
HausdorffなM空間を，Σネットワークを持つ空間のクラスに位置付ける．
原文献の対応箇所
§1.11直後の説明・原文献174頁
HausdorffなM空間を，Σネットワークを持つ空間のクラスに位置付ける．
比較の付記
原論文174頁はM空間の距離空間への準完全写像による特徴付けを述べ、全M空間がpre-σであることを結論する。pre-σ空間はΣ空間という同頁冒頭と組み合わせると本書57.9になる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌172–179頁と本書393–395頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本395頁・§57
主張 57.11（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
正則Hausdorffな強Σ空間で，ネットワークの閉被覆を対応する局所有限開被覆で包めれば，パラコンパクトになる．
原文献の対応箇所
Lemma 3.11・原文献180頁
正則Hausdorffな強Σ空間で，ネットワークの閉被覆を対応する局所有限開被覆で包めれば，パラコンパクトになる．
比較の付記
各Fiα⊂Uiαという包含、局所有限開被覆、正則性・強Σの仮定が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌180–185頁と本書394–396頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本395頁・§57
主張 57.12（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
強ΣかつHausdorffな空間の可算積は，強Σの条件を引き継ぐ．
原文献の対応箇所
Theorem 3.6・原文献177–178頁
強ΣかつHausdorffな空間の可算積は，強Σの条件を引き継ぐ．
比較の付記
自然数で添字付けた列の可算積、強Σの仮定・結論が一致。原論文の数式は可算積であり非可算積への拡張を含めない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文の全空間Hausdorff規約の範囲での主張対応。
留保
本書の一般空間上の定式化と原論文Hausdorff規約を区別。全節への帰属と独立証明監査は未完。
原文の確認に関する付記
原誌172–179頁と本書393–395頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本396頁・§57
主張 57.13
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
パラコンパクトHausdorffなΣ空間どうしの可算積では，三つの性質がすべて保たれる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.13・原文献180–181頁
パラコンパクトHausdorffなΣ空間どうしの可算積では，三つの性質がすべて保たれる．
比較の付記
原論文は全空間Hausdorff。自然数で添字付けた列、各因子のパラコンパクト性・Σ性、積の結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書396頁のT2条件を原文再確認。原論文全空間Hausdorff規約と当該定理の範囲が一致する主張対応。
留保
本書396頁もT2を明記しており、この二定理について非Hausdorff範囲の差はない。全節への帰属・原論文の実際の利用・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
原誌180–185頁と本書394–396頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。
原本396頁・§57
主張 57.14
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
パラコンパクトHausdorffなMorita空間と，パラコンパクトHausdorffなΣ空間との積はパラコンパクトになる．
原文献の対応箇所
Corollary 4.2・原文献188頁
パラコンパクトHausdorffなMorita空間と，パラコンパクトHausdorffなΣ空間との積はパラコンパクトになる．
比較の付記
原論文P-spaceを本書Morita空間へ読み替える。Morita1964原誌365頁の定義と本書56.1による用語対応のもと、系4.2の仮定・結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書396頁のT2条件を原文再確認。原論文全空間Hausdorff規約と当該定理の範囲が一致する主張対応。
留保
本書396頁もT2を明記しており、この二定理について非Hausdorff範囲の差はない。全節への帰属・原論文の実際の利用・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
