代数学の基本定理

この文書では代数学の基本定理の初等的な証明を述べる。前提知識は特に必要ない。まずは次の補題を証明する。

補題 1.

複素係数多項式$f$に対してその絶対値$|f|$は複素平面上で最小値を持つ。

証明.

$f(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}\mathrm{\cdots }+a_{1}z+a_0$という風に最高次係数が$1$（つまりモニックということ）と仮定しても良い。最初に$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}|f(z)|=\mathrm{\infty }$を示そう。この式の意味は

である。$f(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\mathrm{\cdots }+a_{1}z+a_0$を$z^n$でくくって

$$f(z)=z^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\mathrm{\cdots }+\frac{a_1}{z^{n-1}}+\frac{a_0}{z^n}\right)$$

で明らかに

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\mathrm{\cdots }+\frac{a_1}{z^{n-1}}+\frac{a_0}{z^n}\right)=1$$

なので$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}|f(z)|=\mathrm{\infty }$がわかる。さて$K=|f(0)|$として$R$を選べば、

となる。$\{z\in ℂ||z|\le R\}$はコンパクトなので$f$はこの上で最小値をとるが、$0\in \{z\in ℂ||z|\le R\}$でなので、その最小値が$ℂ$全体での$f$の最小値となる。 ∎

補題 2.

定数でない複素係数多項式$f$について、$f(a)\ne 0$ならば

となる$b$が$a$の十分小さい近傍に存在する。

証明.

$f(a)\ne 0$なので

$$g(z)=\frac{f(z+a)}{f(a)}$$

が定義できる。$g(0)={\displaystyle \frac{f(0+a)}{f(a)}}={\displaystyle \frac{f(a)}{f(a)}}=1$なので

$$g(z)=1+b_{1}z+\mathrm{\cdots }+b_{n-1}{z}^{n-1}+b_n{z}^n$$

と表せる。$b_1,\mathrm{\dots }{b}_{n-1},b_n$が$0$とならない最小の番号を$k$として、（つまりならば$b_i=0$で、$b_k\ne 0$ということ）$b_k(\ne 0)$を極座標表示して$b_k=r\exp (\sqrt{-1}\theta )$と書き表し、$M:=\max \{|b_{k+1}|,\mathrm{\dots }|b_{n-1}|,|b_n|\}$とする。さて正の実数$u$を十分小さくとり

と出来る。なぜなら

$$\underset{u\to 0}{lim}(1-r{u}^k)=1,\underset{u\to 0}{lim}(r-M\frac{u}{1-u})=r$$

だからである。さて$c:=u\exp ({\displaystyle \frac{\pi -\theta }{k}})$と置き、

$$|g(c)|\le |1-r{u}^k|+M(u^{k+1}+\mathrm{\cdots }+u^{n-1}+u^n)$$

を得る。 よって$g(c)={\displaystyle \frac{f(c+a)}{f(a)}}$より$b=c+a$とすれば

∎

ここまで来たら後は簡単である。いよいよ本題に入ろう

定理 3 (代数学の基本定理).

定数でない複素係数多項式$f$は$ℂ$に零点を持つ。

証明.

補題1より最小値$f(a)$が存在するが$f$に零点がないとすると$f(a)\ne 0$なので補題2から

となる$b$が存在するがこれは最小性に矛盾するので$f$は零点を持つ。 ∎