電波通信

HTML変換日：2026年7月26日

この文書では有理数と無理数が $\mathbb{R}$ の中で稠密であることを証明する。以下では実数 $x$ に対して $\lfloor x\rfloor$ で床関数を表す。すなわち $\lfloor x\rfloor$ は $x$ を越えない最大の整数のことである。この床関数に対して定義から

\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1

という不等式が成り立ち、これを変形して

x-1<\lfloor x\rfloor\leq x

という不等式を得る。この不等式に留意しておこう。まず有理数の稠密性から証明する。

命題 1.

$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ の中で稠密である。

証明.

$x\in\mathbb{R}$ を任意に与える。このとき自然数 $n\in\mathbb{N}$ に対して床関数の不等式から

nx-1<\lfloor nx\rfloor\leq nx

が分かるので、これを $n$ で割ると

x-\frac{1}{n}<\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\leq x<x+\frac{1}{n}

が分かる、つまり

\left|x-\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right|<\frac{1}{n}

となる。 $n$ を大きくすれば $x$ と $\dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ はいくらでも距離を近くでき、 $\lfloor nx\rfloor$ が整数であることから $\dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\in\mathbb{Q}$ なので $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{R}$ の中で稠密であることが分かる。 ∎

さて、次に移る前に次の簡単な事実に注意しよう。証明は読者に任せる。

事実 2.

有理数 $r\in\mathbb{Q}$ に対し、 $r+\sqrt{2}$ は無理数。

上の事実と有理数の稠密性から無理数の稠密性がわかる。

命題 3.

$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ の中で稠密。

証明.

$x\in\mathbb{R}$ を任意に与える。このときもちろん $x-\sqrt{2}$ も実数なので、これに対し命題1を適応すると、任意の $\varepsilon>0$ に対し、 $r\in\mathbb{Q}$ が存在し、

|(x-\sqrt{2})-r|=|x-(r+\sqrt{2})|<\varepsilon

となり、上の事実から $r+\sqrt{2}$ は無理数であるから、定理の証明は終わる。 ∎