Brown-Morse-Sardの定理について

1 準備

定義 1 (測度零).

${ℝ}^n$の部分集合$S$が測度零であるとは、任意の$\epsilon$に対して$n$次元区間の列$\{I_i\}$が存在して、$S\subset {\bigcup }_i{I}_i$と

を充たすときに言う。これは$S$のルベーグ測度が$0$であることと同値である。

定義 2 (臨界点とか).

$U$は${ℝ}^m$の開集合とする。そして 写像$f:U\to {ℝ}^n$は$C^1$級とする。 このとき各点$p\in U$に対して$f$のヤコビ行列$Jf(p)$が$m\times n$型行列として定義される。 関数$f$の臨界点とは$Jf(p)$の階数が$n$より真に小さくなる点$p$のことを言う。$C_f$を$f$の臨界点全体の集合とする。また、$f(C_f)$に属する点を臨界値と言う。

$B_{\delta }^n(p)$で中心を$p$とする半径$\delta$の${ℝ}^n$における開球を表すことにし、$p=0$のときは単に$B_{\delta }^n$と書くことにする。

2 Morseの補題

補題 3.

$U$は${ℝ}^m$の開集合とする。 そして 実数値関数$f:U\to ℝ$は$C^1$級とし、 $C^1$級写像$\varphi :B_{\delta }^n(p)\to {ℝ}^m$ は$\varphi (B_{\delta }^n(p))\subset U$ を充たすもので、 $b:(0,R)\to [0,\mathrm{\infty })$は単調増加関数とする。 さて固定された$y\in B_{\delta }^n(p)$が任意の$x\in B_{\delta }^n(p)$について 充たすとき常に

$$\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi (x))\right|\le b(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^{k-1}$$

を充たすならば、 $f$には依存しない$K>0$が存在して任意の$x\in B_{\delta }^n(p)$に対して

$$|f(\varphi (x))-f(\varphi (y))|\le Kb(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

が成り立つ。

証明.

$F(t)=f(\varphi (y+t(x-y)))$とすると$F(1)=f(\varphi (x))$かつ$F(0)=f(\varphi (y))$が成り立つ。さて$t\in (0,1)$が存在して

$$F(1)-F(0)=F^{(1)}(t)$$

を充たす。また

$$F^{(1)}(t)=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi (y+t(x-y)))\frac{\partial {\varphi }^i}{\partial x_j}(y+t(x-y))(x_j-y_j)$$

であるので

$$|F^{(1)}(t)|\le L\parallel x-y\parallel \left(\sum _{i=1}^m\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi (y+t(x-y)))\right|\right)$$

となる。 さて仮定から

$$\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi (y+t(x-y)))\right|\le b(\parallel y+t(x-y)-y\parallel ){\parallel y+t(x-y)-y\parallel }^{k-1}$$

が成り立ち、$t\in (0,1)$なので

$$\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi (y+t(x-y)))\right|\le b(\parallel x-y\parallel ){\parallel x-y\parallel }^{k-1}$$

となる。 よって$K=mL$と置けば

$$|f(\varphi (x))-f(\varphi (y))|\le Kb(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

となることがわかる。 ∎

定義 4 ($C^k$級球形分解).

$A$は${ℝ}^m$の部分集合、$P$は${ℝ}^m$の開集合とし、$A\subset P$を充すとする。 $A\subset {ℝ}^m$と$k\ge 0$に対して集合$X\subset {ℝ}^m$と${ℝ}^m$の部分集合族$𝒴\subset 2^{{ℝ}^m}$と 写像の族$\mathrm{\Phi }={\{{\varphi }_Y:B_Y\to {ℝ}^m\}}_{Y\in 𝒴}$の三つ組$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$が$(A,P)$の$C^k$級球形分解であるとは以下を充たすこととする。

1. $X$は可算集合

2. $𝒴$は可算族で、任意の$Y\in 𝒴$は$Y\subset P$を充たす。

3. ${\varphi }_Y$の定義域$B_Y$は$n_Y$次元ユークリッド空間の$0$を中心とした半径${\delta }_Y$の開球である。

4. $A\subset X\cup {\bigcup }_{Y\in 𝒴}Y$

5. ${\varphi }_Y$は$B_Y$から${ℝ}^m$の中への$C^1$級の同相写像で$Y\subset {\varphi }_Y(B_Y)$を充たす。

6. $\forall x,y\in B_Y\Vert x-y\Vert \le \Vert {\varphi }_Y(x)-{\varphi }_Y(y)\Vert$

7. $P$上で定義され、 $A$上で$0$となる$C^k$級の任意の実数値関数$f$に対して、 実数$R_{Y,f}>0$と、 $(0,R_{Y,f})$を定義域とする単調増加関数$b_{Y,f}$が存在して ${lim}_{\epsilon \to 0}{b}_{Y,f}(\epsilon )=0$を充たし、 かつ、 すべての$x\in B_Y$と${\varphi }_Y(y)\in Y$を充たす$y\in B_Y$に対して、 ならば

   $$|f({\varphi }_Y(x))|\le b_{Y,f}(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

   が成り立つ。

また、組$(A,P)$に$C^k$級球形分解が存在するときに、$(A,P)$は$C^k$級球形分解可能であるという。

注意.

$b_{Y,f}$は連続でなくともよい。

いまから任意の$m$と任意の$k$及び $A\subset P$を充たす任意の$A\subset {ℝ}^m$と 任意の${ℝ}^m$の開集合$P$ について、 任意の$(A,P)$は$C^k$級モース球形分解可能であることを示す。

補題 5.

${\{A_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$を${ℝ}^m$の部分集合族とし、$\{P_i\}$を${ℝ}^m$の開集合族とする。 このとき各$(A_i,P_i)$が$C^k$級球形分解可能ならば、 $({\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{A}_i,{\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{P}_i)$もそうである。

証明.

$A_i$の$C^k$級球形分解を$(X_i,{𝒴}_i,{\mathrm{\Phi }}_i)$とする。このとき

$$(\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{X}_i,\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{𝒴}_i,\bigcup _{i\in \mathbb{N}}\mathrm{\Phi })$$

が$({\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{A}_i,{\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{P}_i)$の$C^k$級球形分解になっている。このことは簡単に確かめられる。 ∎

補題 6.

