対角的交叉とFodorの補題

ナンブ　キトラ

HTML変換日：2026年7月26日

この文章では対角的交叉の基本的性質とFodorの補題を証明する．

定義 1 (club集合).

$\kappa$ を基数とする． $\kappa$ の非空で非有界な閉集合をclub集合という．“club”とは CLosed UnBounded という意味である．

定義 2.

$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ とし， $\kappa$ を基数とする．このとき $\kappa^{n}$ の部分集合 $A$ が対角的に非有界であるとは任意の $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}<\kappa$ について

A\cap\prod_{i=1}^{n}[\alpha_{i},\kappa)^{n}\neq\emptyset.

を満たすときにいう．

命題 3.

$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ とし， $\kappa$ を $\omega_{0}<\operatorname{cf}(\kappa)$ を満たす基数とする．そして $A$ と $B$ を $\kappa^{n}$ の対角的に非有界な閉部分集合とする．このとき $A\cap B$ も対角的に非有界な閉集合である．

証明.

$A\cap B$ が閉集合であることはわかるので対角的に非有界であることを示せば良い．任意に $\lambda\in\kappa$ を与えると非有界性から $[\lambda,\kappa)^{n}\cap A\neq\O$ である．そこで $a(0)\in[\lambda,\kappa)^{n}\cap A$ をとる． $a(0)=(a_{1}(0),\dots,a_{n}(0))$ と成分表示されているとする．次に $B$ が対角的に非有界であることから $\left(\prod_{i=1}^{n}[a_{i}(0),\kappa)\right)\cap B\neq\O$ であるのでここから元 $b(0)$ をとる．一般に $a(m)$ まで構成されたときに

b(m)\in\prod_{i=1}^{n}[a_{i}(m),\kappa)\cap B

と定義し， $b(m)$ まで構成されたときに

a({m+1})\in\prod_{i=1}^{n}[b_{i}(m),\kappa)\cap A

と定義する．このようにして $A$ 内の点列 $\{a(m)\}_{m\in\mathbb{N}}$ と $B$ 内の点列 $\{b(m)\}_{m\in\mathbb{N}}$ を得る．そして構成の仕方から各 $i\in\{1,\dots,n\}$ について

a_{i}(m)\leq b_{i}(m)\leq a_{i}(m+1)\leq b_{i}(m+1)

なので任意の $i$ について $\displaystyle\sup_{m\in\mathbb{N}}a_{i}(m)=\sup_{m\in\mathbb{N}}b_{i}(m)$ である．これを $\mu_{i}$ とおき， $\mu=(\mu_{1},\dots,\mu_{n})$ と定義すると $\mu\in[\lambda,\kappa)^{n}$ であり，また $\omega_{0}<\operatorname{cf}(\kappa)$ から $\mu_{i}<\kappa$ である． $A$ と $B$ が閉集合であることから $\mu\in A$ でかつ $\mu\in B$ なので $\mu\in A\cap B$ である．よって $A\cap B$ は非有界である． ∎

命題 4.

$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ とし， $\kappa$ を基数とする．そして $\{F_{\alpha}\}_{\alpha<\kappa}$ は $\kappa$ で添字付けられた $\kappa$ の閉集合族であり，任意の $\lambda\in\kappa$ について

F_{\lambda}=\bigcap_{\alpha<\lambda}F_{\alpha}

を満たすとする．このとき $\kappa^{2}$ の部分集合

\bigcup_{\alpha<\kappa}\{\alpha\}\times F_{\alpha}

は $\kappa^{2}$ の閉集合である．

証明.

