Lebesgue–Stieltjes Measure

ナンブキトラ

HTML変換日：2026年7月26日

この文章ではLebesgue–Stieltjes測度を構成してゆく．つまり以下の定理を証明する．

定理 1.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする．このとき， $\mathbb{R}$ 上の測度 $\mu_{\phi}$ で，任意の $a,b\in[-\infty,\infty]$ で $a<b$ を満たすものに対して

\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

となるものが存在する．

1 Riesz–Markov–Kakutaniによる方法

以下の内容については[2]や [3]を読んでも良い．

定義 2.

$X$ を局所コンパクトハウスドルフ空間とする．このとき $X$ 上の測度 $\mu$ がRMK測度であるとは以下の条件を満たすときにいう

(1)

$\mu$ は $[0,\infty]$ に値をとるボレル測度である．
(2)

$X$ の任意のコンパクト集合 $K$ について $\mu(K)<\infty$
(3)

$X$ の任意のボレル集合は外部正則である．つまり $\mu(E)=\inf\{\mu(V)\ |\ V\in\mathfrak{O}_{X}\ E\subset V\}$ が成り立つ．ここで $\mathfrak{O}_{X}$ は $X$ の開集合系である．
(4)

$E$ が開集合もしくは $\mu(E)<\infty$ ならば $E$ はコンパクト正則である．つまり， $\mu(E)=\sup\{\mu(K)\ |\ K\in Cpt(X)\ K\subset E\}$ が成り立つ．ここで $Cpt(X)$ は $X$ のコンパクト集合全体である．

$X$ 上のRMK測度全体を $M(X)$ と書くことにする $X$ 上の符号付き測度で二つのRMK測度の差で表されるもの全体を $S(X)$ と書くことにする．

定義 3.

$X$ を位相空間とする．このとき $C(X)$ で $X$ 上の実連続関数全体の集合を表す・ $C_{b}(X)$ で $X$ 上の有界実連続関数全体の集合を表す．また， $X$ が距離空間で距離関数 $d$ を備えているとき， $C_{u}(X)$ で $X$ 上の( $d$ に関して)一様連続な実関数全体を表す． $d$ を明示的に書いていないが，以下では紛れがないので心配は無用である．また，以下では $C_{b}(X)$ には $\sup$ ノルムが備わっているとする．

以下の定理はRiesz–Markov–Kakutaniの表現定理の一つの形態である．

定理 4.

$X$ をコンパクトハウスドルフ空間とする．このとき

C_{b}(X)^{*}=C(X)^{*}=S(X).

である．より詳しく述べると， $\mu\in C_{b}(X)^{*}$ に対して二つのRMK測度 $\alpha$ と $\beta$ が（差を除いて）一意的に対応して，任意の $f\in C_{b}(X)$ に対して

\mu(f)=\int_{X}f\ d\alpha-\int_{X}f\ d\beta

が成り立つ．特に非負な $\mu\in C_{b}(X)^{*}$ つまり $f\geq 0$ ならば $\mu(f)\geq 0$ を満たすような $\mu$ は通常の意味での測度（非負の値しか取らない測度）に対応する．

定義 5.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. このとき，任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $L_{\phi,n}:C_{c}(\mathbb{R})\mathbb{R}$ を以下のように定義する．

L_{\phi,n}(f)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{i}{2^{n}}\right)\left(\phi% \left(\frac{i}{2^{n}}\right)-\phi\left(\frac{i-1}{2^{n}}\right)\right)

と定義する． $f$ の台がコンパクトなので，これは有限和である．

補題 6.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. 任意の $f\in C_{c}(\mathbb{R})$ に対して $\lim_{n\to\infty}L_{\phi,n}(f)$ が存在する．

証明.