原誌170–171・175–176・187–188頁、本書391–392・396頁、Morita1964原誌365頁を原文閲読。準完全写像の定義は原誌170頁で確認済み。 Corollary4.2の定理文は印刷188頁/PDF11。187頁/PDF10はTheorem4.1証明開始。
原本399頁・§58
定理 58.1
定理の主張対応
Katětov, Miroslav，Complete normality of Cartesian products（1948）
本書の主張の要約
積が継承的正規なら，片方に閉じていない可算集合がある場合，他方には完全正規性が必要になる．
原文献の対応箇所
Corollary 1; footnotes 1 and 3・原文献272頁
P×Qがcompletely normalなら、Qのすべての可算部分集合が閉、またはPはperfectly normal。
比較の付記
Corollary1の二者択一が一致。脚注1はcompletely normalをhereditarily normalと同値と明記し、脚注3はperfectly normalを正規かつ全閉集合Gδと定義する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書399頁と原論文271–272頁の原文で主張・用語を照合。
原文の確認に関する付記
原論文は全空間Hausdorffを仮定する。本書のT1規約のもと、両因子非空なら積の継承的正規性から因子の正規T1性、従ってHausdorff性を得る。空因子の場合は本書の二者択一は自明。この仮定の橋渡しは記録側の説明であり、独立した証明監査ではない。
原本400頁・§58
系 58.4
定理の特殊化による部分対応
Katětov, Miroslav，Complete normality of Cartesian products（1948）
本書の主張の要約
非退化空間の可算冪では，完全正規性・継承的正規性・継承的可算パラコンパクト性が一致する．
原文献の対応箇所
Theorem 3・原文献273頁
各P_nが一点より多くの点を持つとき、可算積∏P_nはcompletely normalであることとperfectly normalであることが同値。
比較の付記
全因子P_nをXと置くと本書58.4の(1)⇔(2)を得る。原論文は異なる因子の可算積も許す。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書400頁と原論文273頁の原文で二条件の同値性を照合。
本書の条件に関する付記
(1)と(2)の同値性のみ
留保
本書58.4の(3)との同値性は原論文Theorem3の主張に含まれず、この記録では対応を確認していない。
原文の確認に関する付記
completely normalは継承的正規、perfectly normalは完全正規（脚注1・3）。原論文はHausdorffを仮定する。本書のT1規約のもと、(1)または(2)を満たす非空の積では因子はHausdorffとなる。これは仮定の橋渡しの説明であり証明監査ではない。
原本402頁・§58
定理と閉集合対の構成 58.7
指定した範囲の対応を確認
Stone, A. H.，Paracompactness and product spaces（1948）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：A. H. Stone
可算離散空間を非可算個掛け合わせた積が，正規性を満たさないことを示す．
原文献の対応箇所
Theorem 3とA_kの定義・原文献980頁
可算離散空間の非可算個の積Tは正規でない。A_kを、k以外の各正整数が高々一つの座標でしか現れない点の集合と定め、A_1とA_2を分離不能な閉集合対とする。
比較の付記
本書58.7の仮定・結論およびA_kの定義が原論文Theorem 3に対応する。Ωと原論文の添字集合Λを読み替えた。閉集合対を用いた非正規性の主張とその定義までを照合範囲とし、その後の帰納的な点・座標の選択の全式の一致は認定しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
非正規性の主張とA_kの定義まで。帰納的構成の全式および証明の独立検証は範囲外。
原文の確認に関する付記
本書402頁、原論文980–981頁を確認。
原文献内で併せて確認した所在
981，A_kの閉性・A_1とA_2による非正規性の議論
原本403頁・§58
定理 58.10
二定理の組合せによる主張対応
Nagami, Keiô，Countable paracompactness of inverse limits and products（1972）
本書の主張の要約
開連続全射の可算逆列で，極限の可算パラコンパクト性を仮定し，因子の正規性やパラコンパクト性を極限へ移す．
原文献の対応箇所
Theorem 1.1(ii) and Theorem 1.3(i),(ii)・原文献261-262頁
可算パラコンパクトな逆極限と開結合写像は条件(*)を満たす。条件(*)のもと正規性・パラコンパクト性は可算逆極限へ保存される。