$F:D\to {ℝ}^m$はユークリッド空間の開集合$D$上で定義された$C^k$級写像で

$$\Vert x-y\Vert \le \Vert F(x)-F(y)\Vert$$

を充たすとする。このとき、$A\subset {ℝ}^m$について $(F^{-1}(A),F^{-1}(P))$が$C^k$級球形分解$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$を持つならば、 $(F(X),F_{\ast }(𝒴),F\circ \mathrm{\Phi })$は$(A,P)$の$C^k$級球形分解になっている。ここで、

$F_{\ast }(𝒴)=\{F(Y)\mid Y\in 𝒴\}$

$F\circ \mathrm{\Phi }=\{F\circ {\varphi }_Y\mid Y\in 𝒴\}$

である。

証明.

一番最後の条件以外は容易に確かめられる。 その最後の条件を調べよう。 いま$f$は$P$上の$C^k$級関数で$A$上で$0$になっているとする。 このとき、$f\circ F$は$F^{-1}(A)$上で$0$になっている。 よって ${lim}_{\epsilon \to 0}{b}_{Y,f\circ F}(\epsilon )=0$となる単調関数$b_{Y,f\circ F}$が存在してすべての$x\in B_Y$と${\varphi }_Y(y)\in Y$を充たす$y\in B_Y$に対して

$$|f\circ F({\varphi }_Y(x))|\le b_{Y,f\circ F}(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

が成り立つ。これを書き直すと、すべての$x\in B_Y$と$F\circ {\varphi }_Y(y)\in F(Y)$を充たす$y\in B_Y$に対して

$$|f(F\circ {\varphi }_Y(x))|\le b_{Y,f\circ F}(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

が成り立つことがわかるので、$b_{F(Y),f}=b_{Y,f\circ F}$とすれば、$(F(X),F_{\ast }(𝒴),F\circ \mathrm{\Phi })$は最後の条件を充たし、これが$(A,P)$の$C^k$級球形分解であることがわかる。 ∎

補題 7.

任意の$m$について任意の$(A,P)$の$C^0$級モース球形分解が存在する。

証明.

ユークリッド空間の局所コンパクト性から直ちに補題は従う。 ∎

補題 8.

任意の$k$について任意の$A\subset ℝ$の$C^k$級モース球形分解が存在する。

証明.

集合$X$を$A$の孤立点全体とすると$X$はその相対位相において可分距離空間であり、また、離散空間でもあるので、$X$は可算集合である。そして$𝒴\subset 2^{ℝ}$を、相対コンパクトな開区間の可算族で、$A\setminus X$を被覆し、その閉包が$P$の部分集合になっているものとする。$A\setminus X$はリンデレフで、$P$は開集合なのでこのような集合族は存在する。次に各$Y\in 𝒴$について${\varphi }_Y$を平行移動

$${\varphi }_Y:(-\mathrm{diam}(Y)/2,\mathrm{diam}(Y)/2)\to Y$$

として定義する。このような平行移動${\varphi }_Y$は$Y$について一意的に決まることと、平行移動なので、

$$|{\varphi }_Y(x)-{\varphi }_Y(y)|=|x-y|$$

となることに注意せよ。$\mathrm{diam}(Y)$は$Y$の直径である。 このように定義された$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$は分解の条件を充たすことがわかる。一番最後の条件を示そう。 $f$を$A$上で$0$となる関数とする。このとき $A\setminus X$の点はすべて$A$の集積点なので、 任意の$x\in A\setminus X$について

$$f^{(1)}(x)=f^{(2)}(x)=\mathrm{\cdots }=f^{(k)}(x)=0$$

となることが帰納的に分かる。 さて$x,y\in A$と$f$にテイラーの定理を使うと

$$f(y)=f^{(k)}(\xi ){(y-x)}^k+f(x)$$

となる$\xi$が$x$と$y$の間に存在することがわかる。そして$Y\in 𝒴$に対して、$R_{Y,f}$を

$$R_{Y,f}=sup\{r>0\mid B(A\cap Y,r)\subset P\}$$

と定義し、$b_{Y,f}:(0,R_{Y,f})$を

(1) $b_{Y,f}(\epsilon )=sup\{|f^{(k)}(x)|\mid x\in B(A\cap Y,\epsilon )\}$

と定義する。$\text{CL}(Y)\subset P$に注意して、 $f^{(k)}$がコンパクト集合上で一様連続であることを用いると

$$b_{Y,f}(\epsilon )\to 0(\epsilon \to 0)$$

がわかる。 そして(1)から$x,y\in Y$について

$$|f(x)-f(y)|\le b_{Y,f}(|x-y|){|x-y|}^k$$

となることがわかる。このことと、$|{\varphi }_Y(x)-{\varphi }_Y(y)|=|x-y|$から、$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$が$(A,P)$の$C^k$級球形分解であることがわかる。 ∎

補題 9.

任意に$m$を与え、$A\subset {ℝ}^m$で、$P$は${ℝ}^m$の開集合で、$A\subset P$する。 このとき$k$について任意の組$(A,P)$の$C^k$級モース球形分解が存在する。

証明.

いまから$m+k$に関する帰納法で証明を行う。 $m+k=1$の時は上の補題である。また、$m>1$、$k>0$として証明しても一般性を失わない。 いまとなる組$(l,q)$に対しては任意の部分集合$B\subset {ℝ}^l$と$B\subset Q$となる組$(B,Q)$の$C^q$級モース球形分解が存在するしよう。

$A\subset {ℝ}^m$を任意に与える。そして

$$\mathrm{\Theta }=\{u\in C^k\mid u|A=0\}$$

$$S=\{x\in A\mid \forall u\in \mathrm{\Theta }\forall i\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}{\partial }_{i}u(x)=0\}$$

$$T=A\setminus S$$

と定義しておく。 帰納法の仮定から$(S,P)$に$C^{k-1}$級モース球形分解$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$が存在する。 これが$C^k$級球形分解にもなっていることを示そう。 この$b$の条件をを各${\partial }_{j}f$に適応すると、各$i\in \mathbb{N}$ごとに${lim}_{\epsilon \to 0}{b}_{ij}(\epsilon )=0$となる単調関数$b_{ij}$が存在して各$j\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}$に対してすべての$x\in B_{{\epsilon }_i}^{n_i}$と${\varphi }_i(y)\in E_i$を充たす$y\in B_{{\epsilon }_i}^{n_i}$に対して

$$|{\partial }_{j}f({\varphi }_i(x))|\le b_{ij}(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^{k-1}$$

