クラークソンの不等式(未完成)

この文書は， $L^p$空間の一様凸性の証明に用いられるクラークソンの不等式を， 三線定理を用いて証明することを目的とする．

1 三線定理とか

この章の話 [6]を大いに参考にした． この章で領域といったら $ℂ$ の連結な開集合のことを指すことにする． まずは基本的な複素関数論をする． 正則関数といったら複素関数論の正則関数とする．

命題 1.

領域 $D$ 上で定義された 正則関数 $f$ について， $|f|$ が $D$ 上で最大値をとるならば， $f$ は定数関数である．

証明.

$|f|$ は点$a\in D$で最大値を達成するとする． この時十分小さい$r>0$ を取り， $B(a,r)\subset D$とする． この時 $B(a,r)$ 上で $f$ のテイラー展開は収束するので， $B(a,r)$ 上で以下のような等式が成り立つ．

$$f(z)=\sum _{i=0}{c}_i{(z-a)}^i.$$

これを用いると，$z$を ($a$を中心とする) 極座標で書いたときに

$${|f(a+r{e}^{i\theta })|}^2=\sum _{n,m}{c}_n{\overline{c}}_m{e}^{i(n-m)\theta }{r}^{n+m}$$

が成り立つ． よって

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{|f(a+r{e}^{i\theta })|}^2𝑑\theta =\sum _i{|c_i|}^2{r}^{2i}$$

である． ここで

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{|f(a+r{e}^{i\theta })|}^2𝑑\theta \le |f(a)|={|c_0|}^2$$

なので

$$\sum _i{|c_i|}^2{r}^{2i}\le {|c_0|}^2$$

である． よって $i\ge 1$ ならば $c_1=0$ である． 故に$f$は局所定数であることがわかり， 正則関数の剛性から $f$ が定数であることがわかる． ∎

上記の最大値原理から以下の系を得る．

系 2.

$D$ を $ℂ$ 内の領域とし， $f$ は $\mathrm{CL}(D)$ 上の定数でない連続関数で， $D$ 上で正則であるとする． このとき $f$ が $\mathrm{CL}(D)$ 上で最大値をとるならば， $\partial D$上で最大値をとる．

次の定理がこの章の目的である三線定理と呼ばれるものである．

定理 3 (三線定理).

$a$, $b$を実数とする． そして $S=\{z\in ℂ\mid a\le \mathrm{Re}z\le b\}$とする． さらに $f$ を $S$ 上の有界な連続関数で， $\mathrm{Int}(S)$上で正則な関数とする． また， $a\le c\le b$ となる $c$ について

とする． このとき

$$M((1-t)a+tb)\le M{(a)}^{1-t}M{(b)}^t$$

が成り立つ．

証明.

適当にアフィン変換することにより， $a=0$, $b=1$としても良い．

まず最初に$M(0)$と$M(1)$が共に正の時に定理を示す． このとき

$$f(z)M{(0)}^{-(1-z)}M{(1)}^{-z}$$

を考えることによって、$M(0)=M(1)=1$としても良い （正の実数$R$に対して$|R^z|=R^{\mathrm{Re}(z)}$なので）．

ここで

$$f_n(z)=f(z)\exp (z(z-1)/n)$$

とする． このとき$z(z-1)=x(x-1)-y^2+i(2xy-1)$ なので

$$|\exp (z(z-1)/n)|\le \exp (x(x-1))\exp (-y^2)\le \exp (-y^2)$$

である． よって $f_n$は $\mathrm{Re}z=0,1$を満たす$z$について$|f_n(z)|\le 1$を満たす． さらに

$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{|\mathrm{Im}z|=R}{sup}|f_n(z)|=0$$

が成り立つ． よって， $|f_n(z)|$ は $S$ 上で最大値を持つ． 最大値原理より，それは境界上で最大値をとるので， 任意の $z\in S$ について $|f_n(z)|\le 1$ である． ここで， 点$z$を固定するごとに $f_n(z)\to f(z)(n\to \mathrm{\infty })$が成り立つので， 任意の$z\in S$について$|f(z)|\le 1$である． これが求める不等式である．

次に $M(0)\times M(1)=0$ の時を考察しよう． 数 $\epsilon >0$ を十分小さくとると (具体的には，$M(1)$,$M(0)$がともにはゼロでない時には と取れば良い．両方ともゼロなら特に制限はない．)， $f+\epsilon$について $M(0)$ と $M(1)$ が正になる． そして$\epsilon \to 0$とすれば求める不等式が出てくる． ∎

測度空間 $(X,\mu )$ について， $L^0(X,\mu )$ で $(X,\mu )$ 上の可測関数を表す．

定理 4 (Riesz–Thorinの定理).