比較の付記
1.1(ii)により本書の仮定から(*)、1.3(i),(ii)により二結論。本書403–404頁の自然数射影列と原論文261頁の正整数添字が一致。正規因子は本書T1規約のもとHausdorffであり、(2)ではT2が明示される。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書403–404頁と原論文261–263頁を原文確認。
留保
自然数添字の逆列の範囲。任意の有向添字系への一般化、1969短報本文との直接照合、本書著者の実際の使用は認定しない。
原文の確認に関する付記
PDF1右261頁、PDF2左262頁・右263頁を閲読。全空間Hausdorff、全写像連続、添字は正整数、結合写像は全射。対応は主張と条件の照合であり証明の独立監査ではない。
原本403頁・§58
系 58.8
指定した範囲の対応を確認
Stone, A. H.，Paracompactness and product spaces（1948）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：見出しに人名の記載なし
非可算個の空でない因子の積が正規なら，可算コンパクトでない因子は可算個に限られる．
原文献の対応箇所
Corollary（Theorem 3の後）・原文献981頁
空でないT₁空間の積が正規であるなら、可算個を除く全ての因子は可算コンパクトである。
比較の付記
本書58.8の空でない因子とT₁規約の下で、原論文Corollaryに仮定・結論が対応する。本書は非可算添字集合の場合を述べる。原論文のCorollaryを本書58.9の位相濃度に基づくコンパクト性の結論まで拡大して割り当てることはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した仮定・結論または構成を照合。証明の独立検証、著者の直接利用、絶対的な初出の認定は未実施。
留保
58.8の主張の対応。58.9・証明の独立検証・著者の直接利用の認定は含めない。
原文の確認に関する付記
本書403頁と原論文981頁の本文を照合。
本書内で併せて確認した所在
27，T₁規約
原本405頁・§58
例 58.12
指定した範囲の対応を確認
Noble, N.，Products with closed projections. II（1971）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Noble
可算順序数全体の空間を可算個掛け合わせた積が，正規性を持つという例．
原文献の対応箇所
Example 2.7、Example 1.7のYをn=ℵ₀に特殊化・原文献175頁
各無限濃度nに対し、順序空間Y=n⁺を使ってYⁿが正規である例を与える。n=ℵ₀ではY=[0,ω₁)である。
比較の付記
原論文170頁は濃度を始数と同一視し、順序位相を入れる規約を置く。172頁Example 1.7のY=n⁺を175頁Example 2.7が使用するので、n=ℵ₀の場合の空間と可算冪の正規性が本書に対応する。本書の非パラコンパクト性の説明まで原論文の明示的主張に含めず、一般濃度のすべての主張も照合対象にしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原文で比較欄に指定した構成・定義・主張の対応を確認。証明の独立検証、歴史的な直接利用・絶対的な初出の認定は未実施。
原文の確認に関する付記
本書405頁と原論文169–170・172・175・183頁を表示確認。Vaughan 1975の469–470頁はNoble 1971のcompactness条件とTheorems 1.4, 4.1の修正を指摘するため、その情報を文献注記に残した。本対応は可算の場合の主張文照合であり、原論文の証明の有効性を独立に監査したものではない。
原文献内で併せて確認した所在
170，濃度と順序位相の規約
172，Example 1.7
原本406頁・§58
問題 58.13
原論文の二設問の直接照合
Przymusiński, T.，A Lindelöf space X such that X² is normal but not paracompact（1973）
本書の主張の要約
第1可算パラコンパクト空間の二乗で，正規性とパラコンパクト性・族正規性が分かれる例を問う．後者はMoore空間の問題と結び付く．
原文献の対応箇所
Problems, 295頁末尾・原文献295頁
(1)paracompact separable first-countable X with X² normal but not paracompact independently of set-theory axioms; (2)paracompact first-countable X with X² normal but not collectionwise normal equivalent to normal nonmetrizable Moore space existence.
