ベールの範疇定理

この文章では， ベールの範疇定理は コンパクトハウスドルフの場合に 証明すれば 完備距離空間および 局所コンパクトハウスドルフの場合は そこから従うことを紹介する． Čech完備性を用いると 統一的に扱えるのである．

ベール空間の基本的な話は [電波通信１] などを 参照のこと．

1 ベール空間

定義 1.

この文章では 位相空間 $X$ が ベール であるとは $X$ の稠密な開集合の 任意の可算族 ${\{U_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ について ${\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が$X$ の中で稠密になる時にいうことにする．

定理 2.

任意の空ではないコンパクトハウスドルフ空間 $X$ はベール空間である．

証明.

$X$の稠密開集合の可算族 ${\{U_i\}}_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ を任意に与える． 空間$X$がベールであることを証明するには ${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ が$X$ の中で稠密であることを示せば良い． 空間$X$の空でない開集合$O$ を与える． 今から${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ と$O$が 交わりを持つことを証明する． 帰納的に以下の条件を満たす可算族 ${\{P_i\}}_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ を構成する．

1. 任意の $i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について $P_i$ は 空でない 開集合 である．

2. 任意の $i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について $\mathrm{CL}(P_{i+1})\subset P_i$ を満たす．

3. 任意の$i$ について $\mathrm{CL}(P_i)\subset O\cap U_i$ を満たす．

まず$P_0$ は 適当に $P_0=O\cap U_0$ とか定義すれば良い． $P_i$まで定義されたとき$P_{i+1}$ を以下のように定義する． 今 $U_{i+1}$ は稠密なので $P_i\cap U_{i+1}$ は空でない開集合である． 適当に点 $p\in P_i\cap U_{i+1}$ をとって 空間$X$ の正則性を用いると 開集合$P_{i+1}$ であって $p\in P_{i+1}$ でありなおかつ $\mathrm{CL}(P_{i+1})\subset P_i\cap U_{i+1}$ を満たすものが取れる． このとき 明らかに $\mathrm{CL}(P_{i+1})\subset P_i$ であり なおかつ$P_i\subset O$ なので $\mathrm{CL}(P_{i+1})\subset O\cap P_i$ である．

さて以上を踏まえて族 ${\{\mathrm{CL}(P_i)\}}_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ を考えるとこれはnested なので特に 有限交差性を持つ． よって $X$のコンパクト性から ${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}\mathrm{CL}(P_i)$ は空でなない． さてこのとき

$$\bigcap _{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}\mathrm{CL}(P_i)\subset \left(O\cap \bigcap _{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i\right)$$

なので $O\cap {\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ は空ではない． よって $O$の任意性から ${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ が$X$の中で稠密であることがわかった． ∎

補題 3.

$X$をベール空間とする． このとき $X$の稠密な $G_{\delta }$集合はベール空間になる．

証明.

$S$を$X$の任意の稠密な $G_{\delta }$集合はベール空間とする． $S$の稠密な開集合の可算族 ${\{U_i\}}_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ を任意にとる． 今から${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ が$S$の稠密部分集合であることを示す． まず$S$の相対位相の定義から $X$の開集合族 ${\{V_i\}}_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が存在して $V_i\cap S=U_i$ となる． このとき $S$が$X$の中で稠密であることと $S\cap V_i=U_i$ が$S$の稠密部分集合であることから $V_i$は $X$の稠密部分集合になる． ここで $S$も $X$の稠密部分集合であり $G_{\delta }$ 集合なので

$$S\cap \bigcap _{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{V}_i\left(=\bigcap _{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i\right)$$

は $X$ の稠密な開集合の可算族の共通部分として 表すことができる． よって $X$ がベール空間であることから $S\cap {\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{V}_i$ は $X$の稠密部分集合である． この集合は$S$の部分集合でもあるので 特に$S$の中でも稠密になる． よって ${\bigcap }_{i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{U}_i$ は$S$ の中 で稠密である． 以上で $S$ がベール空間であることがわかる． ∎

2 Čech完備空間

定義 4.

$X$ を位相空間とする． このとき $X$ の コンパクト化 とは コンパクトハウスドルフ空間 $K$ であって 位相的埋め込み $f:X\to K$ であって $f(X)$ が $K$の中で稠密である ようなものが存在するものをいう． この定義から $X$は $K$の 部分空間とみなせるので 以下では $X$のコンパクト化を考える時には $X$はそのコンパクト化の 部分集合と考えることにする．

注意.

コンパクト化は一意的では全くなく， 一般にはたくさん存在する(コンパクト化が一個しかないやつもある, ${\omega }_1$とか)． また， コンパクト化の定義から $X$がコンパクト化を持つならば $X$は完全正則であることがわかる． 逆に $X$が完全正則ならば $X$ にはストーンチェックコンパクト化が存在するので コンパクト化をもつ．

定義 5.