$(X,𝒜,\mu )$と$(Y,ℬ,\nu )$ を測度空間とする。 そして $p_0,q_0,p_1,q_1\in [1,\mathrm{\infty }]$で $\theta \in [0,1]$とする。 この時

$$\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1}$$

と

$$\frac{1}{q}=\frac{1-\theta }{q_0}+\frac{\theta }{q_1}$$

が成り立つ とする． このとき線形写像

$$T:L^0(X,\mu )\to L^0(Y,\nu )$$

と $(X,𝒜,\mu )$ の単関数 $f$ と $(Y,ℬ,\nu )$ の単関数 $g$ について，

$$\left|{\int }_{Y}gTf𝑑\nu \right|\le {\Vert T\Vert }_{p_0,q_0}^{1-\theta }{\Vert T\Vert }_{p_1.q_1}^{\theta }{\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_r$$

が成り立つ． ここで$r$は$q$の共役指数である．

証明.

まず ${\Vert f\Vert }_p={\Vert g\Vert }_r=1$ としても一般性を失わない． そして

$$f(x)=\sum _{j=1}^n{a}_j{\chi }_{A_i}(x)$$

とおく． ここで， 各$j$について $a_j\in ℂ$ で 族$\{A_j\}$ は互いに交わらない可測集合とする． 同様に

$$g(y)=\sum _{l=1}^m{b}_l{\chi }_{B_l}(y)$$

とおく． ここで， 各 $l$について $b_l\in ℂ$で， 族$\{B_l\}$は互いに交わらない可測集合とする． この状況において

$${\Vert f\Vert }_p^p=\sum _{j=1}^n{|a_j|}^p\mu (A_j)=1$$

と

$${\Vert g\Vert }_r^r=\sum _{l=1}^m{|b_l|}^r\nu (B_l)=1$$

に注意せよ． ここで関数$p$を

$$\frac{1}{p(z)}=\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}$$

と定義する。 さらに $r_0$, $r_1$を$q_0$, $q_1$の共役指数として 関数$r$を

$$\frac{1}{r(z)}=\frac{1-z}{r_0}+\frac{z}{r_1}$$

と定義する． そして$f_z$と $g_z$を以下のように定義する．

$$f_z(x)={|f(x)|}^{\frac{p}{p(z)}}\frac{f(x)}{|f(x)|}$$

$$g_z(y)={|g(x)|}^{\frac{r}{r(z)}}\frac{g(x)}{|g(x)|}.$$

すると，

$$f_z(x)=\sum _{j=1}^n{|a_j|}^{\frac{p}{p(z)}}\frac{a_j}{|a_j|}{\chi }_{A_j}(x)$$

及び

$$g_z(y)=\sum _{j=l1}^m{|b_l|}^{\frac{r}{r(z)}}\frac{b_l}{|b_l|}{\chi }_{B_l}(y)$$

と表すことができる． そして

$$I(z)={\int }_Y{g}_{z}T{f}_z𝑑\nu$$

と定義する． すると

$$I(z)=\sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^m{|a_j|}^{\frac{p}{p(z)}}\frac{a_j}{|a_j|}{|b_l|}^{\frac{r}{r(z)}}\frac{b_l}{|b_l|}$$

が成り立つ． もちろんこれは $\{z\in \mathbb{Z}\mid 0\le \mathrm{Re}z\le 1\}$ 上で有界かつ連続で，その内部で正則関数である． $c\in [0,1]$に対して

$$M(c)=\underset{y\in ℝ}{sup}|I(c+iy)|$$

と定義すれば，三線定理から

$$M(c)\le M{(0)}^{1-c}M{(1)}^c$$

である． $M(0)$と$M(1)$の評価をしていこう． 任意の$y\in ℝ$に対して

$$|I(iy)|=\left|{\int }_Y{g}_{iy}T{f}_{iy}𝑑\nu \right|\le {\Vert T{f}_{iy}\Vert }_{q_0}{\Vert g\Vert }_{r_0}\le {\Vert T\Vert }_{p_0,q_0}{\Vert f_{iy}\Vert }_{p_0}{\Vert g_{iy}\Vert }_{r_0}$$