となる。ここで

$$b_i(\epsilon )=\underset{j\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}}{\max }{b}_{ij}(\epsilon )$$

とすれば すべての$x\in B_{{\epsilon }_i}^{n_i}$と${\varphi }_i(y)\in E_i$を充たす$y\in B_{{\epsilon }_i}^{n_i}$ および任意の$j\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}$に対して

$$|{\partial }_{j}f({\varphi }_i(x))|\le b_i(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^{k-1}$$

が成り立つ。 そして補題3から${\varphi }_i$について${\varphi }_i(y)\in A_v^1$ならば

$$|f({\varphi }_i(x))|\le b_i(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

が成り立つ。つまり、$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$は$S$の$C^k$級モース球形分解になっている。

次に$T$について考察しよう。 任意の$p\in T$についてある関数$g$で${g|}_A=0$で${\partial }_{i}g(p)\ne 0$であるようなものが存在する。 適当に番号を入れ替えて${\partial }_{m}g(p)\ne 0$としてよい。 このとき陰関数定理から$p$の近傍$N_p$と $C^k$級写像$h_p:B_{{\delta }_p}^{m-1}\to ℝ$が存在して$N_p$の点$(x_1,x_2,\mathrm{\dots }{x}_n)$で

$$g(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)=0$$

を充たすものは$x_n=h_p(x_1,x_2,\mathrm{\dots }{x}_{n-1})$と書ける。 さらに

$$N_p\subset P$$

と仮定しても良い。 ここで

$$H_p:B_{\delta }^{m-1}\to {ℝ}^m;(x_1,x_2,\mathrm{\dots }{x}_n)\mapsto (x_1,x_2,\mathrm{\dots },h_p(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_{n-1}))$$

を考えると、これは$C^k$級で各$x,y\in B_{\delta }^{m-1}$について

$$\Vert x-y\Vert \le \Vert H_p(x)-H_p(y)\Vert$$

であり、

$$N_p\cap A\subset H_p(B_{\delta }^{m-1})$$

を充たす。 さて、もちろん$p\in N_p$なので

$$T\subset \bigcup _{p\in T}{N}_p$$

であり、$T$はリンデレフなので可算個の点${\{p_v\}}_{v\in \mathbb{N}}$が存在して

$$T\subset \bigcup _{v\in \mathbb{N}}{N}_{p_v}$$

となる。表記を簡潔にするために$N_v=N_{p_v}$、$h_v=h_{p_v}$、$H_v=H_{p_v}$、${\delta }_v={\delta }_{p_v}$と書くことにする。 このとき各$v\in \mathbb{N}$について

$$N_v\cap A\subset H_v(B_{\delta }^{m-1})$$

が成り立つことに注意しよう。

ここで帰納法の仮定から$m-1$と$k$に対す る定理から$(H_v^{-1}(N_v\cap A),H_v^{-1}(P))$は$C^k$級球形分解$(Z_v,{𝒲}_v,{\mathrm{\Psi }}_v)$が存在する。補題6から、$(H_v(Z_v),{(Z_v)}_{\ast }({𝒲}_v),H_v\circ {\mathrm{\Psi }}_v)$は$(N_v\cap A,P)$の$C^k$級球形分解になっている。 さらに補題5から$({\bigcup }_v(N_v\cap A),P)$は$C^k$級球形分解可能であり、さらに$T\subset {\bigcup }_v(N_v\cap A)$なので$T$も$C^k$級球形分解可能である。

以上のことから$S$と$T$に$C^k$級球形分解が存在し、$A=S\cup T$なので補題5から $(A,P)$にも$C^k$級球形分解が存在する。 ∎

補題 10 (Morseの補題).

$k\in \mathbb{N}$とし$A$は${ℝ}^m$の部分集合で$P\subset {ℝ}^m$は開集合とし、$A\subset P$とする。このとき${\{A_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$が存在して次を充たす。

1. $A\subset {\bigcup }_i{A}_i\subset P$

2. $A_0$は高々可算集合。

3. $A\subset C_f$となる任意の$f\in C^k(P)$に対して非増加関数の列${\{b_i:(0,R_{i,f})\to ℝ\}}_{i\in \mathbb{N}}$が存在して$b_i\to 0$及び 任意の$x,y\in A_i(i\ge 1)$について

   $$|f(x)-f(y)|\le b_i(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

   が成り立つ。

この補題で述べられる${\{A_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$を$(A,P)$の$C^k$級モース分解と呼ぶことにする。

証明.

$(X,𝒴,\mathrm{\Phi })$を先の補題から得られる$(A,P)$の$C_k$級球形分割であるとする。 $A_0=X$として、$𝒴$を適当に番号付して、$𝒴={\{A_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$とし、またこの番号付に応じて、${\varphi }_{A_i}={\varphi }_i$、$B_{A_i}=B_i$と書くことにする。 条件の$(1)$、$(2)$はすぐにわかる。$(3)$を確かめよう。

各$r\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}$に対して${\partial }_{r}f|A=0$なので、球形分解の定義の$(7)$から、各$i\in \mathbb{N}$に対して$b_{i,r}:(0,R_{i,r})\to ℝ$が存在し、 ${lim}_{\epsilon \to 0}{b}_{i,r}(\epsilon )=0$を充し、かつ、全ての$x\in B_i$と${\varphi }_i(y)\in A_i$を充す$y\in B_i$に対してならば

$$|{\partial }_{r}f({\varphi }_i(x))|\le b_{i,r}(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