比較の付記
本書406頁と原論文295頁末尾Problemsを照合。(1)可分性・第1可算性・パラコンパクト性、二乗の正規非パラコンパクト性、集合論公理を超える仮定なしでの存在を問う条件が一致。(2)可分性を仮定せず、二乗の正規非族正規性と正規非距離化可能Moore空間の存在の同値性を問う条件が一致。291頁先行定理ではseparable normal nonmetrizable Moore spaceを用いるが、これを(2)の可分性のない問いへ流用しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
問題58.13二設問の収録箇所と条件の一致。
留保
原論文のProblemsを照合するもので解答の認定ではない。初出・本書著者使用文献・独立証明監査は未認定。
原文の確認に関する付記
本書406頁および原論文291・294–296頁を原文確認。PDF3右側が295頁、PDF4左側は296頁。
原本407頁・§53
演習 10.G
著者自身の印刷要約による全主張対応
Okuyama, Akihiro，Quotient maps and spaces with compact derived sets（1974）
本書の主張の要約
導集合がコンパクトなHausdorff可算型空間では，Hausdorff値域への商写像がコンパクト被覆になる．
原文献の対応箇所
Zbl 0278.54010, printed author review (Authorreferat), item III・原文献357頁
T₂空間Xが可算型で導集合がコンパクトならX上の任意の商写像はcompact-covering。
比較の付記
項目IIIの仮定と結論が10.Gに対応する。本書は像YもT₂と明記するため、著者要約の任意の商写像という主張の該当場合に含まれる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
演習10.Gの主張とOkuyama1974著者要約の対応。
留保
論文本文・定理番号・証明未取得。著者要約の照合を論文全文の照合と同一視しない。
原文の確認に関する付記
本書407頁とzbMATH印刷レビュー357頁の原文確認。Authorreferat署名を確認。
原本407頁・§58
演習の第一項 10.J(1)
演習第一項の主張対応
Hayashi, Yoshiaki，On Countably Metacompact Spaces（1960）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Ishii
削除したTychonoff板で，可算パラコンパクト性が失敗することを扱う．
原文献の対応箇所
Theorem3, construction and non-countable-paracompactness・原文献163頁
削除板Xは可算メタコンパクトで正則だが可算パラコンパクトではない。
比較の付記
原論文Xの第一・第二因子を交換すると本書Zになる。順序位相と削除角点が対応し、可算パラコンパクトでないという主張が一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
10.J(1)のみ。三項全体の収録先とIshii帰属は未確定。
原文の確認に関する付記
Hayashi原誌161–164頁全4頁と本書407頁を原文閲読。
原本407頁・§56
演習の一部 10.J（Morita空間性のみ）
一般定理への明示的な補足構成による部分対応
Ishii, Tadashi，On Closed Mappings and M-Spaces. I（1967）
本書の主張の要約
削除したTychonoff板が，Morita空間の被覆条件を満たすことを扱う．
原文献の対応箇所
M** definition and Theorem 2.7; condition (*) on p.752・原文献756頁
すべてのM**空間はMoritaのP空間。
比較の付記
C=[0,ω]×[0,ω1)とR_m={m}×[0,ω1]の開被覆を全nで反復。星はC、R_m、C∪R_mのいずれかで可算コンパクト。可算FIP族を星内の要素に制限すると(*)の閉包共通部分が非空となる。よってM**定義を満たしTheorem2.7を適用。具体的構成は今回の補足。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書407頁、原文752・756頁の定義・主張の原文照合と明示的補足還元
留保
10.Jの三項全体、直接の収録先、初出、本書著者の利用を認定しない。補足構成は独立監査未実施。
原文の確認に関する付記
原論文に削除板の記載はない。Morita Pの定義は既存morita-56-1-p-space-definitionで対応済み。
関連する対応
原本407頁・§57
演習 10.J（Σ空間性のみ）
corollary-application
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
可算コンパクトな閉部分空間で可算に覆える空間では，Σ空間の条件を得られる．