$S=\bigcup_{\alpha<\kappa}\{\alpha\}\times F_{\alpha}$ とする． $(x,y)\not\in S$ とすると $y\not\in F_{x}$ である．仮定より

y\not\in\bigcap_{\alpha<x}F_{\alpha}

なので $\alpha<x$ が存在して $y\not\in F_{\alpha}$ である．よって $(\beta,y]\cap F_{\alpha}=\emptyset$ となる $\beta$ が存在する．このとき $\{F_{\alpha}\}_{\alpha<\kappa}$ の単調減少性から任意の $\gamma\in[\alpha,x]$ について $(\beta,y]\cap F_{\gamma}=\emptyset$ である．つまり $(\alpha,x]\times(\beta,y]\cap S=\emptyset$ となる． $x, y$ は任意であったので $S$ が閉集合であることがわかる． ∎

定義 5.

$\kappa$ を基数とし， $\{X_{\alpha}\}_{\alpha<\kappa}$ を $\kappa$ の部分集合族とする．このとき

\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}=\{\,\lambda% \in\kappa\mid\forall\alpha<\lambda\ \lambda\in X_{\alpha}\,\}

と定義する．この $\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}$ を $\{X_{\alpha}\}_{\alpha<\kappa}$ の対角的交叉と呼ぶ．

定理 6.

$\kappa$ を正則基数とし， $\{X_{\alpha}\}_{\alpha<\kappa}$ を $\kappa$ のclub集合の族とする．このとき $\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}$ は $\kappa$ のclubである．

証明.

任意の $\lambda<\kappa$ について

F_{\lambda}=\bigcap_{\alpha<\lambda}X_{\alpha}

と定義する． $\kappa$ が正則であることと各 $X_{\alpha}$ がclubであることから各 $F_{\alpha}$ もclubである．このとき

S=\bigcup_{\alpha<\kappa}\{\alpha\}\times F_{\alpha}

とするとこれは命題4より $\kappa^{2}$ の閉集合であり，さらに各 $F_{\alpha}$ がclubであることから $S$ は対角的に非有界である．さて

\mathord{\bigtriangleup}_{\kappa}=\{\,(x,x)\mid x<\kappa\,\}

とすると $\mathord{\bigtriangleup}_{\kappa}$ は明らかに $\kappa$ の対角的に非有界な閉集合である．ここで $\pi_{1}:\mathord{\bigtriangleup}_{\kappa}\to\kappa;(x,x)\mapsto x$ は同相写像であることに注意しよう．

命題3より $S\cap\mathord{\bigtriangleup}_{\kappa}$ は対角的に非有界な閉集合であり，

\pi_{1}(S\cap\mathord{\bigtriangleup}_{\kappa})=\operatorname*{\mathord{% \bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}

なので $\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}$ がclubであることがわかった．

∎

定義 7 (定常集合).

$\kappa$ を基数とする． $\kappa$ の部分集合 $S$ は $\kappa$ の任意のclub集合と交わりを持つとき、定常集合という．

定理 8 (Fodor’s lemma).

$\kappa$ を正則基数とする． $S$ を $\kappa$ の定常集合とし， $f\colon S\to\kappa$ は任意の $\alpha\in S$ について $f(\alpha)<\alpha$ を充たしているとする．このときある $\beta\in f(S)$ が存在して $f^{-1}(\beta)$ は定常集合になる．

証明.

背理法による．各 $\alpha\in f(S)$ に対して $f^{-1}(\alpha)$ が定常集合ではないとしよう．このとき $\kappa$ のclub集合 $X_{\alpha}$ が存在して $X_{\alpha}\cap f^{-1}(\alpha)=\emptyset$ となる． $\alpha\not\in f(S)$ に対しては $X_{\alpha}=\kappa$ と定義することにする．さて定理6より $\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}$ はclubになる．よって $\beta\in\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}\cap S$ をとることができる． $\gamma=f(\beta)$ とおくと仮定より $\gamma<\beta$ である． $\beta\in\operatorname*{\mathord{\bigtriangleup}}_{\alpha<\kappa}X_{\alpha}$ より $\beta\in X_{\gamma}$ であるが， $\beta\in f^{-1}(\gamma)$ でもあるので， $X_{\gamma}$ の定義に反する．よって定理が成り立つ． ∎

References

[1] 寺澤順, 現代集合論の探求, 日本評論社(2013)