を充たす。 さて、$R_i={\min }_r{R}_{i,r}$と定め、

$$b_i:=\underset{r}{\max }{b}_{r,i}$$

と定めれば、$b_i:(0,R_i)\to ℝ$は ${lim}_{\epsilon \to 0}{b}_i(\epsilon )=0$を充し、かつ、全ての$x\in B_i$と${\varphi }_i(y)\in A_i$を充す$y\in B_i$に対してならば 任意の$r\in \{1,2,\mathrm{\dots },m\}$について

$$|{\partial }_{r}f({\varphi }_i(x))|\le b_i(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

を充たす。

さて、$x,y\in A_i$に対して${\varphi }_r(s)=x,{\varphi }_r(t)=y$となる$s,t\in B_i$を取る。これは$A_i\subset {\varphi }_r(B_i)$から可能である。 さて、$b_i$の性質と補題3から

$$|f({\varphi }_i(s))-f({\varphi }_i(t))|\le b_i(\Vert s-t\Vert ){\Vert s-t\Vert }^k$$

を得る。ところで

$$\Vert s-t\Vert \le \Vert {\varphi }_i(s)-{\varphi }_i(t)\Vert =\Vert x-y\Vert$$

なので

$$|f(x)-f(y)|\le b_i(\Vert x-y\Vert ){\Vert x-y\Vert }^k$$

がわかる。 ∎

次の定理がいわゆるSadの定理である。

3 Brown-Morse-Sardの定理

定理 11 (Brown-Morse-Sard).

$U\subset {ℝ}^m$ $f:U\to {ℝ}^n$, $f$は$C^r$級とする。もし

$$r\ge 1+\max (m-n,0)$$

ならば$f(C_f)$は測度零である。

証明は場合分けで行う。

命題 12.

の場合に定理11は成り立つ。 つまり、であり、 $U$が${ℝ}^m$の開集合で $f:U\to {ℝ}^n$が$C^1$級関数 ならば$f(C_f)$は測度零である。

証明.

$O=U\times {ℝ}^{n-m}$とし、$F:O\to {ℝ}^n$を

$$F(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_m,x_{m+1},\mathrm{\dots },x_n)=f(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_m)$$

と定義すると、$f$が$C^1$級関数であるから$F$もそうである。 このことから$F$は局所リプシッツ関数であることがわかる。よって$F$は零集合を零集合に写す。$C_f\times \{0\}\subset O$は$O$の零集合であり、$F(C_f\times \{0\})=f(C_f)$であるから定理は示された。 ∎

命題 13.

$m=n$の場合に定理11は成り立つ。つまり、 $m=n$であり、 $U$が${ℝ}^m$の開集合で $f:U\to {ℝ}^n$が$C^1$級ならば $f(C_f)$は測度零である。

証明.

$U$の中の有界閉立方体$A$に対して$f(A\cap C_f)$が零集合であることを示せばよい。 まず、$f$は$A$上リプシッツであることに注意しよう。 各$a\in A$に対して $T_a=(T_a^1,T_a^2,\mathrm{\dots },T_a^n):A\to {ℝ}^n$を

$$T_a^i(x)=f_i(a)+\sum _{j=1}^n{\partial }_j{f}_i(a)(x_j-a_j)$$

と定義する。すると

$$f_i(x)-T_a^i(x)=\sum _{j=1}^n({\partial }_{j}f(z_i)-{\partial }_j{f}_i(a))(x_j-a_j)$$

${\partial }_{i}f(x)$は$A$上一様連続なので$\epsilon \to 0$のとき$b(\epsilon )\to 0$となる$b$が存在して

$$\Vert f(x)-T_a(x)\Vert \le b(\Vert x-a\Vert )\Vert x-a\Vert$$

となる。 $a\in C_f$と仮定すると、この点では写像のランクが落ちてるので$T_a$によって$A$は$n-1$次元部分空間$P_a$に写像される。 そしてとすると$\Vert f(x)-f(a)\Vert \le L\epsilon$で$P_a$から$f(x)$までの距離は$b(\epsilon )\epsilon$より小さい。 体積は高々$2^n{L}^{n-1}{\epsilon }^{n}b(\epsilon )$となる。

さて$A$を幅が$1/k$となる$k$個の立方体に分割する。 臨界点$a$を含む立方体は$a$を中心とする半径$\sqrt{n}/k$の球体の中に含まれる。 この球体の像の体積は高々$2^n{L}^{n-1}{(\sqrt{n}/k)}^{n}b(\sqrt{n}/k)$である。 立方体の個数は高々$k^n$個なので$f(A\cap C_f)$の体積は高々

$$k^n{2}^n{L}^{n-1}{(\sqrt{n}/k)}^{n}b(\sqrt{n}/k)=2^n{L}^{n-1}{n}^{n/2}b(\sqrt{n}/k)$$

$k\to \mathrm{\infty }$とすると$f(A\cap C_f)$の体積が$0$であることがわかる。 ∎

の場合を証明するために補題をいくつか用意する。

補題 14.

$U\subset {ℝ}^m$は開集合とし、$m>n$とする。 $g:U\to {ℝ}^n$を$C^q$級とし$S$を$f$のランクが$0$になる点全体とする。このとき$q\ge m/n$ならば$f(S)$の測度はゼロである。

証明.

${\{S_i\}}_{i\in \mathbb{N}}$を$S$の$C^q$級モース分解とする。 各$g(S_i)$が零集合であることを示せば良い。 $g=(g_1,g_2,\mathrm{\dots },g_n)$と成分表示する。 このとき、$S$は階数が$0$の点全体であることから、$x\in S$について $x$は各$g_i$の臨界点になっている。モース分解の性質からある$b_i$が存在して $x,y\in S_i$とするとならば任意の$j\in \{1,2,\mathrm{\dots },n\}$に対して

$$|g_j(x)-g_j(y)|\le b_i(\epsilon ){\epsilon }^q$$

となる。 このことから、$x,y\in S_i$でならば

$$\Vert g(x)-g(y)\Vert \le \sqrt{n}{b}_i(\epsilon ){\epsilon }^q$$

となる。 $C$を$U$に含まれる閉立方体として、$g(S_i\cap C)$が零集合であることを示せば良い。 $C$の一辺の長さを$L$とし、$C$を一辺が$L/k(k\in \mathbb{N})$の閉立法体$\{C_l\}$に分割すると、$C_l$が半径$\frac{L\sqrt{m}}{k}$の球に含まれるので、 $f(S_i\cap C_l)$は半径が

$$\sqrt{mn}\cdot b_i\left(\frac{L\sqrt{m}}{k}\right){\left(\frac{L\sqrt{m}}{k}\right)}^q$$

の球に含まれる。$\{C_l\}$の個数は$k^m$個なので、 $f(S_i\cap C)$の測度は、球体の体積に関連した定数$K$を用いて、上から

$$K\cdot b_i\left(\frac{\sqrt{m}}{k}\right)k^{m-qn}$$

と評価できる。この評価は任意の$k\in \mathbb{N}$で成り立つので、$k\to \mathrm{\infty }$とすると$f(S_i\cap C)$の測度が零になることがわかる。 ∎

補題 15.

