LOTSの位相の基本

電波通信

HTML変換日：2026年7月26日

うろ覚えで書いたので標準的な用語と異なるかもしれません。

1 定義など

定義 1 (線形順序).

集合 $X$ 上の二項関係 $R$ が線形順序であるとは

(1)

$\forall a\in X\ aRa$
(2)

$\forall a,b\in X\ aRb\land bRa\Longrightarrow a=b$
(3)

$\forall a,b,c\in X\ aRb\land bRc\Longrightarrow aRc$
(4)

$\forall a,b\in X\ aRb\lor bRa$

を充たすことを言う。慣例に従い線形順序を $\leq$ などと書き表すことにする。また、

a<b\iff a\leq b\land a\neq b

と定義する。

定義 2 (部分線形順序集合).

線形順序集合 $(X,\leq)$ の部分集合 $S$ について $\leq$ を $S$ に制限した関係を $\leq$ の $S$ のへの制限といい、 $\leq_{S}$ と書いてみたりするが、しばしば同じ記号 $\leq$ を流用してしまう。大体文脈で分かるので問題ないのだが、区別する必要がある場合もある。このとき $(S,\leq_{S})$ を $(X.\leq)$ の部分線形順序集合という。

定義 3 (順序稠密性、順序の意味で稠密性).

線形順序集合 $(X,\leq)$ の部分集合 $A$ が（順序の意味で）稠密であるとは $X$ の任意の二元 $a,b\in X$ について $A$ の元 $c$ が存在して

a<c<b

を充たすことを言う。これは順序位相における稠密性と同じことである。

定義 4.

線形順序集合 $(X,\leq)$ の元 $a$ が $S$ の上界であるとは

\forall x\in S\ x\leq a

を充たすときに言う。

線形順序集合 $(X,\leq)$ の元 $b$ が $S$ の下界であるとは

\forall x\in S\ b\leq x

を充たすときに言う。

定義 5 ( $\sup,\inf,\max,\min$ ).

線形順序集合 $(X,\leq)$ の元 $s$ が $S$ の上界でありかつ

\forall y<s\ \exists x\in S\ y<x\leq s

を充たすとき $s$ を $S$ の上限といい $\sup S$ などと書き表す。特に $\sup S\in S$ のとき $\sup S$ は $S$ の最大元といい $\max S$ などと表す。双対的に $\inf S$ が定義される。

$(X,\leq)$ の元 $t$ が $S$ の下限であるとは $t$ は $S$ の下界で

\forall y>t\ \exists x\in S\ t\leq x<y

が成り立つときに言い、 $\inf S$ などと書く。 $\inf S\in S$ のとき $\min S$ だとか書く。

上限と下限は常に存在するわけではないことに注意せよ。

注意.

$\sup S$ は $S$ の上界の最小値であり、 $\inf S$ は $S$ の下界の最大限である。

定義 6 (順序完備性).

線形順序空間 $(X,\leq)$ が順序完備であるとは、 $X$ の任意の非空な部分集合 $S$ について $\inf S$ と $\sup S$ が存在するときに言う。

定義 7 (区間).

線形順序集合 $(X,\leq)$ と $a,b\in X$ について

(1)		$\displaystyle(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\}$
(2)		$\displaystyle(a,b]=\{x\in X\mid a<x\leq b\}$
(3)		$\displaystyle[a,b)=\{x\in X\mid a\leq x<b\}$
(4)		$\displaystyle[a,b]=\{x\in X\mid a\leq x\leq b\}$

と定義する。それぞれ開区間、半開区間、閉区間という。また

(5)		$\displaystyle(a,\to)=\{x\in X\mid a<x\}$
(6)		$\displaystyle(\leftarrow,a)=\{x\in X\mid x<a\}$
(7)		$\displaystyle[a,\to)=\{x\in X\mid a\leq x\}$
(8)		$\displaystyle(\leftarrow,a]=\{x\in X\mid x\leq a\}$

も無限開区間、無限閉区間などという。

注意.

$b\leq a$ のとき、 $(a,b)=\O$ に注意せよ。

定義 8.

線形順序集合 $(X,\leq)$ について $(X,\leq)$ の開区間及び無限開区間全体の族は開基の公理を充たす。この開基から生成される位相を $(X,\leq)$ の順序位相といい、ここでは $\mathfrak{O}_{\leq}$ と書くことにしよう。何らかの線形順序集合の順序位相と同相になっている位相空間をLOTS(Linearly Ordered TopolTogical Space)（線形順序位相空間）という。

2 性質

命題 9.

LOTSはハウスドルフ空間である。

証明.

線形順序位相空間 $(X,\leq)$ の二点 $a, b$ を任意に与える。このとき $a<b$ としても一般性を失わない。

Case1: $(a,b)\neq\O$ のとき; $c\in(a,b)$ をとると、 $a\in(\leftarrow,c),\ b\in(c,\to)$ であるからわかる。

Case2: $(a,b)=\O$ のとき;この状況のもと、 $(a,\to)=[b,\to),(\leftarrow,b)=(\leftarrow,a]$ であるからわかる。 ∎

注意.

実は一般にLOTSは単調正規という結構強めの分離公理を充たす。どのくらいの強さかというと、単調正規ならば遺伝的族正規であるくらいの強さである。詳しくは
R.W.Heath, D.J.Lutzer and P.L.zenor, Monotonically Normal spaces, Trans.Amer.Math.Soc.178(1973), p481-493 を参照のこと

命題 10.