$M>0$ を $\operatorname{supp}(f)\subset[-M,M]$ を満たすものとし， $C=\phi(2M)-\phi(-2M)$ とする．任意に $\varepsilon>0$ を与える．このとき $f$ は一様連続なので，ある $\delta$ が存在して， $|x-y|<\delta$ ならば $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/C$ を満たす． $N\in\mathbb{N}$ を $2^{-N}<\delta$ とすると， $N<m<n$ をみたす $n,m\in\mathbb{N}$ について， $\{a_{i}\}\subset\mathbb{R}$ を $0\leq k<2^{n-m}$ ならば $a_{i+k}=a_{i}$ とし， $a_{k(2^{n-m})}=k$ と定義すると，

L_{\phi,m}(f)\sum_{i=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{a_{i}}{2^{n}}\right)\left(% \phi\left(\frac{i}{2^{n}}\right)-\phi\left(\frac{i-1}{2^{n}}\right)\right)

となるから，

	$\displaystyle\|L_{\phi,n}(f)-L_{\phi,m}(f)\|$	$\displaystyle=\sum_{i=-\infty}^{\infty}\left\|f\left(\frac{i}{2^{n}}\right)-f% \left(\frac{a_{i}}{2^{-n}}\right)\right\|\left(\phi\left(\frac{i}{2^{n}}\right)% -\phi\left(\frac{i-1}{2^{n}}\right)\right)$
		$\displaystyle<\frac{\varepsilon}{C}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\left(\phi\left(% \frac{i}{2^{n}}\right)-\phi\left(\frac{i-1}{2^{n}}\right)\right)\leq\varepsilon$

を得る．つまり， $\{L_{\phi,n}(f)\}_{n\in\mathbb{N}}$ はコーシー列なので， $\lim_{n\to\infty}L_{\phi,n}(f)$ が存在する． ∎

定義 7.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. このとき， $L{\phi}:C_{c}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ を

L_{\phi}(f)=\lim_{n\to\infty}L_{\phi,n}(f)

と定義する．

補題 8.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. このとき $L_{\phi}$ は正値線形形式である．

証明.

各 $L_{\phi,n}$ が正値線形形式だからその極限で定義される $L_{\phi}$ もそうである.

∎

定義 9.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. 上の補題 8 とRMKから， $L_{\phi}$ に対応する RMK測度が存在する．これを $\mu_{\phi}$ と書くことにする．もちろん

L_{\phi}(f)=\int_{\mathbb{R}}f\ d\mu_{\phi}

が成り立つ．

命題 10.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする. このとき任意の $a,b\in[-\infty,\infty]$ で $a<b$ を満たすものに対して

\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

が成り立つ．

証明.

まず最初に, $a, b$ が $s,t\in\mathbb{Z}$ で $N\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ を使って $a=s/2^{N}$ , $b=t/2^{N}$ と表される場合に等式を証明する． $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ を $N<n$ として， $c_{n}=(s2^{n-N}+1)/2^{N}$ , $d_{n}=(t2^{n-N}+1)/2^{N}$ とおく．このとき $f_{n}\in C_{c}(\mathbb{R})$ を以下のように定義する．

\displaystyle f_{n}(x)=\begin{cases}\frac{1}{c_{n}-a}(x-a)&\text{if }x\in[a,c_% {n}]\\ 1&\text{if }x\in[c_{n},b]\\ \frac{-1}{d_{n}-b}(x-d_{n})&\text{if }x\in[b,d_{n}]\\ 0&\text{o. w. }\end{cases}

すると， $n\to\infty$ のとき $f_{n}\to\chi_{(a,b]}$ なので，

\mu_{\phi}((a,b])=\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_{n}\ d\mu_{\phi}=\lim_{n% \to\infty}L_{\phi}(f_{n})

である． $m>n$ として， $L_{\phi,m}(f_{n})$ を計算する．

|L_{\phi,m}(f_{n})-(\phi(b)-\phi(a))|\leq(\phi(d_{n})-\phi(b))+(\phi(c_{n})-% \phi(a))

となるので特に

|L_{\phi}(f_{n})-(\phi(b)-\phi(a))|\leq(\phi(d_{n})-\phi(b))+(\phi(c_{n})-\phi% (a))