$A$を$f$の階数が$r$の点全体とする。このときもし$q\ge \frac{m-r}{n-r}$ならば$f(A)$は測度零である。

証明.

$r=0$の時は先の補題である。$p\in A$とすると$p$の近傍$N$とその局所座標系、$f(p)$周りの局所座標系が存在して、

$$f_i(u_1,u_2,\mathrm{\dots },u_m)=u_i(i=1,\mathrm{\dots },r)$$

となるものが存在する。$u_1,\mathrm{\dots },u_r$を固定して写像

$$\eta :{ℝ}^{m-r}\to {ℝ}^{n-r};x=(u_{r+1},\mathrm{\dots },u_m)\mapsto \eta (u)=(f_{r+1}(u,x),\mathrm{\dots },f_n(u,x))$$

を考えると階数は零である。 $P_{(u_1,\mathrm{\dots },u_r)}$を最初の座標が$u_1,\mathrm{\dots },u_r$であるような${ℝ}^n$の中の$n-r$部分空間とするとき$r=0$の場合、つまり先の補題から$f(N\cap A)\cap P_{(u_1,\mathrm{\dots },u_r)}$は$P_{(u_1,\mathrm{\dots },u_r)}$の中で測度零である。よって$f(N\cap A)$は任意の$P_{(u_1,\mathrm{\dots },u_r)}$との交わりが零集合なのでフビニの定理から$f(N\cap A)$も測度零である。 ∎

命題 16.

とする。 $U\subset {ℝ}^m$ $f:U\to {ℝ}^n$, $f$は$C^r$級とする。もし

$$r\ge m-n+1$$

ならば$f(C_f)$は測度零である。

証明.

まず、各$i(0\le i\le n-1)$について

$$A_i=\{x\in U\mid \mathrm{rank}Jf(x)=i\}$$

と定義する。 もちろん

$$C_f=\bigcup _{i=0}^{n-1}{A}_i$$

が成り立つ。 そして$r\ge m-n+1$のとき任意の$0\le i\le n-1$に対して$r\ge \frac{m-i}{n-i}$なので 先の補題から$f(A_i)$が零集合であることがわかり、結局$f(C_f)$は零集合であることがわかる。 ∎

命題 12、13、16から定理11が成り立つ事がわかる。

4 Sardの補題にまつわる反例

Sardの定理に置いて、$r$の微分可能性が$1+\max (m-n,0)$より小さい場合何が怒るのか調べることは有意義である。今から以下の命題の異なる三つの証明を紹介して行く。

命題 17.

$C^1$級関数$f:{ℝ}^2\to ℝ$で、$f(C_f)$が正測度を持つものが存在する。

4.1 Whitneyによる構成

次の形のWhitneyの拡張定理を用いる。

命題 18.

$A$を${ℝ}^n$の閉集合とし、とする。このとき任意の$s$-Hoelder写像$f$についてその拡張$F:{ℝ}^n\to ℝ$が存在して${\sigma }_k\le n-1$を充たす$k\in Z_n$が存在して$x\in A$について

$${\partial }_{k}F(x)=0$$

となる。

命題 19.

$C^1$級写像$f:{ℝ}^2\to ℝ$が存在して$f(C_f)$が正測度を持つものが存在する。

証明.

写像$f_0,f_1,f_2,f_3:{ℝ}^2\to ℝ$を

$f_0(x)=3^{-1}x$

$f_1(x)=3^{-1}x+(2^{-1},1/6)$

$f_2(x)=3^{-1}x+(2^{-1},2^{-1})$

$f_3(x)=3^{-1}x+(1/6,2^{-1})$

と定義する。$f_i(Q)\subset Q$を充すことに注意しよう。 $Q(n_1)=f_{n_1}(Q)(n_1\in \{0,1,2,3\})$と定め、 一般に、$Q(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$が定義されたとき、 $Q(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k,n_{k+1})=f_{n_{k+1}}(Q(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k))$ と定義する。 そして

$$A_k=\bigcup _{i\in \{1,2,\mathrm{\dots },k\},n_i\in \{0,1,2,3\}}Q(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$$

と定義し、

$$P=\bigcap _{k\in \mathbb{N}}{A}_k$$

とする。$P$はカントール集合と同相である。 各$x\in P$に対して、$x\in Q(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_k)$かつ $x\in Q(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_l)$で$k\le l$ならば、 任意の$i\in \{1,2,\mathrm{\dots },k\}$に対して$a_i=b_i$であるから、$x$に対して 無限列${\{n_i(x)\}}_{i\in \mathbb{N}}$で

$$\{x\}=\bigcap _{k\in \mathbb{N}}Q(n_1(x),n_2(x),\mathrm{\dots },n_k(x))$$

となるものがただ一つ定まる。これを用いて、 写像$f:P\to ℝ$を

$$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n_k(x)}{4^k}$$

と定義する。 さて、$x,y\in P$について、$k$番目で初めて$n_k(x)\ne n_k(y)$となったとすると、

$$3^{-k}\le \Vert x-y\Vert$$

となる。 そして

$$|f(x)-f(y)|\le \sum _{i=k}\frac{3}{4^i}\le \frac{1}{4^{k-1}}$$

となるので、$s=\log 4/\log 3$として

$$|f(x)-f(y)|\le 4^{-1}{\Vert x-y\Vert }^s$$

が成り立つ。 また、任意の無限列${\{n_i\}}_{i\in \mathbb{N}}(n_i\in \{0,1,2,3\})$に対して $n_i(x)=n_i$となる$x\in P$が存在するので、 $f(P)=[0,1]$である。$s>1$なので、 この$f$に先の命題を適用し、 任意の$k\in Z_2(1)$と$x\in P$に対して

$${\partial }_{k}F(x)=0$$

で $F|P=f$となる $F$を得ると、$P\subset C_F$なので、

$$[0,1]\subset F(C_F)$$

となり、$F$は$C^1$級で$F(C_F)$は正測度を持つ。 ∎

注意.

