Radon-Nikodymの定理

ナンブキトラ

HTML変換日：2026年7月26日

この文章ではRadon-Nikodymの定理を証明する．

定義 1.

$(X,\mathfrak{M})$ を測度空間とし， $\mu$ をその上の測度とする．このとき $L^{p}(\mu)$ で $\mu$ に関する $L^{p}$ 関数全体を表す．つまり $f\in L^{p}(\mu)$ であるとは $f:X\to\mathbb{R}$ であって可測であり，

\int_{X}|f|^{p}\ d\mu<\infty

を満たすもの全体である．

空間 $L^{2}(\mu)$ はヒルベルト空間になることに注意しよう．

補題 2.

$(X,\mathfrak{M})$ を測度空間とし， $\alpha$ をその上の $\sigma$ 有限な測度とする．このとき可測関数 $u:X\to(0,1)$ で $y\in L^{1}(\alpha)$ を満たすものが存在する．

証明.

$\{A_{i}\}_{i\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}$ を

(1)

各 $A_{i}$ は可測
(2)

$\bigcup_{i\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}A_{i}=X$
(3)

$i\neq j$ ならば $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$
(4)

と任意の $i$ について $\alpha(A_{i})<\infty$

を満たすものとする．そして $u:X\to(0,1)$ を

u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi_{A_{n}}(x)}{2^{n}(1+\alpha(A_{n}))}

と定義すれば求める条件は満たされる． ∎

定義 3.

$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とし， $\alpha$ , $\beta$ をその上の測度とする．このとき $\alpha$ が $\beta$ に関して絶対連続であるとは， $\beta(A)=0$ となる $A\in\mathfrak{M}$ について $\alpha(A)=0$ となることである．このとき $\alpha\ll\beta$ と表し， $\alpha\ll\beta$ かつ $\beta\ll\alpha$ になるとき $\alpha\equiv\beta$ と表す．この $\equiv$ は同値関係になる．また，ある $A\in\mathfrak{M}$ が存在して $\alpha(A)=0$ と $\beta(X\setminus A)=0$ を満たすときに $\alpha$ は $\beta$ について特異的であるといい， $\alpha\perp\beta$ と書く．この $\perp$ は同値関係になる．

補題 4.

$(X,\mathfrak{M})$ を測度空間とし， $\alpha,\beta,\gamma$ をその上の測度とする．もしも $\alpha\equiv\beta$ が成り立つならば以下が成り立つ．

(1)

$\beta\ll\gamma$ ならば $\alpha\ll\gamma$ が成り立つ.
(2)

$\gamma\ll\beta$ ならば $\gamma\ll\alpha$ が成り立つ.
(3)

$\beta\perp\gamma$ ならば $\alpha\perp\gamma$ が成り立つ．

証明.

証明は省略する． ∎

補題 5.

$(X,\mathfrak{M})$ を測度空間とし， $\alpha$ をその上の測度とし， $\phi\in L^{1}(\alpha)$ とする．そして測度 $\beta$ を

(1)

\beta(E)=\int_{E}\phi\ d\alpha

と定義すると， $\beta\ll\alpha$ であり，任意の $f\in L^{1}(\beta)$ について

\int_{X}f\ d\beta=\int_{X}f\phi\ d\alpha

が成り立つ．また測度 $\beta$ についてある $\phi$ が存在して(1) のように表されるのならば $\beta\ll\alpha$ となる．

証明.

$\beta$ の定義から任意の $E\in\mathfrak{M}$ について

\int_{X}\chi_{E}\ d\beta=\int_{X}\chi_{E}\phi\ d\alpha

が成り立つ．つまり特性関数については補題の結論は成り立つ．このことから単関数についても成り立つし，単関数近似から一般の可測関数についても成り立つ．後半は明らかである． ∎

補題 6 (リースの表現定理).

$(H,\langle\cdot,\cdot\rangle_{H})$ をヒルベルト空間とする．このとき任意の連続な線形写像 $f:H\to\mathbb{R}$ に対して $a\in H$ ご存在して任意の $x\in H$ について $f(x)=\langle x,a\rangle_{H}$ が成り立つ．

以下の定理がラドン・ニコディムの定理である．

定理 7.

$(X,\mathfrak{M})$ を測度空間とし， $\mu$ ， $\nu$ をその上の $\sigma$ 有限な測度とする．このとき $(X,\mathfrak{M})$ 上の測度 $\nu_{a}$ と $\nu_{s}$ が存在して以下を満たす．

(1)

$\nu_{s}\perp\mu$ と $\nu_{a}\ll\mu$ を満たす．
(2)

$(1)$ のような分解は一意的である．
(3)

可測関数 $D:X\to\mathbb{R}$ が存在して任意の $A\in\mathfrak{M}$ について $\nu_{a}(A)=\int_{A}D\ d\mu$ が成り立つ．

証明.