である． $\phi$ は右連続なので， $n\to\infty$ のとき右辺は $0$ に近づくから，

\lim_{n\to\infty}L_{\phi}(f_{n})=\phi(b)-\phi(a)

よって

\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

がわかる． $a, b$ が一般の場合には，測度論を使えばわかる．つまり， $a_{n}$ と $b_{n}$ を $s/2^{N}$ $(s\in\mathbb{Z},N\in\mathbb{Z}_{\geq 0})$ の形で表される数で $a<a_{n}$ と $b<b_{n}$ を満たし $\lim_{n\to\infty}a_{n}=a$ と $\lim_{n\to\infty}b_{n}=b$ を満たすものとする．すると $\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}\bigcap_{m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}(a_{n},b_{m}% ]=(a,b]$ なので，有限測度に関する極限公式と $\phi$ の右連続性を使えば $\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)$ がわかる． ∎

2 分位関数を使う方法

この節では， Lebesgue–Stieltjes測度の存在を Quantile function（分位関数）を使って証明する．ただし，通常のLebesgue測度の存在は前提とする点には注意しよう．

定義 11.

$\phi$ を $\mathbb{R}$ 上の右連続な単調増加関数とする．このとき， $I_{\phi}=[\inf\phi,\sup\phi]\cap\mathbb{R}$ と定義する（ここでわざわざ $\mathbb{R}$ との共通部分をとっているのは， $\sup$ や $\inf$ が $\infty$ や $-\infty$ の値を取る場合を見越してのことであり，そうでない場合には余計なものである）． $\phi$ の分位関数 $Q_{\phi}:I_{\phi}\to\mathbb{R}$ を以下のように定義する．

Q_{\phi}(w)=\inf\{\,x\in\mathbb{R}\mid w\leq\phi(x)\,\}

分位関数のことを一般化した逆関数と呼んだりもする．

補題 12.

任意の $w\in I_{\phi}$ と $x\in\mathbb{R}$ について $w\leq\phi(x)$ と $Q_{\phi}(w)\leq x$ は同値である．

証明.

まず $w\leq\phi(x)$ を仮定する．このとき $Q_{\phi}$ の定義から $Q_{\phi}(w)\leq x$ である．

逆に $Q_{\phi}(w)\leq x$ を仮定する．このとき $\phi$ の右連続性から $\{\,z\in\mathbb{R}\mid w\leq\phi(z)\,\}$ は閉集合であるからこの集合の $\inf$ である $Q_{\phi}(w)$ もこの集合に属する．よって $w\leq\phi(Q_{\phi}(w))$ である．今， $Q_{\phi}(w)\leq x$ と仮定しているので， $\phi$ の単調性から $w\leq\phi(x)$ である． ∎

系 13.

$x\in\mathbb{R}$ を固定すると

\{\,w\in I_{\phi}\mid Q_{\phi}(w)\leq x\,\}=\{\,w\in I_{\phi}\mid w\leq\phi(x)\,\}

が成り立つ．

補題 14.

$\phi$ を $\mathbb{R}$ 上の右連続な単調増加関数とする．このとき任意の $y\in I_{\phi}$ について $y\leq\phi(Q_{\phi}(y))$ が成り立つ．また，任意の $x\in\mathbb{R}$ について $Q_{\phi}(\phi(x))\leq x$ が成り立つ．

証明.

まず当然 $Q_{\phi}(y)\leq Q_{\phi}(y)$ なので先の補題から $y\leq\phi(Q_{\phi}(y))$ が成り立つ．また，当然 $\phi(x)\leq\phi(x)$ なので，当然 $Q_{\phi}(\phi(x))\leq x$ が成り立つ． ∎

補題 15.

$\phi$ を $\mathbb{R}$ 上の右連続な単調増加関数とする．このとき $Q_{\phi}$ は右連続な単調増加関数である．

証明.