実際のWhitneyの構成はカントール集合集合上ではなく${ℝ}^2$内の弧に対して拡張定理を用いている。つまりWhitneyは弧$\gamma$上でその勾配が$0$だが定数でない関数を構成した。この構成はカントールの悪魔の階段の二次元版とも思える。

注意.

任意の$m,n\in \mathbb{N}(m>n)$について$C^{m-n}$級関数$f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$で、$f(C_f)$が正測度であるものの存在も示せる。

4.2 Grinbergによる構成

次のよく知られた事実がある。証明は省略する。

命題 20.

$C+C=[0,2]$

Grinbergはこの命題20を用いてSardの定理にまつわる反例を構成した。 その第一段階は次に述べるような関数を構成することである。

命題 21.

$C^1$級の関数$f:ℝ\to ℝ$で$C\subset f(C_f)$となるものが存在する。

証明.

カントール集合$C$は単位区間を三等分し、その真ん中の開区間を取り除き、そしてまた残った区間をそれぞれ三等分し、そのそれぞれの真ん中の開区間を取り除き・・・とこの操作を繰り返して得られる集合である。$C$の一次元ルベーグ測度は$0$であることに注意しよう。$ℐ$を$C$を構成するときに取り除かれる開区間全体の集合とする。 $ℐ$は開集合$[0,1]\setminus C$の連結成分全体と一致する。 $C$ が零集合であることから任意の$a\in C$について

$$a=\sum _{I\in ℐ,I\subset [0,a]}|I|$$

が成り立つ。ここで$|I|$は$I$の一次元ルベーグ測度を表す。 $\sigma =6/{\pi }^2$とすると

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sigma }{n^2}=1$$

となる。 ここで、この級数を元に通常のものとは異なるカントール集合を構成する。 まず、単位区間の真ん中の点（つまり$1/2$）を中心とする長さが$\sigma /1^2$の開区間（つまり$1/2$を中心とする半径$\sigma /2$の開球と同じである）を取り除く。 そして、次に残った二つの区間のそれぞれ真ん中の点を中心とする長さ$\frac{1}{2}\frac{\sigma }{2^2}$の開区間を取り除く。 この操作を繰り返してゆく。一般にこの操作を$n$回行うと、$2^{n-1}$個の長さが同じ閉区間が残る。$n+1$回めの操作はこの残った$2^{n-1}$個の閉区間の真ん中の点を中心とする長さ$\frac{1}{2^{n-1}}\frac{\sigma }{n^2}$の開区間を取り除く操作になる。この操作を繰り返して得られる集合を$D$とする。（正確には$n$回目に残る集合を$D_n$としたとき、この$D_n$全ての共通部分が$D$である。） さて、$n$回目の操作で取り除かれる開区間の長さの総和は$2^{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}\frac{\sigma }{n^2}$なので、全体として、取り除かれる開区間の長さの総和は

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}\frac{\sigma }{n^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sigma }{n^2}=1$$

となるから、$D$は零集合である。$𝒥$を$[0,1]\setminus D$の連結成分全体、つまり$D$を定義するときに取り除かれた集合全体とする。$𝒥$は可算集合であるが、適当に番号をつけて$[0,1]\setminus D={\bigcup }_{k\in \mathbb{N}}(p_k,q_k)$とする。

連続関数$T:ℝ\to ℝ$ で 任意の$t\in (0,1)$について$T(t)>0$任意の$t\notin (0,1)$に対して$T(t)=0$ そして ${\int }_{ℝ}T𝑑t=1$ を充すものを一つ取る。そして、各$k$について$n(k)$は、「$n(k)$回目に$(p_k,q_k)$が取り除かれる。」を充すような自然数とする。（つまり$n(k)$は$(p_k,q_k)$の世代数とする。）そして

$$h_k(x)=\frac{1}{\sigma }\frac{n{(k)}^2{2}^{n(k)-1}}{3^{n(k)}}T\left(\frac{x-p_k}{\frac{1}{2^{n(k)-1}}\frac{\sigma }{n{(k)}^2}}\right)=\frac{1}{\sigma }\frac{n{(k)}^2{2}^{n(k)-1}}{3^{n(k)}}T\left(\frac{n{(k)}^2{2}^{n(k)-1}}{\sigma }(x-p_k)\right)$$

と$h_k:ℝ\to ℝ$を定義する。この$h_k$は

$${\int }_{ℝ}{h}_k(t)𝑑t=\frac{1}{3^{n(k)}}$$

および

$$\text{supp}(h_k)=[p_k,q_k]$$

を充す。 さてここで、$h={\sum }_k{h}_k$と定義する。 $h$の連続性を調べよう。 $\{(p_k,q_k)\}$は互いに交わらないので、連続性は$D$の点のみで調べれば良い。 $T$は$T(0)=T(1)=0$を充しているので、$t\in D$について$h(t)=0$である。 そして、 $\frac{n^2{2}^{n-1}}{3^n}\to 0$なので$h$が連続であることがわかる。 関数$f:ℝ\to ℝ$を

$$f(x)={\int }_0^{x}h(t)𝑑t=\sum _k{\int }_0^x{h}_k(t)𝑑t$$

と定義する。 $h$は連続なので$f$は$C^1$級関数になる。

${𝒜}_n$を$C$を構成するときに現れる第$n$世代の閉区間全体とし、 ${ℬ}_n$を$D$を定義するときに現れる第$n$世代の閉区間全体とする。 また、$𝒜={\bigcup }_n{𝒜}_n$、$ℬ={\bigcup }_n{ℬ}_n$とする。 各$n$について${𝒜}_n$は互いに交わらない$2^{n-1}$個の閉区間の族である。 $I,J\in {𝒜}_n$について、任意の$x\in I$と任意の$y\in J$についてとなっているときに$I\prec J$と定義する。${ℬ}_n$にも同様に順序$\prec$を導入する。さて${𝒜}_n$上でも${ℬ}_n$上でも$\prec$は全順序になっており、${𝒜}_n$と${ℬ}_n$は濃度が同じ有限集合なので一意的に順序を保つ全単射$s_n:{𝒜}_n\to {ℬ}_n$が存在する。 そして$s:𝒜\to ℬ$を$I\in 𝒜$が$A\in {𝒜}_n$ならば$s(I)=s_n(I)$として定義する。