を得る． ここで

$${\Vert f_{iy}\Vert }_{p_0}^{p_0}=\sum _{j=1}^n{\left|{|a_j|}^{\frac{p}{p(iy)}}\right|}^{p_0}\mu (A_j)=\sum _{j=1}^n{|a_j|}^{\frac{p}{p(iy)}{p}_0}\mu (A_j)=1$$

$${\Vert g_{iy}\Vert }_{r_0}^{r_0}=\sum _{l=1}^m{\left|{|b_l|}^{\frac{r}{r(iy)}}\right|}^{r_0}\nu (B_l)=\sum _{l=1}^n{|b_l|}^{\frac{r}{r(iy)}{r}_0}\nu (B_l)=1$$

であるから，

$$M(0)\le {\Vert T\Vert }_{p_0,q_0}$$

を得る． 同様にして．

$$M(1)\le {\Vert T\Vert }_{p_1,q_1}$$

を得る． よって

$$\left|{\int }_{Y}gTf𝑑\nu \right|\le {\Vert T\Vert }_{p_0,q_0}^{1-\theta }{\Vert T\Vert }_{p_1.q_1}^{\theta }$$

を得る． $p_0=q_0=\mathrm{\infty }$などの場合は、$f_z=f$と定義すれば良い． ∎

これの系として以下の定理がある。

定理 5 (Riesz–Thorin).

$(X,𝒜,\mu )$と$(Y,ℬ,\nu )$を測度空間とする。 そして$p_0,q_0,p_1,q_1\in [1,\mathrm{\infty }]$で $\theta \in [0,1]$とする。 この時

$$\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1}$$

$$\frac{1}{q}=\frac{1-\theta }{q_0}+\frac{\theta }{q_1}$$

とする。 このとき線形写像

$$T:L^0(X,\mu )\to L^0(Y,\nu )$$

について

$${\Vert T\Vert }_{p,q}\le {\Vert T\Vert }_{p_0,q_0}^{1-\theta }{\Vert T\Vert }_{p_1.q_1}^{\theta }$$

が成り立つ。

2 クラークソンの不等式と一様凸性

定理 6 (Clarkson’s inequality).

$p\in (1,2]$で $1/p+1/q=1$とする。このとき 任意の$x,y\in ℂ$に対して

$${({|x+y|}^q+{|x-y|}^q)}^{\frac{1}{q}}\le 2^{\frac{1}{q}}{({|x|}^p+{|y|}^p)}^{\frac{1}{p}}$$

が成り立つ．

$2$次正方行列 $A$を

証明.

と定義する． すると

$${\Vert A(x,y)\Vert }_2^2={|x+y|}^2+{|x-y|}^2=2({|x|}^2+{|y|}^2)=2{\Vert (x,y)\Vert }_2^2$$

なので

$${\Vert A\Vert }_{2,2}=2^{1/2}$$

であり，また

$${\Vert A(x,y)\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le |x|+|y|={\Vert (x,y)\Vert }_1$$

であり，

$${\Vert A(1,0)\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert (1,0)\Vert$$

なので

$${\Vert A\Vert }_{\mathrm{\infty },1}=1$$

である． ここで，$p\in (1,2]$より，

$$\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{2}+\frac{\theta }{1}$$

となる$\theta$が存在する． よって

$$\frac{1}{q}=\frac{1-\theta }{2}+\frac{\theta }{\mathrm{\infty }}$$

である． よって，

$${\Vert A\Vert }_{q,p}\le {(2^{1/2})}^{1-\theta }{1}^{\theta }=2^{(1-\theta )/2}=2^{1/q}$$

となる． これは求める不等式と同値である． ∎

3 以下未完成

命題 7.

$a,b$を非負の実数とする．このとき ${(a^p+b^p)}^{\frac{1}{p}}\le 2^{\frac{2-p}{p}}{(a^q+b^q)}^{\frac{1}{q}}$

が成り立つ．

証明.

ヘルダーの不等式から従う。 ∎

命題 8 (逆ミンコフスキーの不等式).