記述を簡単にするために $Q=Q_{\phi}$ と書くことにする． $Q$ の単調性は定義から従う．

$w$ を任意に固定する． $\sup_{y<w}Q(w)=x$ とおく．すると $x\leq Q(w)$ である． $y<w$ となる $y$ を任意にとる．今 $x<Q(w)$ と仮定して $\epsilon=(Q(w)-x)/2$ とする．ここで，もしも $w\leq\phi(x-\epsilon)$ とすると $Q(w)\leq x-\epsilon<x$ となるがこれは仮定に反するので $\phi(x-\epsilon)<w$ である．さらに， $Q(y)\leq Q(w)$ より， $Q(y)+\epsilon\leq x-\epsilon$ が成り立つ．よって $y\leq\phi(Q(y))\leq\phi(Q(y)+\epsilon)\leq\phi(x-\epsilon)<w$ である．ゆえに $w\leq\phi(x-\epsilon)<w$ となって矛盾する．つまり $Q(w)=x$ であり， $Q$ の左連続性が示された． ∎

まず最初に $\phi$ が有界な場合にLebesgue–Stieltjes測度を構成する.

定理 16.

$\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を右連続な非減少関数とする．さらに $\phi$ は有界であると仮定する．このとき， $\mathbb{R}$ 上の測度 $\mu_{\phi}$ で，任意の $a,b\in[-\infty,\infty]$ で $a<b$ を満たすものに対して

\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

となるものが存在する．

証明.

$I_{\phi}$ 上の通常のルベーグ測度を $\nu$ と書くことにする．そして $\mu=(Q_{\phi})_{*}\nu$ と書くことにしよう．ここで $Q_{\phi}$ は左連続だから特にボレル可測であることに注意しよう．この $\mu$ が求めている測度であることを以下で証明しよう．まず任意の $x\in\mathbb{R}$ について $\mu((-\infty,x])=\nu(Q_{\phi}^{-1}((-\infty,x]))$ であるが，

Q_{\phi}^{-1}((-\infty,x])=\{\,w\in I_{\phi}\mid Q_{\phi}(w)\leq x\,\}=\{\,w% \in I_{\phi}\mid w\leq\phi(x)\,\}

であるから， $\mu((-\infty,x])=\phi(x)-\inf\phi$ である． $\phi$ が有界なので，この値は有限の値であることに注意しよう．よって

\mu((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

となる． ∎

次に $\phi$ が一般の場合にLebesgue–Stieltjes測度を構成しよう．

定理 17.

\mu_{\phi}((a,b])=\phi(b)-\phi(a)

となるものが存在する．

証明.

各 $n$ について $\phi_{n}i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $\phi_{n}(s)=\min\{\max\{\phi(s),-n\},n\}$ と定義する．これは

\phi_{n}(s)=\begin{cases}n&n\leq\phi(s)\text{のとき}\\ \phi(s)&-n\leq\phi(s)<n\text{のとき}\\ -n&\phi(s)<-n\text{のとき}\end{cases}

と書いても同じことである．この関数 $\phi_{n}$ は有界で右連続な単調関数になっている．よって先の定理から各 $n$ について

\mu_{n}((a,b])=\phi_{n}(b)-\phi_{n}(a)