原文献の対応箇所
Corollary 3.3・原文献176頁
可算コンパクトな閉部分空間で可算に覆える空間では，Σ空間の条件を得られる．
比較の付記
削除板Zは{n}×[0,ω₁]（n<ω）のコンパクトな閉部分空間と{ω}×[0,ω₁)という可算コンパクトな閉部分空間の可算被覆を持つ。原論文の系3.3をこの被覆へ適用するとΣ空間性が得られる。原論文に削除板がこの系の例として明示されているとは主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文のHausdorff範囲での対応。10.JはΣ空間性の部分だけ。
留保
Ishiiへの帰属、10.Jの非M性・Morita性・非可算パラコンパクト性は未確認。10.L/Mの非Hausdorff範囲は未認定。
原文の確認に関する付記
本書407頁と原論文173・176頁を原文閲読済み。10.Jの序数空間の可算コンパクト性は本書自身のヒントが述べる。
原本407頁・§57
演習 10.L（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Hausdorff空間をΣ空間の可算な閉被覆で覆えるなら，全体もΣ空間になる．
原文献の対応箇所
Theorem 3.2・原文献176頁
Hausdorff空間をΣ空間の可算な閉被覆で覆えるなら，全体もΣ空間になる．
比較の付記
本書の閉被覆列Fiと原論文のclosed covering {Xi}という可算列が対応し、各被覆要素のΣ性と結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文のHausdorff範囲での対応。10.JはΣ空間性の部分だけ。
留保
Ishiiへの帰属、10.Jの非M性・Morita性・非可算パラコンパクト性は未確認。10.L/Mの非Hausdorff範囲は未認定。
原文の確認に関する付記
本書407頁と原論文173・176頁を原文閲読済み。10.Jの序数空間の可算コンパクト性は本書自身のヒントが述べる。
原本407頁・§57
演習 10.M（Hausdorffの範囲）
direct-statement
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
Hausdorff空間の局所有限な閉被覆がΣ空間からなれば，全体もΣ空間になる．
原文献の対応箇所
Corollary 1.10・原文献173頁
Hausdorff空間の局所有限な閉被覆がΣ空間からなれば，全体もΣ空間になる．
比較の付記
本書の局所有限閉被覆と原論文のlocally finite closed coveringが対応し、各要素のΣ性と結論が一致。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
原論文のHausdorff範囲での対応。10.JはΣ空間性の部分だけ。
留保
Ishiiへの帰属、10.Jの非M性・Morita性・非可算パラコンパクト性は未確認。10.L/Mの非Hausdorff範囲は未認定。
原文の確認に関する付記
本書407頁と原論文173・176頁を原文閲読済み。10.Jの序数空間の可算コンパクト性は本書自身のヒントが述べる。
原本408頁・§57
演習 10.P
より強い定理の十分性と定義の橋渡し
Nagata, Jun-iti，A survey of the theory of generalized metric spaces（1972）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Michael
パラコンパクトHausdorffなΣ空間では，点可算ベースの存在が距離化を保証する．
原文献の対応箇所
Definition7 and Theorem15・原文献328頁
族正規Σ空間で点可算ベースをもつことと距離化可能であることは同値。
比較の付記
パラコンパクトHausdorff空間は族正規であるためTheorem15の十分性が演習10.Pを与える。Σ空間の閉集合列による定義と点列の集積点による定義は、有限共通細分と閉じた尾集合を用いる添付の橋渡しで同じ空間のクラスを与える。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書391・408頁と概説328頁を照合。定義の橋渡しを別JSONに記録。
留保
概説はTheorem15をMichael–Slaughter[78]の結果から導く。[78]原論文との直接照合、著者が利用した典拠の特定は未完了。
原文の確認に関する付記
1971は会議年、1972は会議録刊行年。元の被覆列に対する条件をそのまま同一視せず、有限共通細分によってクラスを比較した。
原本408頁・§57
演習 10.Q
原典定義と本書ヒントによる明示的補足
Nagami, Keiô，Σ-spaces（1969）
本書の主張の要約
正則な強Σ空間の各点を，閉GδでLindelöfな部分空間の中に収める．
原文献の対応箇所
§1 Definition1.1, with explicit supplementary finite-layer argument・原文献170頁