位相空間 $X$について その開被覆の可算族 $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が 完備列 であるとは， $X$の任意のフィルター $𝔉$ について もしも任意の$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ に対して ${𝒰}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ であるならば， ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ が成り立つ ときにいう．

定理 6.

$X$ を完全正則空間とする． このとき以下の条件は同値である．

1. $X$ はその任意のコンパクト化の中で $G_{\delta }$集合になっている．

2. $X$ はある コンパクト化の中で $G_{\delta }$ 集合になっている．

3. $X$ は完備列を持つ．

(1)$⟹$ (2)の証明.

当たり前

[(1)$⟹$ (2)の証明終わり]

[(2)$⟹$(3)の証明]

$K$を $X$のコンパクト化で $X$ が $K$ の中で $G_{\delta }$ 集合になっているものとしよう． 今から $X$ の完備列を構成する． 空間$X$は $K$ の$G_{\delta }$ 集合なので ある $K$の開集合の可算列 $\{O_n\}$ が存在して $K={\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n$ となる． ここで各$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ と$x\in X$ について $U_{x,n}$を $K$の開集合であって $x\in U_{x,n}$であり ${\mathrm{CL}}_K(U_{x,n})\subset O_n$ となるものとする． そして 各 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について ${𝒰}_n={\{U_{x,n}\cap X\}}_{x\in X}$ と定義すると これは$X$の被覆になっている． 今から $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が完備列であることを証明しよう． 任意に$X$上のフィルター $𝔉$ を取り， 任意の$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について ${𝒰}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ と仮定する． このとき $𝔊=\{{\mathrm{CL}}_K(F)\mid F\in 𝔉\}$ を考えるとこれは $𝔊$上のフィルター基底になっており， 特に有限交差性を持つので ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ である． さて， ${𝒰}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ なのである$U_{x_n,n}\in {𝒰}_n$ が存在して $U_{x_n,n}\in 𝔉$ となる． 特に

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)\subset \bigcap _{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{\mathrm{CL}}_K(U_{x_n,n})$$

である． ここで ${\mathrm{CL}}_K(U_{x_n,n})\subset O_n$なので

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)\subset \bigcap _{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{\mathrm{CL}}_K(U_{x_n,n})\subset \bigcap _{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n=X$$

である． よって

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)=\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)$$

であり， この交わりは空ではないので $𝐔$ が完備列であることがわかった．

[(2)$⟹$(3)の証明終わり]

[(3)$⟹$(1)の証明]

$X$の任意のコンパクト化を $K$とする． 今から $X$が $K$の中で $G_{\delta }$ であることを示す． 空間 $X$ の完備列を $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ とし ${𝒰}_n={\{U_{i,n}\}}_{i\in I_n}$ と表示しよう． そして各 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ と $i\in I_n$ について $V_{i,n}\cap X=U_{i,n}$ となるような $K$の開集合 $V_{i,n}$をとる． ここで

$$O_n=\bigcup _{i\in I_n}{V}_{i,n}$$

と定義する． すると $X\subset {\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n$ は定義からすぐに従う． 今から $X\supset {\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n$ を示す． 点 $x\in {\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n$ を任意にとる． そして $𝔑$ を $x$ の $K$ における 近傍系とする． さらに $𝔉=\{N\cap X\mid N\in 𝔑\}$ と定義する． 空間 $X$ は $K$ の中で稠密なので $𝔑$ が開集合を基底とするフィルターとなることから $𝔉$ は $X$の上の フィルター基底となる． 任意に $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ を与える． このとき $x\in O_n$であるから ある $i\in I_n$が存在sて $x\in V_{i,n}$ となる． つまり $V_{i,n}$ は $x$の近傍になっている． このとき $V_{i,n}$と $𝔉$ の定義から $U_{i,n}=V_{i,n}\cap X\in 𝔉$ となる． つまり ${𝒰}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ である． ここで $𝐔$ が完備列であること を用いると ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ である． さてここで$K$が正則であることと$ℱ$ の定義及び$X$が$K$ の中で稠密であることから

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)=\{x\}$$

である．一般に${\mathrm{CL}}_X(F)\subset {\mathrm{CL}}_K(F)$ であることから

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)\subset \bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_K(F)=\{x\}$$

であり ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ であることから

$$\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)=\{x\}$$

でなければならない． 集合 ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)$ は $X$ の部分集合なので $x\in X$ が従う． 以上から $X={\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{O}_n$ なので $X$ は $K$ の $G_{\delta }$ 集合である．

[(3)$⟹$(1)の証明終わり]

以上で証明が終わった． ∎

定義 7.