となる測度 $\mu_{n}$ が存在する． $\phi_{n}$ は右連続なので二つの集合 $\{\,s\in\mathbb{R}\mid n\leq\phi(s)\,\}$ と $\{\,s\in\mathbb{R}\mid-n\leq\phi(s)\,\}$ には最小元が存在する． $\phi$ は単調増加なので $m_{n}\leq M_{n}$ である．それをそれぞれ $M_{n}$ , $m_{n}$ と書くことにする．まず任意の $n$ と $A\in\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ について $\mu_{n}(A)=\mu_{n}(A\cap[m_{n},M_{n}])$ が成り立つことを示そう．この式が成り立つ $A$ 全体を $\mathfrak{S}$ とおく．すると $\mathfrak{S}$ は $(a,b]$ の形の集合を全て含んでいる． $\mathfrak{S}$ が $\lambda$ 系であることを示そう． $X\in\mathfrak{S}$ $(\lambda 1)$ と $\mathfrak{S}$ が単調な族について閉じている $(\lambda 2)$ ことは簡単にわかる． $\mu_{n}(B\setminus A)=\mu_{n}(B)-\mu_{n}(A)=\mu_{n}(B\cap[m_{n},M_{n}])-\mu_{n% }(A\cap[m_{n},M_{n}])=\mu_{n}((B\setminus A)\cap[m_{n},M_{n}])$ なので $(\lambda 3)$ も成り立つ．よって $\pi$ - $\lambda$ 定理によって， $\mathfrak{S}=\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ となることがわかる．

同様にして，任意の $n$ と $A\in\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ について

\mu_{n}(A\cap I_{n})=\mu_{n+1}(A\cap I_{n})

となることがわかる．

次に任意の $n$ と $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ について $\mu_{n}(A)\leq\mu_{n+1}(A)$ となることを示す．まず $I_{n}=[m_{n},M_{n}]$ と置くと，定義から $I_{n}\subset I_{n+1}$ となることがわかる．よって $\mu_{n}(A)=\mu_{n}(A\cap I_{n})=\mu_{n+1}(A\cap I_{n})\leq\mu_{n+1}(A\cap I_{n% })+\mu_{n+1}(A\cap(I_{n+1}\setminus I_{n}))=\mu_{n+1}(A\cap I_{n+1})$ なので成り立つ．

関数 $\mu:\mathfrak{B}(\mathbb{R})\to[0,\infty]$ を $\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu_{n}(A)$ と定義する． $\mu_{n}$ の単調性からこの極限は存在する．この $\mu$ があの式を満たすことは $\phi_{n}$ が $\phi$ に各点収束することからわかる． $\mu$ が測度であることを示そう．完全加法性を示せば良い． $\sum$ に関する単調収束定理，つまり数え上げ測度に関する単調収束定理から

	$\displaystyle\mu\left(\coprod_{i\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}A_{i}\right)$	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\mu_{n}\left(\coprod_{i\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}A% _{i}\right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{\infty}\mu_{n}\left(A_{i}\right)=\sum% _{i=0}^{\infty}\lim_{n\to\infty}\mu_{n}\left(A_{i}\right)$
		$\displaystyle=\sum_{i=0}^{\infty}\mu\left(A_{i}\right)$

よって $\mu$ は完全加法的である．以上で一般の $\phi$ に対しても Lebesgue–Stieltjes測度が存在することがわかった． ∎

3 おまけ： $\mathbb{R}$ についてのProkhorovの定理

$\mathbb{R}$ に対するProkhovの定理はHellyの選出定理を使えば比較的簡単に示せるので，おまけとして紹介する．

以下の定理の証明は[1]などを参考にしても良い．

定理 18 (Hellyの選出定理).

$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $[0,1]$ に値をとる右連続な非減少関数の列とする．このとき部分列 $\{F_{\phi(n)}\}$ とある右連続な非減少関数 $F$ が存在して $F$ の連続点 $x\in\mathbb{R}$ 毎に

\lim_{n\to\infty}F_{\phi(n)}(x)=F(x)

を満たす．

定理 19 ( $\mathbb{R}$ についてのProkhorovの定理).

$\mathcal{S}\subset\mathcal{P}(\mathbb{R})$ とする．このとき以下は同値である．

(1)

$\mathcal{S}$ は相対コンパクトである．
(2)

$\mathcal{S}$ は緊密である．

証明.