$k\in (0,1)$とする。このとき $f,g\in L^k(X)$に対して

$${\left({\int }_X{|f+g|}^k𝑑\mu \right)}^{\frac{1}{k}}>{\left({\int }_X{|f|}^k𝑑\mu \right)}^{\frac{1}{k}}+{\left({\int }_X{|g|}^k𝑑\mu \right)}^{\frac{1}{k}}$$

が成り立つ．

定理 9 (Clarkson’s inequality).

$p\in (1,2]$で $1/p+1/q=1$とする。このとき$f,g\in L^p$に対して

$${({\Vert f+g\Vert }_p^q+{\Vert f-g\Vert }_p^q)}^{\frac{1}{q}}\le 2^{\frac{1}{q}}{({\Vert f\Vert }_p^p+{\Vert g\Vert }_p^p)}^{\frac{1}{p}}$$

が成り立つ．

証明.

に注意しよう。

$${\Vert f+g\Vert }_p^q+{\Vert f-g\Vert }_p^q={\left({\int }_X{({|f+g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}+{\left({\int }_X{({|f-g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{p}{q}}$$

よって

$${\left({\int }_X{({|f+g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}+{\left({\int }_X{({|f-g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{p}{q}}\le {\left({\int }_X{({|f+g|}^q+{|f-g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}$$

である。 ここで、

$${({|f+g|}^q+{|f-g|}^q)}^{\frac{p}{q}}\le 2^{\frac{p}{q}}({|f|}^p+{|g|}^p)$$

なので

$${\left({\int }_X{({|f+g|}^q+{|f-g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}\le 2^{\frac{p}{q}}{\int }_X{|f|}^p𝑑\mu +{\int }_X{|g|}^p𝑑\mu =2^{\frac{p}{q}}({\Vert f\Vert }_p^p+{\Vert g\Vert }_p^p)$$

よって最初に挙げた不等式は成り立つ。 ∎

定理 10.

$2\le p$で $1/p+1/q=1$とする。このとき$f,g\in L^p$に対して

$${({\Vert f+g\Vert }_p^p+{\Vert f-g\Vert }_p^p)}^{\frac{1}{p}}\le 2^{\frac{1}{p}}{({\Vert f\Vert }_p^q+{\Vert g\Vert }_p^q)}^{\frac{1}{q}}$$

が成り立つ．

証明.

に注意しよう。

$${\Vert f+g\Vert }_p^p+{\Vert f-g\Vert }_p^p={\int }_X{|f+g|}^p𝑑\mu +{\int }_X{|f-g|}^p𝑑\mu ={\int }_X({|f+g|}^p+{|f-g|}^p)𝑑\mu$$

ここで

$${|f+g|}^p+{|f-g|}^p\le 2{({|f|}^q+{|g|}^q)}^{\frac{p}{q}}$$

なので

$${\int }_X({|f+g|}^p+{|f-g|}^p)𝑑\mu \le 2{\int }_X{({|f|}^q+{|g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu$$

ミンコフスキーに不等式から

$${\left({\int }_X{({|f|}^q+{|g|}^q)}^{\frac{p}{q}}𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}\le {\left({\int }_X{|f|}^p𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}+{\left({\int }_X{|g|}^p𝑑\mu \right)}^{\frac{q}{p}}={\Vert f\Vert }_p^q+{\Vert g\Vert }_p^q$$

よって

$${\Vert f+g\Vert }_p^p+{\Vert f-g\Vert }_p^p\le 2{({\Vert f\Vert }_p^q+{\Vert g\Vert }_p^q)}^{\frac{p}{q}}$$

を得る。これは先に挙げた不等式に等しい。 ∎

系 11.

$L_p$は一様凸である。

4 追記

1936年に クラークソン [2] はクラークソンの不等式を用いて $L^p$空間や ${\mathrm{\ell }}^p$の一様凸性を証明した．

1940年にBoas [1] は“線形写像のリースの凸性定理” を用いてクラークソンの定理を証明しているが， 多分これは今ふうにいうとリースソリンのことだと思う．

1956年に Henner [3] はクラークソンの不等式の拡張を， なんか頑張って不等式評価して証明している．

1959年に Morawetz [4] は $L^p$空間の一様凸性の証明に使うことのできる 新しい不等式を証明している．

1976年に Ramaswamy [5] は実数に関するクラークソンの不等式を用いるのではなく， ラーデマッヒャー関数を用いて積分のクラークソンの不等式を 直接証明している．