完全正則空間 $X$ が チェック完備 (Čech完備, Čech complete) であるとは 定理6 の三つの条件のうちどれかひとつ (結果として全て)を満たすときに いう． 一般的には $X$のストーンチェックコンパクト化 $\beta X$ の中で $G_{\delta }$ であると定義する場合が多いような気がする． Čechというのは数学者の名前である．

定理 8.

チェック完備な完全正則空間は ベールである．

証明.

定理 2 と 補題 3， そして 定理 6 からわかる． ∎

定理 9.

完備距離化可能空間 $X$ はチェック完備である．

証明.

空間$X$ 上の距離関数 $d$ であって 完備であり なおかつ $X$と同じ位相を誘導するものを固定する． このとき 各 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について ${𝒰}_n$ を ($d$に関して) 直径が$2^{-n}$以下の 開集合全体とする． このとき $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が完備列になるのは， 完備距離空間の区間縮小法からわかる． ∎

定理 10.

局所コンパクトハウスドルフ空間 $X$ はチェック完備である．

証明.

${𝒰}_0$ を $X$の 相対コンパクトな開集合全体とし $n\ge 1$のとき ${𝒰}_n$ はなんでもいい． ${𝒰}_n={𝒰}_0$ でもいいし ${𝒰}_n=\{X\}$ でもいい． とにかくこのとき $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が完備列であることを示そう． フィルター $𝔉$ が$𝔉\cap {𝒰}_0\ne \mathrm{\varnothing }$ とすると ある $O\in {𝒰}_0$ が存在して $O\in 𝔉$ である． ここで フィルター基底 $𝔊=\{{\mathrm{CL}}_X(F\cap O)\mid F\in 𝔉\}$ を考えると $𝔊$ は コンパクト集合 ${\mathrm{CL}}_X(O)$上の の有限交差性を持つ集合族になる． よって

$$\bigcap 𝔊\ne \mathrm{\varnothing }$$

となる． さて 定義から

$$\bigcap 𝔊\subset \bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)$$

なので 特に ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_X(F)$ がわかる． つまり $𝐔$ は完備列である． ∎

注意.

実際はより強く， 局所コンパクトハウスドルフ空間 $X$は そのコンパクト化$K$ の中で 開集合になることがわかる． 実際点 $x\in X$ に対して $X$ の中での相対コンパクトな開近傍 $V$を取り， $U$を $U\cap X=V$ となるような $K$の近傍とする． このとき ${\mathrm{CL}}_X(V)$ はコンパクトで $K$はハウスドルフであるから ${\mathrm{CL}}_X(V)={\mathrm{CL}}_K(V)$ が成り立つ． $X$は $K$ の中で稠密であるから， 特に $U$ は $V$ の中で稠密である． つまり ${\mathrm{CL}}_K(U)={\mathrm{CL}}_K(V)$ である． よって ${\mathrm{CL}}_K(V)={\mathrm{CL}}_X(V)\subset X$ であるからさらに $U\subset {\mathrm{CL}}_K(U)\subset X$ が成り立つ． ゆえに $U=V$である． つまり 任意の$x\in X$ は$K$ の中で $X$ の 内点になっている ので $X$ は$K$ の 中で開集合である． 参考文献 [電波通信2] も参照のこと．

系 11 (ベールの範疇定理).

完備距離化可能空間 と 局所コンパクトハウスドルフ空間 は ベール空間である．

証明.

定理 8 と 定理9と 10 から 従う． 本当は完全正則空間には コンパクト化が少なくとも一つ存在するという議論が必要だが 省略する．ストーンチェックコンパクト化などがある． ∎

3 おまけ

以下の定理を 完備列を用いて証明する．

定理 12.

チェック完備な 完全正則空間 はベール空間である．

証明.

$X$の完備列を $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ とし ${𝒰}_n={\{U_i\}}_{i\in I_n}$ と表すことにする． そして $X$の稠密な開集合の可算族 を ${\{G_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ とする． さらに $X$の空ではない開集合$O$ を任意に与える． このとき帰納的に $P_n$を 以下のように定義する． $n=0$のときは適当に $U_{i_0,0}\cap G_0\cap O\ne \mathrm{\varnothing }$ となる $U_{i_0,0}\in {𝒰}_0$ をとって $X$の正規性を使って $\mathrm{CL}(P_0)\subset U_{i_0,0}\cap G_0\cap O$ となる開集合$P_0$ とする． $n$まで$P_n$が定義されたとき $P_{n+1}$ は適当に $U_{i_{n+1},n+1}\cap G_{n+1}\cap P_n\ne \mathrm{\varnothing }$ となる $U_{i_{n+1},n+1}\in {𝒰}_{n+1}$ をとる．このような $U_{i_{n+1},n+1}$が取れるのは ${𝒰}_{n+1}$が開被覆であり $G_{n+1}$の稠密性から $G_{n+1}\cap P_n\ne \mathrm{\varnothing }$ となるからである． そして $X$ の正則性を使って 適当に $\mathrm{CL}(P_{n+1})\subset U_{i_{n+1},n+1}\cap G_{n+1}\cap P_n$ となる開集合として選ぶ． このとき${\{P_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$は有限交差族であり， これから生成されるフィルターは 任意の$n$について ${𝒰}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ となる． よって $𝐔$ が完備列であることから ${\bigcap }_{F\in 𝔉}\mathrm{CL}(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ である． つまりこの交わりから 点$p$ をとると $p\in P_n$なので $p\in O$ でなおかつ $p\in G_n$ でもある． よって $O$ と ${\bigcap }_n{G}_n$ は交わりをもつ． つまり ${\bigcap }_n{G}_n$ は $X$ の中で稠密である． このことから $X$ がベール空間であることが従う． ∎