相対コンパクト性から緊密性を示す．

\ \forall\epsilon\in(0,1)\ \exists m\in\mathbb{N}\ \forall\mu\in\mathcal{S}\ % \mu((-m,m))\geq 1-\epsilon

を示そう．背理法による．

\ \exists\epsilon\in(0,1)\ \forall m\in\mathbb{N}\ \exists\mu\in\mathcal{S}\ % \mu((-m,m))<1-\epsilon

を仮定する．各 $m\in\mathbb{N}$ について対応する測度を $\mu_{m}$ とかく．このとき， $\mathcal{S}$ のコンパクト性から，部分列 $\{m_{i}\}$ と $\{\mu_{i}\}$ が存在して $x\leq m_{i}$ ならば

\mu_{i}((-x,x))<1-\epsilon

と

\mu_{i}\Longrightarrow\mu

が成り立つ．そして弱収束していることと $m_{i}\to\infty$ から任意の $x\in\mathbb{R}$ について

\mu((-x,x))\leq\liminf_{i\to\infty}\mu_{i}((-x,x))\leq 1-\epsilon

が成り立つが， $x\to\infty$ とすると， $1\leq 1-\epsilon$ となるので矛盾する．

今度は逆を示そう． $\mathcal{S}$ は緊密であるとする．このとき

\forall N\in\mathbb{N}\ \exists M_{N}\in\mathbb{N}\ \forall\mu\in\mathcal{S}\ % \mu([-M_{N},M_{N}])\geq 1-2^{-N}\land M_{N}\geq N

が成り立つ． $\mathcal{S}$ 内の部分列 $\{\mu_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ をとる． $\mu_{n}$ の分布関数を $F_{n}$ と書くことにする．このとき， Hellyの選出定理から $F_{n}$ の部分列と単調非減少関数 $F$ で， $F$ の連続点について各点収束する．緊密性から， $M_{N}\leq x$ を満たす $x$ について

1\geq F_{n}(x)-F_{n}(-x)\geq 1-2^{-N}

であり， $F$ の不連続点は高々可算個しかないので， $x$ を連続点として $n\to\infty$ とすると，

1\geq F(x)-F(-x)\geq 1-2^{-N}

が成り立つ． $x\to\infty$ とすると，

\lim_{x\to\infty}(F(x)-F(-x))=1

が成り立つ．また， $\lim_{x\to\infty}F(-x)=0$ は $F_{n}$ の収束先であることからすぐわかるので，この文章の前半で頑張って示した内容から $F$ はある確率測度 $\mu$ の分布関数になる．つまり， $\mu_{n}\Longrightarrow\mu$ となるので， $\mathcal{S}$ が相対コンパクトであることがわかる． ∎

References

[1] はてなブログ電波通信の記事「Helly空間とHellyの選出定理」, https://concious4410.hatenablog.com/entry/2021/03/25/100947
[2] はてなブログ電波通信の記事「リース・マルコフ・角谷の表現定理の証明(入射角16.225°の測度論入門2)」, https://concious4410.hatenablog.com/entry/2015/10/28/213025
[3] はてなブログ電波通信の記事「Riesz-Markov-Kakutaniの表現定理II」, https://concious4410.hatenablog.com/entry/2020/02/02/213341
[4] 伊藤清三，「ルベーグ積分入門」， 1963年，裳華房．
[5] 船木直久, 「確率論」, 講座・数学の考え方 20，2004, 朝倉書店．

Lebesgue–Stieltjes Measure

定理 1.

1 Riesz–Markov–Kakutaniによる方法

定義 2.

定義 3.

定理 4.

定義 5.

補題 6.

証明.

定義 7.

補題 8.

証明.

定義 9.

命題 10.

証明.

2 分位関数を使う方法

定義 11.

補題 12.

証明.

系 13.

補題 14.

証明.

補題 15.

証明.

定理 16.

証明.

定理 17.

証明.

3 おまけ：ℝについてのProkhorovの定理

定理 18 (Hellyの選出定理).

定理 19 (ℝについてのProkhorovの定理).

証明.

References

3 おまけ： $\mathbb{R}$ についてのProkhorovの定理

定理 19 ( $\mathbb{R}$ についてのProkhorovの定理).