論文メモ
— エルデシュ的な話：代数？ —

本棚を整理したいので， 溜まっている論文のメモを書いて未来への手紙とすることにする．

以下はなんかエルデシュっぽい数学で和に関する 話題を集めた論文の束だと思う．

すごく当たり前の話だが， 実数$ℝ$を$\mathbb{Q}$上の代数 と考えた時の超越次数は連続体濃度になる． ゆえに 選択公理を 仮定すれば連続体濃度をもつ実数の部分集合であって， $\mathbb{Q}$上代数的独立なもの をとることができる． フォン・ノイマンの 論文 [6] では 超越基底ではないが， とにかく連続体濃度をもつ 代数的独立な次数の部分集合を構成している． 正の実数$t$に関して $A_t$ を

$$A_t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{2^{\lfloor tn\rfloor -2^{n^2}}}$$

と定義すると 集合 $\{A_t\mid t\in (0,\mathrm{\infty })\}$ は代数的独立集合になるし， $t$が異なると$A_t$も異なる． これはもちろんZFの定理である．

論文 [1] は上のフォンノイマンの論文を読んで 自分でも代数的独立な実数を作りたいと思って 参考にした論文だと思う．

エルデシュとストーンの定理 [4] は 実数のボレル部分集合$A$ と$B$であって $A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$ が ボレルにならない例を構成している． 特に彼らの集合はコンパクト集合と $G_{\delta }$集合である． コンパクト集合と閉集合の和が閉集合になることは 一般の位相群でも証明できる事柄である． このことから特に一般の位相群でもコンパクト集合と $F_{\sigma }$集合の和が$F_{\sigma }$ ということがわかる． 特に距離化可能な位相群であれば コンパクト集合と開集合の和が $F_{\sigma }$になることがわかる． ということで彼らの構成した和がボレルに ならないコンパクト集合と $G_{\delta }$集合というのはわかっていることと わかっていなかたことのちょうど境目である．

エルデシュとキューネンの論文 [3] は ボレルではなく，もっと 測度論的話である． 特に$ℝ$の二つの部分$\mathbb{Q}$線型空間 $G_1$, $G_2$であって， $G_1+G_2=ℝ$ でなおかつこれら二つの集合の測度 が$0$になるものを構成している． ここら辺から集合論っぽい感じになる．

論文 [7] は上のエルデシュ・キューネンの論文を受けて， 何やらユークリッド空間のパラドキシカルな 分解について研究しているようだ． バナッハ・タルスキーの話の仲間．

論文 [8] は普遍零集合の話らしい． ${ℝ}^n$の部分集合が普遍零集合 (universal null set) であるとは ${ℝ}^n$上のルベーグ測度に関して連続 な任意のボレル測度$\mu$について零集合になることである． よくわかんないけど，普遍零集合の和などを考察しているようだ．$Q$-set とか出てくる．

論文 [2] ではボレル集合と和の話を深掘りしているようだ． $\sigma$-ideal とか射影集合とか出てくる．

プレプリント [5] は (一般の)カントール集合を含むような $ℝ$の部分体やベルンシュタイン集合を含むような部分体を 考察しているようだ．