強Σネットは局所有限閉被覆列で、各点のC(x)はコンパクト、対応する減少非空閉集合列は共通点を持つ。
比較の付記
固定xについて第i層のxを含まない元の和H_iは閉でxを含まない。正則性からxの開近傍V_iをcl V_(i+1)⊂V_i、cl V_i∩H_i=空となるよう選ぶ。Y=∩V_i=∩cl V_iはxを含む閉Gδ。Yに交わる各層の元はxを含むため局所有限性から有限個だけ。閉部分空間Yへのトレースは強Σネットをなす：減少閉列はXでの定義へ適用でき、C_Y(y)=C_X(y)∩Yはコンパクト。各層を累積有限交差で細分し増大・有限乗法的とする（有限性とネット性を保持）。D_i(y)をyを含む第i層元すべての交差とすると減少し共通部分はコンパクトC_Y(y)。任意の開被覆からC_Y(y)を有限個で覆いその和をOとする。全D_i(y)がOの外に点を持つならK_i=D_i(y)\Oは減少非空閉列で、Σネット条件に反して共通部分が空になる。従ってあるD_i(y)は有限部分被覆で覆われる。有限層の全有限交差の総数は可算なので、そのうち有限部分被覆で覆える各Dに有限部分被覆を一つ選ぶと、それらの可算和がYを覆う。よってYはLindelöf。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
演習10.Qの全数学的主張、原典の強Σ定義と本書ヒントからの補足。
留保
Michael1970原論文は未取得。Michaelへの直接典拠・初出・本書著者の使用文献は未認定。独立証明監査は未実施。
原文の確認に関する付記
Nagami170–171頁原文と本書408頁原文を閲読。定義による補足は作業者の導出であり、原論文に演習そのままがあるとは述べない。
原本408頁・§58
演習 10.R
主張対応（4条件）
Borges, Carlos R.，A study of monotonically normal spaces（1973）
本書の主張の要約
本書に記された帰属：Borges–Masuda–Zenor
単調正規性を，閉集合や点に応じて近傍を単調に選び，交差を制御できる性質で捉える．
原文献の対応箇所
Definition 1.1; Theorem 1.2(a),(c),(d),(b)・原文献211頁
T1空間について単調正規性、閉集合・開集合対応、点・開集合対応、分離された集合に対する単調正規対応を同値条件として述べる。
比較の付記
本書(1),(2),(3),(4)は原論文Theorem1.2(a),(c),(d),(b)に順に対応する。本書409頁のヒントは「互いに素」をA∩cl B=cl A∩B=空と明示し、原論文(b)の分離条件と一致する。本書27頁の第2章以後はT1という約束も原論文の前提に一致する。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書27・408・409頁と原論文211–212頁の原文で前提と4条件を照合。
本書の条件に関する付記
(1)–(4)
原文の確認に関する付記
Masudaの共同帰属の典拠は未確認。原論文の証明を独立検証しておらず、本書の使用原典も未確定。
原本409頁・§58
演習 10.S
主張対応（同相な収束列空間への置換）
Heath, R. W. and Lutzer, D. J. and Zenor, P. L.，Monotonically normal spaces（1973）
本書の主張の要約
収束列の空間との積が単調正規になることから，元の空間の層型性を導く．
原文献の対応箇所
Corollary 4.2(c)⇒(a)・原文献486頁
M0={0}∪{1/n:n∈N}を通常の位相で考えると、X×M0の単調正規性とXのstratifiabilityは同値。
比較の付記
順序位相の[0,ω]はM0と同相であり、nを1/(n+1)、ωを0に送る同相によって本書の積条件と原論文Corollary4.2(c)が一致する。本書はこの同値の(c)⇒(a)方向を演習とする。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書409頁と原論文486頁の原文で主張を照合。
原文の確認に関する付記
原論文の層型空間の定義と本書の用語の対応は既存の層型空間の出典照合に従う。証明全体の独立検証は行っていない。著者がこの論文を直接用いたかは未確定。
原本409頁・§58
演習 10.T
主張対応（原論文の結果と順序空間の性質から導出）
Borges, Carlos J. R.，On stratifiable spaces（1966）
本書の主張の要約
層型性から単調正規性が従う一方，可算順序数の空間は逆向きの含意が成り立たない例になる．
原文献の対応箇所
Introduction (A), footnote 3・原文献2頁
層型空間はperfectly paracompactであり、特にパラコンパクトである。この既知の結果はCederに帰属している。
比較の付記