各$x\in C$に対して、列$\{I_k\}\subset 𝒜$で、$I_k\in {𝒜}_k$で

$$\bigcap _k{I}_k=\{x\}$$

を充すものが存在する。このような列は複数あることに注意せよ。そして

$$\bigcap _{k}s(I_k)=\{y\}$$

となる$y$が存在する。この$y$は列$\{I_k\}$の選び方に依らず一意的に存在するので、 写像$\alpha :C\to D$をこの$x$に$y$を対応させる写像として定義する。

${ℐ}_n$を$C$を構成するときに取り除かれる第$n$世代の開区間全体とし、 ${𝒥}_n$を$D$を定義するときに取り除かれる第$n$世代の開区間全体となる。 もちろんこのとき$ℐ={\bigcup }_n{ℐ}_n$、$𝒥={\bigcup }_n{𝒥}_n$とする。 上と同様にして${ℐ}_n$と${𝒥}_n$には全順序$\prec$が定義され、順序を保つ全単射$r_n:{ℐ}_n\to {𝒥}_n$が存在する。 そして写像$r:ℐ\to 𝒥$を$A\in ℐ$が${ℐ}_n$ならば$r(A)=r_n(A)$として定義する。 このとき

$$r(\{I\in ℐ\mid I\subset [0,x]\})=\{J\in 𝒥\mid J\subset [0,\alpha (x)]\}$$

が成り立つ。

任意の$a\in C$をとり$b=\alpha (a)\in D$とする。このとき$f^{\prime }(b)=h(b)=0$であり、

$$f(b)=\sum _k{\int }_0^b{h}_k(t)𝑑t=\sum _{k\in \mathbb{N},(p_k,q_k)\subset [0,b]}\frac{1}{3^{n(k)}}=\sum _{I\in ℐ,I\subset [0,a]}|I|=a$$

であるので、$C\subset f(C_f)$を得る。 （ちなみにこの構成だと$C=f(C_f)$までわかる。） ∎

先に述べた命題を用いればSardの定理にまつわる反例が次のように構成できる。

命題 22.

$C^1$級関数$g:{ℝ}^2\to ℝ$で$g(C_g)$が正のルベーグ測度を持つものが存在する。

証明.

関数$f:ℝ\to ℝ$を命題21で述べられた関数とする。そして 関数$g:{ℝ}^2\to ℝ$を

$$g(x,y)=f(x)+f(y)$$

と定義する。すると $g$は$C^1$級写像であり、また

$$J(g)(x,y)=0\iff ({\partial }_{x}f)(x)=0,({\partial }_{y}f)(y)=0$$

が成り立つことがわかる。 よって

$$[0,2]=C+C\subset g(C_g)$$

であるから$g$が求める関数である。 ∎

4.3 Kaufmanによる構成

次のWhitneyの補題を用いる。

命題 23.

$J$を$ℝ$の開区間とする。 連続写像$w:J\to ℝ$と閉集合$A\subset J$、$v\in ℝ$、$a\in J$は以下を充たすとする。 任意の$\epsilon$に対して$\delta >0$が存在して

1. $x\in A$かつならば

   である。

2. $x\in J\setminus A$かつならば導関数$w^{\prime }(x)$が存在し、

   である。

   このとき$w$は点$a\in A$において微分可能で$w^{\prime }(a)=v$である。

証明.

任意の$a\in A$と任意の$\epsilon$に対して$\delta >0$が存在して任意のならば

を示せばよい。 話を簡単にするために$a\le x$とする。 $x\in J\setminus A$のときに目的の式を示せばよい。 ここで$p_x$を$p_x\in A$で、$A\cap (p_x,x)=Ø$となるものとする。 $A$が閉集合なのでこのような$p_x$は存在する。 また、$a\le p_x$である。 $(2)$から$w$は開区間$(p_x,x)$で微分可能なので中間値の定理から

$$w(x)=w(p_x)+w^{\prime }(c)(x-p_x)$$

となる$c\in (p_x,x)$が存在する。 さてこのとき、

${\displaystyle \frac{w(x)-w(a)}{x-a}}$ $={\displaystyle \frac{w(x)-w(p_x)}{x-p_x}}{\displaystyle \frac{x-p_x}{x-a}}+{\displaystyle \frac{w(p_x)-w(a)}{p_x-a}}{\displaystyle \frac{p_x-a}{x-a}}$

$=w^{\prime }(c){\displaystyle \frac{x-p_x}{x-a}}+{\displaystyle \frac{w(p_x)-w(a)}{p_x-a}}{\displaystyle \frac{p_x-a}{x-a}}$

となり、また、

$$v=v\frac{x-p_x}{x-a}+v\frac{p_x-a}{x-a}$$

なので

$\left|{\displaystyle \frac{w(x)-w(a)}{x-a}}-v\right|\le |w^{\prime }(c)-v|\left|{\displaystyle \frac{x-p_x}{x-a}}\right|+\left|{\displaystyle \frac{w(p_x)-w(a)}{p_x-a}}-v\right|\left|{\displaystyle \frac{p_x-a}{x-a}}\right|$

である。さて$p_x$及び$c$の定義から、なのでかつである。また、$p_x$の定義から$|x-p_x|\le |x-a|$かつ$|p_x-a|\le |x-a|$なので 結局ならば

を得る。 ∎

上の補題から次がわかる。

補題 24.