チェック完備性が完全写像で保たれることも証明しておこう．

定理 13.

$X$, $Y$ を完全正則写像とし， $f:X\to Y$ を完全写像とする． このとき $X$ がチェック完備ならば $Y$ もそうである．

証明.

この文書では写像$f$ の小像を $f_{\mathrm{?}}$ とかく． つまり $A\subset X$ について $f_{\mathrm{?}}(A)=Y\setminus f(X\setminus A)$ である．

今$X$の完備列を $𝐔={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ とし， ${𝒰}_n={\{U_{i,n}\}}_{i\in I_n}$ と表示しよう． このとき ${𝒪}_n$ という記号で ${𝒰}_n$ の有限部分族の和集合からなる族とする． つまり ${𝒪}_n$ の元 $O$ は ${𝒰}_n$ の有限個の元$U_1,\mathrm{\dots }{U}_m$ を用いて $O={\bigcup }_{i=1}^m{U}_i$ と表すことができる． 次に各 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について ${𝒱}_n=\{f_{\mathrm{?}}(O)\mid O\in {𝒪}_n\}$ と定義する． このとき $f$が完全写像であることと ${𝒪}_n$ の定義から 各 ${𝒱}_n$ は $Y$の 開被覆になっている．

今から $𝐕={\{{𝒰}_n\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ が $Y$の 完備列になっていることを示そう． $𝔉$ を $Y$のフィルターであって 各 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ について ${𝒱}_n\cap 𝔉\ne \mathrm{\varnothing }$ となるものとする． このとき $𝔊=\{f^{-1}(F)\mid F\in 𝔉\}$ と定義すると $𝔊$ は$X$の上のフィルターであり， ${𝒪}_n\cap 𝔊\ne \mathrm{\varnothing }$ を満たす． ここでさらに$𝔄$ を$𝔊\subset 𝔄$ を満たすような極大フィルターとする． このとき$𝔄$ が極大であることと ${𝒪}_n$ の定義から ${𝒰}_n\cap 𝔄\ne \mathrm{\varnothing }$ となる(この部分がこの証明のポイントである，${𝒰}_n$の元の小像全体は 被覆とは限らないが$f$による点の逆像がコンパクトであることを用いると ${𝒰}_n$の元の有限和集合の族${𝒪}_n$の元の小像全体${𝒱}_n$ が$Y$の被覆になることがわかる， ここで有限和集合をとっているが極大フィルターをとることで埋め合わせをしている，一般に極大フィルター$𝔄$について $A\cup B\in 𝔄$ ならば$A$か$B$の少なくとも一つは $𝔄$に属するのである)．

よって$𝐔$ が完備列であることから

$$\bigcap _{A\in 𝔄}{\mathrm{CL}}_X(A)\ne \mathrm{\varnothing }$$

である． ここで $𝔊\subset 𝔄$ なので

$$\bigcap _{A\in 𝔄}{\mathrm{CL}}_X(A)\subset \bigcap _{G\in 𝔊}{\mathrm{CL}}_X(G)$$

が成り立つ． 特に

$$\bigcap _{G\in 𝔊}{\mathrm{CL}}_X(G)\ne \mathrm{\varnothing }$$

である． ここで$f$は連続写像なので任意の$A\subset X$ について $f({\mathrm{CL}}_X(A))\subset {\mathrm{CL}}_Y(f(A))$ が成り立つ． よって $𝔊$ の定義から

$$f\left(\bigcap _{G\in 𝔊}{\mathrm{CL}}_X(G)\right)\subset \bigcap _{G\in 𝔊}{\mathrm{CL}}_Y(f(G))=\bigcap _{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_Y(F)$$

なので， ${\bigcap }_{G\in 𝔊}{\mathrm{CL}}_X(G)\ne \mathrm{\varnothing }$ から ${\bigcap }_{F\in 𝔉}{\mathrm{CL}}_Y(F)\ne \mathrm{\varnothing }$ となる． これで $𝐕$ が完備列であることがわかった． ∎

参考文献