[0,ω1)は可算コンパクトかつ非コンパクト。可算コンパクトなパラコンパクトHausdorff空間はコンパクトなので、[0,ω1)はパラコンパクトでない。原論文(A)の層型⇒パラコンパクトから非層型性を得る。原論文がこの順序空間を直接例示しているとは主張しない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書409頁と原論文2頁の原文で結論と利用結果を確認。導出の中間段階を別JSONに記録。
原文の確認に関する付記
Borges論文は冒頭(A)をCederの既知結果として紹介する。Borgesによる初出とは認定しない。この導出を本書著者が用いたかは不明。
原本409頁・§58
演習 10.T
主張対応（演習の一部分）
Heath, R. W. and Lutzer, D. J. and Zenor, P. L.，Monotonically normal spaces（1973）
本書の主張の要約
層型性から単調正規性が従う一方，可算順序数の空間は逆向きの含意が成り立たない例になる．
原文献の対応箇所
Theorem 5.3・原文献487頁
任意の線型順序位相空間は単調正規である。
比較の付記
本書の[0,ω1)は順序位相をもつ線型順序空間であるため、原論文Theorem5.3の特殊例に当たる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書409頁と原論文486–487頁の原文で主張を照合。
留保
この記録は演習の単調正規性部分のみ。非層型性は別のBorges1966からの導出記録を参照。
原文の確認に関する付記
演習の非層型性は別記録borges-exercise-10-t-nonstratifiableで導出を記録。証明の独立検証・本書著者の直接使用の確認は行っていない。
原本409頁・§58
演習 10.T
主張対応（演習の一部分）
Heath, R. W. and Lutzer, D. J. and Zenor, P. L.，Monotonically normal spaces（1973）
本書の主張の要約
層型性から単調正規性が従う一方，可算順序数の空間は逆向きの含意が成り立たない例になる．
原文献の対応箇所
Corollary 4.2(a)⇒(b)・原文献486頁
Xがstratifiableなら、任意の距離空間Mとの積X×Mは単調正規。
比較の付記
Mを一点距離空間に取るとX×MはXと同相なので、本書の主張が原論文の系の特殊例となる。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書409頁と原論文486–487頁の原文で主張を照合。
留保
この記録は演習の単調正規性部分のみ。非層型性は別のBorges1966からの導出記録を参照。
原文の確認に関する付記
演習の非層型性は別記録borges-exercise-10-t-nonstratifiableで導出を記録。証明の独立検証・本書著者の直接使用の確認は行っていない。
原本409頁・§58
演習 10.U
reported-theorem-with-explicit-surjective-system-reduction
Nagami, Keiô，Countable paracompactness of inverse limits and products（1972）
本書の主張の要約
完全正規な空間の逆列から得た極限にも，完全正規性が引き継がれる．
原文献の対応箇所
Corollary 1.5 first sentence and following attribution to Cook–Fitzpatrick [2], Theorem 2・原文献264頁
完全正規性はcountably projectiveである。第一の部分はCook–Fitzpatrick[2]定理2による、と明記。
比較の付記
Nagami264頁系1.5の第一文は完全正規性の可算逆極限での保存を述べ、直後にCook–Fitzpatrick[2]定理2への明示帰属がある。261頁の共通前提はHausdorff空間・連続写像・全射結合写像。完全正規T1空間はHausdorff。結合写像の全射性を本書の一般の逆列から取り除く橋渡し：逆極限Xが空なら結論は自明。空でなければ各XiをYi=πi(X)に制限する。完全正規性は任意の部分空間に遺伝するため各Yiも完全正規で、制限結合写像Yi→Yjは全射（Yiの点を実現するXの点のj座標を取り、逆方向にはYjの点を実現するXの点のi座標を取る）。元の逆極限の点は全座標がYiに入り、制限系の整合的な点も元の系の点であるから、両逆極限は同じ集合と部分空間位相を持つ。よって系1.5を制限系に適用できる。Cook–Fitzpatrick原論文自体の仮定を読んだという認定にはしない。
確認範囲・留保・所在の付記を読む
照合した範囲
本書409頁、Nagami261・264頁の原文と、任意の逆列から射影像による全射系への帰着。
留保
Cook–Fitzpatrick1968原文・その原文の定理仮定と証明・初出・本書著者の実使用文献は未確認。後続原論文における主張と明示帰属を根拠とする。独立証明監査ではない。
原文の確認に関する付記
現在261頁導入・逆系前提、264頁系1.5と帰属を再度確認。270頁参考文献[2]は既存全頁閲読記録参照。264頁を参照。