$(2)$ はすぐにわかる．

$(1)$ を示そう．補題 2から $s,t:X\to(0,1)$ を $s\in L^{1}(\mu)$ で $t\in L^{1}(\nu)$ を満たすものとする．そして $(X,\mathfrak{M})$ 上の測度 $\lambda$ , $\theta$ を

\lambda(A)=\int_{A}s\ d\mu

\theta(A)=\int_{A}t\ d\nu

と定義する． $\lambda$ , $\theta$ は有限測度であることに注意しよう．また

(2)		$\displaystyle\mu(A)=\int_{A}\frac{1}{s}\ d\lambda$
(3)		$\displaystyle\nu(A)=\int_{A}\frac{1}{t}\ d\theta$

なので $\lambda\equiv\mu$ と $\theta\equiv\nu$ に注意しよう． $\phi=\lambda+\theta$ と定義する．すると，コーシーシュワルツの不等式から $f\in L^{2}(\phi)$ に対して

\left|\int_{X}f\ d\theta\right|\leq\int_{X}|f|\ d\theta\leq\int_{X}|f|\ d\phi% \leq\phi(X)\cdot\sqrt{\int_{X}|f|^{2}\ d\phi}<\infty

を得る．ここで $s\in L^{1}(\mu)$ , $t\in L^{1}(\nu)$ なので $\phi(X)=\lambda(X)+\theta(X)<\infty$ であることを用いている．よって $f\in L^{2}(\phi)$ に対して $\int_{X}f\ d\theta$ と定義される線形形式は $L^{2}(\phi)$ 上の有界作用素となる．よって $L^{2}(\phi)$ がヒルベルト空間であることから補題 6を使うと任意の $f\in L^{2}(\phi)$ に対して

(4)

\int_{X}f\ d\theta=\int_{X}fg\ d\phi

となる $g\in L^{2}(\phi)$ が存在する．さて $\phi(E)>0$ となる可測集合 $E$ について， $f=\chi_{E}$ とすると

\int_{E}g\ d\phi=\theta(E)

となる．よって特に

(5)

0\leq\frac{1}{\phi(E)}\int_{E}g\ d\phi\leq 1

となる．ここで，背理法のために $S=\{\,x\in X\mid 1<g(x)\,\}$ が $\phi$ に関して正の測度を持つと仮定しよう． $\epsilon$ に対して $T_{\epsilon}=\{\,x\in X\mid 1+\epsilon<g(x)\,\}$ と仮定すると

S=\bigcup_{\epsilon\in\mathbb{Q}_{>0}}T_{\epsilon}

が成り立つ．よってある $\epsilon\in\mathbb{Q}_{>0}$ が存在し， $T_{\epsilon}=\{\,x\in X\mid 1+\epsilon<g(x)\,\}$ が $\phi$ に関して正の測度をもつ．よって式 (5)から

1<1+\epsilon\leq\frac{1}{\phi(T_{\epsilon})}\int_{T_{\epsilon}}g\ d\phi\leq 1

となり矛盾する．よってほとんど至る所 $g\leq 1$ である．同様にほとんど至る所 $0\leq g$ であることがわかる．つまりほとんど至る所 $0\leq g(x)\leq 1$ である．さて式 (4)を変形して

(6)

\int_{X}f(1-g)\ d\theta=\int_{X}fg\ d\lambda

を得る．ここで $A=\{\,x\in X\mid 0\leq g(x)<1\,\}$ , $S=\{\,x\in X\mid g(x)=1\,\}$ と定義して $\theta_{a}(E)=\theta(E\cap A)$ , $\theta_{s}(E)=\theta(E\cap S)$ と定義する．式 (6)において $f=\chi_{S}$ とすれば， $\lambda(S)=0$ を得るので $\theta_{s}\perp\lambda$ がわかる．さて， $h$ を

h(x)=\begin{cases}\frac{g(x)}{1-g(x)}&\text{if }x\in A\\ 0&\text{その他 }\end{cases}

と定義する．各 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ , $E\in\mathfrak{M}$ について式 (6)において $f=(1+g+\dots+g^{n})\chi_{E\cap A}$ とおくと

\int_{E\cap A}1-g^{n+1}\ d\theta=\int_{E\cap A}g(1+g+\dots+g^{n})\ d\lambda

を得る．この式で $n\to\infty$ とすれば

\theta_{a}(E)=\theta(E\cap A)=\int_{E}h\ d\lambda

を得る．よって $\theta_{a}\ll\lambda$ である．ここで

\nu_{a}(A)=\int_{A}\frac{1}{t}\ d\theta_{a}

\nu_{s}(A)=\int_{A}\frac{1}{t}\ d\theta_{s}

とすれば $\nu_{a}\equiv\theta_{a}$ と $\nu_{s}\equiv\theta_{s}$ であり式 (3)から $\nu_{a}+\nu_{s}=\nu$ となり， $\lambda\equiv\mu$ から $\nu_{a}\ll\mu$ と $\nu_{s}\perp\mu$ が成り立つ．

$(3)$ を示そう．今

\nu(E)=\int_{E}\frac{1}{t}\ d\theta

なので

\nu_{a}(E)=\int_{E}\frac{1}{t}\ d\theta_{a}=\int_{E}\frac{h}{t}\ d\lambda=\int% _{E}\frac{sh}{t}\ d\mu

となるから

D=\frac{sh}{t}

とすれば良い． ∎

References

[1] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGRAW–Hill.