$U\subset {ℝ}^m$ は開集合とし、 孤立点を持たないコンパクト集合$A\subset U$は内点を持たないとする。 連続関数$F:U\to {ℝ}^n$について、$F$は$U\setminus A$において$C^1$級で任意の$a\in A$に対して

$$\underset{x\in U\setminus A,x\to a}{lim}JF(x)=0$$

とし、さらに$a\in A$とについて

$$\underset{x\in A,x\to a}{lim}\frac{\Vert F(x)-F(a)\Vert }{\Vert x-a\Vert }=0$$

が成り立っているとする。このとき$F$は$U$上すべての点で$C^1$級であり、$JF(a)=0$である。

命題 25.

$C^1$級全射関数$f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$で、各点$x\in {ℝ}^3$で$\mathrm{rank}(f)(x)\le 1$となるものが存在する。

証明.

とする。 $I=\{x\in {ℝ}^3\mid |x_i-c_i|\le L/2\}$という立法体を考える。 $\{x\in {ℝ}^3\mid |x_i-(c_i+{\epsilon }_i)L/4|\le \beta L/2\}({\epsilon }_i\in \{1,-1\})$という形で書ける立法体を考える。（${\epsilon }_i$の値の選び方でこの形に書ける立方体は8個ある。）$=ℰ(I)$ この形で書ける立法体の間の距離は$L/2-\beta L$以上である。 また、$I$の境界と先の形で書ける立方体との距離は$L/4-\beta L/2$以上である。

今から$I=\{x\in {ℝ}^3\mid |x|\le 1\}$で定義される立方体を８の小さい立方体に分割していってカントール集合を作る。 $ℰ(I)$を適当に番号付けて、 $ℰ(I)=\{I(n_1)\mid n_i\in \{1,2,\mathrm{\dots },8\}\}$とする。 一般に$I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$が定義されたとき、$ℰ(I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k))$を適当に番号付けて、

$$ℰ(I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k))=\{I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k,n_{k+1})\mid n_{k+1}\in \{1,2,\mathrm{\dots },8\}\}$$

として$I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k,n_{k+1})$を帰納的に定義する。 世代が同じ$I(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_k)$と$I(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_k)$との距離は ${\beta }^{k-1}-2{\beta }^k$以上である。 世代が異なる$I(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_k)$と$I(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_j)$（）との関係は以下のようになる。 もしこの二つが交わってなければ、この二つの立方体の間の距離は${\beta }^{k-1}(1-2\beta )$以上になり、 もし大きい方の立方体が小さい方を含んでいれば、大きい方の境界と、小さい立方体との距離は${\beta }^k(1/2-\beta )$となる。

$I$の境界を$B$、$I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$の境界を$B(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$ で表すことにする。そして、

$$C(\beta )=\bigcap _{k\in \mathbb{N}}\left(\bigcup _{i\in \{1,2,\mathrm{\dots },k\},n_i\in \{1,2,\mathrm{\dots },8\}}I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)\right)$$

とする。$C(\beta )$はカントール集合と同相である。 以下${\beta }^2>8^{-1}$を仮定する。 $R$を${ℝ}^2$の任意の閉正方形とする。$k\in \mathbb{N}$と $(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)\in \{1,2,\mathrm{\dots },8\}$に対して閉長方形 $R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$を帰納的に以下のように定義する。 $R(n_1)$は$R$を$7$つの垂直な線分によって$8$個の相似な長方形に分割し、それを番号付けたものとして定義する。 一般に$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$が定義された時、 もし、$k$が偶数ならば$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$を$7$つの垂直な線分で$8$個の相似な長方形に分割し、それを番号付けたものとして$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k,n_{k+1})$を定義し、 もし$k$が奇数ならば$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$を$7$つの水平な線分で$8$個の相似な長方形に分割し、それを番号付けたものとして$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k,n_{k+1})$を定義する。ここで、ある$A>0$が存在して任意の$k\in \mathbb{N}$について

$$\mathrm{diam}(R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k))\le A{2}^{-3k/2}$$

となる。($k$が奇数であるときと偶数であるときに場合分けすれば証明出来る。) 全射写像$\mathrm{\Phi }:C(\beta )\to R$は $C(\beta )\cap I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$を$R(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)$に全射に写すとする。このような写像は存在する。 以上の考察から、$M>0$が存在して$x,y\in C(\beta )$について

$$|\mathrm{\Phi }(x)-\mathrm{\Phi }(y)|\le M{|x-y|}^{\lambda }$$

となることがわかる。ここで$\lambda =-3\log 2/2\log \beta >1$である。

$f:[0,1]\to R$を$f(m/8)=a_m$および、$C^1$級で

$$|f^{\prime }|\le 9\max |a_m-a_{m+1}|$$

を充すものとする。 $g:{ℝ}^3\to ℝ$で$\partial J_m$の近傍上で$g=m/8$となる$C^1$級写像とする。この時$g({ℝ}^3)\subset [0,1]$であり、$|Dg|\le N{\beta }^{-k}$を満たす。 そして

$$F=f\circ g$$

と定義する。 $F$は$I\setminus C(\beta )$上で$C^1$級である。 境界上では$DF=0$であり、また、$I(n_1,n_2,\mathrm{\dots },n_k)\setminus C(\beta )$上で

$$|DF|\le |Dg||f^{\prime }|\le H{\beta }^{-k}{2}^{-3k/2}\le H{\beta }^{-k}{\beta }^{\lambda k}$$

なので、先の補題から$F$は$I$上全体で$C^1$級であり、$C(\beta )$上で$DF=0$ である。 $F$の定義の仕方から$F$の階数は全ての点で$1$以下である。 ∎

注意.

この命題における各点$x\in {ℝ}^3$で$\mathrm{rank}(f)(x)\le 1$という条件は$f(C_f)$が正測度であるという条件よりも強いことに注意しよう。

5 多様体の間の写像のBrown-Morse-Sardの定理

定義 26.

$m$次元多様体$M$の部分集合$S$が測度零であるとは

定理 27 (多様体のBrown-Morse-Sardの定理).

$M,N$をそれぞれ$m,n$次元$C^r$級可微分多様体とし、$f:M\to N$は$C^r$級とする。また、$M$はリンデレフであるとする。このときもし

$$r\ge 1+\max (m-n,0)$$

ならば$f(C_f)$は測度零である。

証明.

ここまで読んだらわかる。 ∎