LOTS $(X,\leq)$ の閉集合 $A$ に下限が存在するならば、 $\inf A\in A$ 。上限についても同様。

証明.

下限の定義から、 $\inf A$ は $A$ の触点になるのでわかる。 ∎

定理 11.

$(X,\leq)$ が順序完備であることと、 $(X,\mathfrak{O}_{\leq})$ がコンパクトであることは同値である。

証明.

[順序完備 $\Longrightarrow$ コンパクト]

$\mathcal{U}$ を $X$ の任意の開被覆としよう。 $X$ には最小値と最大値が存在するので $a=\min X,\ b=\max S$ しよう。そして

S=\{x\in X\mid[a,x]\text{は}\mathcal{U}\text{の有限部分族で被覆される}\}

とおく。 $a\in S$ なので $S\neq\O$ である。また、 $x\in S\Longrightarrow[a,x]\subset S$ にも注意しよう。 $\ s=\sup S$ と置く。まずは $s\in S$ を示そう。 $[a,s)\subset S$ となることはすぐにわかる。 $s\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ を一つとる。そして $A=[a,s]\setminus U$ は閉集合であるから $t=\sup A\in A$ で $s\not\in A$ より $t<s$ が分かる。そして $t\in S$ なので $[a,t]$ は有限個の $\mathcal{U}$ の元 $V_{1},V_{2},\dots V_{n}$ で被覆されるので結局 $[a,s]$ は $\mathcal{U}$ の有限個の元 $V_{1},V_{2},\dots V_{n},U$ で被覆されるから $s\in S$ となる。

今、 $[a,s]$ を被覆する $\mathcal{U}$ の有限個の元を $U_{1},U_{2},\dots,U_{m}$ とし、 $B=[s,b]\setminus\bigcup_{i=1}^{m}U_{i}$ と定義する。 $B$ は閉集合で $s\notin B$ である。もし $B=\O$ ならば $p=\inf B\in B$ が存在するから $p$ を含む $\mathcal{U}$ の元 $O$ を選べば $U_{1},U_{2},\dots U_{m},O$ は $[a,p]$ を被覆するので $p\in S$ だが他方 $s<p$ となので $s=\sup S$ に反する。よって $B=\O$ つまり $s=\max X$ なので $X$ は $\mathcal{U}$ の有限個の元で被覆される。

[コンパクト $\Longrightarrow$ 順序完備] $S$ を $X$ の非空な部分集合とする。このとき $X$ の閉集合族

\{\text{{\rm CL}}(S)\}\cup\{[a,\to)\mid a\in S\}

は $X$ の有限交叉族であるので $X$ のコンパクト性から

\text{{\rm CL}}(S)\cap\bigcap_{a\in S}[a,\to)\neq\O

となる。この集合から元 $s$ をとると、 $s$ は $\displaystyle\bigcap_{a\in S}[a,\to)$ の元であることから $S$ の上界になり、 $\text{{\rm CL}}(S)$ に属していることから任意の $y<s$ について

S\cap(y,\to)\neq\O

だが、 $s$ は $S$ の上界なのでこれは

S\cap(y,s]\neq\O

ということであり、これは $s=\sup S$ ということと同値である。よって $\sup S$ が存在する。 $\inf S$ が存在することも同様である。 ∎

系 12.

順序数 $\alpha$ について $[0,\alpha]=\alpha+1$ はコンパクトである。

3 部分集合について

$(X,\leq)$ の部分集合 $S$ には、 $\leq_{S}$ から誘導される順序位相 $\mathfrak{A}(S)$ と、LOTS $(X,\leq)$ の部分空間としての位相 $\mathcal{B}(S)$ の二種類が考えられるが、一般にこの二つは一致しない。ただし、 $\mathcal{B}$ の位相は $\mathcal{A}$ より細かいことはよくわかる。つまり $\mathcal{A}(S)\subset\mathcal{B}(S)$ 。これは、 $\leq_{S}$ による開区間を $(a,b)_{S}$ と書き、 $X$ における開区間を $(a,b)_{X}$ と書いたときに、 $a,b\in S$ について

(a,b)_{S}=(a,b)_{X}\cap S

が成り立つことからわかる。これら二つが一致する簡単な十分条件を二つ紹介しよう。

命題 13.

$S$ が $X$ の稠密な部分集合のとき、 $\mathfrak{A}(S)=\mathfrak{B}(S)$

証明.

稠密性から任意の $a,b\in X$ について

(a,b)_{X}\cap S=\bigcup_{s,t\in(a,b)_{X}\cap S}(s,t)_{S}

となるのでわかる。 ∎

命題 14.

$S$ が $X$ のコンパクト集合であるとき、 $\mathfrak{A}(S)=\mathfrak{B}(S)$

証明.

$(S,\mathfrak{B}(S))$ がコンパクトで $(S,\mathfrak{A}(S))$ はハウスドルフでかつ $\mathfrak{A}(S)\subset\mathfrak{B}(S)$ から $\mathfrak{A}(S)=\mathfrak{B}(S)$ が分かる。 ∎

命題 15.

$S$ が $X$ の区間であるとき、 $\mathfrak{A}(S)=\mathfrak{B}(S)$

証明.

わかる。 ∎