論文メモ
— Noble? —

ナンブ　キトラ

HTML変換日：2026年7月26日

本棚を整理したいので，溜まっている論文のメモを書いて未来への手紙とすることにする．

以下の論文は，位相空間 $X$ について直積 $X^{\mathfrak{m}}$ が任意の基数 $\mathfrak{m}$ について正規ハウスドルフならば $X$ はコンパクトハウスドルフというNoble の定理から発展した論文を集めた論文の束だと思う．このNobleの定理については電波通信でも紹介している (https://concious4410.hatenablog.com/entry/2016/07/06/223459)．証明の方針としては， $X$ が一点ならば話は簡単なので $X$ は2点以上含んでいるとしても良い．まずStoneの定理というのがあり，これはコンパクトでない距離空間 $Z$ と非可算濃度 $\mathfrak{m}$ については $Z^{\mathfrak{m}}$ は正規ではないという定理である．ちなみにこの定理を使うと完全正則だが正規でない例がたくさん作れる．このことから，もしも位相空間 $X$ について $X^{\mathfrak{m}}$ が任意の基数 $\mathfrak{m}$ について正規ならば $X$ が可算コンパクトであることがわかる．これは背理法によって示される． $X$ に閉集合であるような可算離散空間 $D$ が存在すると $D^{\mathfrak{m}}$ は正規空間 $X$ の閉部分空間なので正規でなければならないが，これはStoneの定理に矛盾というわけである．また森田の定理というのがありそれは $X\times\{0,1\}^{\mathfrak{m}}$ が正規ならば $X$ は $\mathfrak{m}$ -パラコンパクトというものである．空間 $X$ が2点以上で $X^{\mathfrak{m}}$ がいつも正規ならばこの条件を満たすので $X$ は任意の $\mathfrak{m}$ について $\mathfrak{m}$ -パラコンパクトである．つまりパラコンパクトである．さてパラコンパクトな可算コンパクト空間はコンパクトなので $X$ はコンパクトハウスドルフである．

まあそれはさておき Nobleの定理の簡単な証明に関するものは [2], [4], [7], [12] である．

論文 [11] はNoble自身による論文でStoneの定理に関するものである．これは上の Nobleの定理の萌芽だと思う．

Nobleの原論文は [9] と [10] である．論文? [3] も参照のこと．

Noble の定理に関連する概念として $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]$ -compactness がある．これは別にNobleの定理以前からあるやつだと思う．またこの概念は M. E. RudinによるDowker spaceの構成にも関係ある．これに関連する論文は以下の通りである． [14], [8], [1], [6], [13], [5].

References

[1] G. H. Butcher and J. E. Joseph (1976) Characterizations of a generalized notion of compactness. Journal of the Australian Mathematical Society 22 (3), pp. 380–382. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[2] R. Engelking (1988) An elementary proof of noble’s theorem on normality of powers. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 29 (4), pp. 677–678. Note: http://dml.cz/dmlcz/106683 Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[3] I. Fleischer and S. P. Franklin (1967-01) On compactness and projections. External Links: Link, Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[4] S. Franklin and R. Walker (1972) Normality of powers implies compactness. Proceedings of the American Mathematical Society 36 (1), pp. 295–296. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[5] I. Gál (1958) On the theory of $(m,n)$ -compact topological spaces.. Pacific J. Math. (4), pp. 721–734. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[6] R.E. Hodel and J.E. Vaughan (1974) A note on [a, b]-compactness. General Topology and its Applications 4 (2), pp. 179–189. External Links: ISSN 0016-660X, Document, Link Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[7] J. Keesling (1972) Normality and infinite product spaces. Advances in Math. 9, pp. 90–92. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[8] P. Lipparini (2006) Compact factors in finally compact products of topological spaces. Topology and its Applications 153 (9), pp. 1365–1382. External Links: ISSN 0166-8641, Document, Link Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[9] N. Noble (1969) Products with closed projections. Trans. Amer. Math. Soc. 140, pp. 381–391. External Links: ISSN 0002-9947,1088-6850, Document, Link, MathReview (W. W. Comfort) Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[10] N. Noble (1971) Products with closed projections. II. Trans. Amer. Math. Soc. 160, pp. 169–183. External Links: ISSN 0002-9947,1088-6850, Document, Link, MathReview (W. W. Comfort) Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[11] N. Noble (1967) A generalization of a theorem of ah stone. Archiv der Mathematik 18, pp. 394–395. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[12] L. Polkowski (1979) On N. Noble’s theorems concerning powers of spaces and mappings. Colloq. Math. 2 (41), pp. 215–217. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[13] Y. SHIRAYAMA (2007) A note on $[a,b]^{r}$ -compactness and $[a,b]^{r}$ -refinability. Scientiae Mathematicae Japonicae 65 (3), pp. 431–438. External Links: Document Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.
[14] J. Vaughan (1975) Some properties related to [a,b]-compactness. Fund. Math. 87 (3), pp. 251–260 (eng). Note: http://eudml.org/doc/214803 Cited by: 論文メモ — Noble? —, 論文メモ — Noble? —.

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