体の乗法群の有限部分群について

電波通信

HTML変換日：2026年7月26日

この文章では体 $K$ の乗法群 $K^{\times}$ の有限部分群が巡回群であることを示す。この文章ではわかりやすさのために自然数の整除関係を $\preceq$ と書くことにする。つまり $n$ が $m$ の約数の時に $n\preceq m$ と書くのである。 $\leq$ と $\preceq$ の違いに注意せよ。また、この文書において体とは可換体を指すことに注意せよ。

定義 1.

群 $G$ の元 $a$ の位数 $\text{{\rm ord}}(a)$ を $a^{n}=e$ となる最小の $n$ として定義する。このような $n$ が存在しない場合には $\text{{\rm ord}}(a)=\infty$ とする。

命題 2.

群 $G$ の元 $a$ について $\text{{\rm ord}}(a)=n=xy$ とすると

\text{{\rm ord}}(a^{x})=y

となる。

証明.

まず、 $(a^{x})^{y}=a^{xy}=e$ なので、 $y\preceq\text{{\rm ord}}(a^{x})$ である。そして、 $a^{x\cdot\text{{\rm ord}}(a^{x})}=(a^{x})^{\text{{\rm ord}}(a^{x})}=e$ なので $x\cdot\text{{\rm ord}}(a^{x})\preceq n$ となる。以上から $y\preceq\text{{\rm ord}}(a^{x})\preceq y$ なので $y=\text{{\rm ord}}(a^{x})$ である。 ∎

準備のために次の整数に関する簡単な補題を証明する。

補題 3.

自然数 $n, m$ に対して $x, y, s, t$ が存在して $n=sx$ 、 $m=ty$ 、 $\gcd(x,y)=1$ 、 $xy=\operatorname{lcm}(n,m)$ を充す。

証明.

自然数 $n, m$ に対して $k$ 個の素数 $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ と $a_{1},a_{2},\dots,a_{k}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ と $b_{1},b_{2},\dots,b_{k}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ が存在して

n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}}

m=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\cdots p_{k}^{b_{k}}

と書ける。このとき

\operatorname{lcm}(n,m)=p_{1}^{\max(a_{1},b_{1})}p_{2}^{\max(a_{2},b_{2})}% \cdots p_{k}^{\max(a_{k},b_{k})}

である。

\displaystyle c_{i}=\begin{cases}a_{i}&a_{i}=\max\{a_{i},b_{i}\}\text{のとき}\\ 0&その他\end{cases}

とし

d_{i}=c_{i}-x_{i}

と定義する。そして

e_{i}=\begin{cases}b_{i}&b_{i}>a_{i}\text{のとき}\\ 0&その他\end{cases}

で

f_{i}=b_{i}-z_{i}

とする。そして

	$\displaystyle x=p_{1}^{c_{1}}\cdots p_{1}^{c_{2}}\cdots p_{k}^{c_{k}}$
	$\displaystyle s=p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{2}^{d_{2}}\cdots p_{k}^{d_{k}}$
	$\displaystyle y=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$
	$\displaystyle t=p_{1}^{f_{1}}\cdots p_{2}^{f_{2}}\cdots p_{k}^{f_{k}}$

と定義すると、明らかに $n=sx$ 、 $m=ty$ 、 $\gcd(x,y)=1$ を満たし、また、定義から

xy=(p_{1}^{c_{1}}\cdots p_{1}^{c_{2}}\cdots p_{k}^{c_{k}})(p_{1}^{e_{1}}\cdots p% _{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}})=p_{1}^{\max(a_{1},b_{1})}p_{2}^{\max(a_{2},b% _{2})}\cdots p_{k}^{\max(a_{k},b_{k})}=\operatorname{lcm}(n,m)

を充す。 ∎

定理 4.

群 $G$ の元 $a, b$ は $ab=ba$ を充し、 $\text{{\rm ord}}(a)=n,\ \text{{\rm ord}}(b)=m$ とし、 $l=\operatorname{lcm}(n,m)$ とする。この時 $c\in G$ が存在して

\text{{\rm ord}}(c)=l

となる。

証明.

まず $\gcd(n,m)=1$ の時、 $c=ab$ とおき、 $r=\text{{\rm ord}}(c)$ とおくと $l=nm$ よりと $a$ と $b$ の可換性より

c^{l}=a^{l}b^{l}=ee=e

なので $r\preceq l$ でありまた

e=c^{nr}=a^{nr}b^{nr}=eb^{nr}=b^{nr}

より $m\preceq nr$ ところで $n, m$ は互いに素なので $m\preceq r$ となる。同様に $n\preceq r$ もわかるので結局 $l\preceq r$ （最小公倍数の性質である。）よって $\text{{\rm ord}}(c)=l$
一般の場合は $n=sx,\ m=ty,\ g.c.d.(x,y)=1\ xy=l$ と表せるので $a^{s}$ と $b^{t}$ を上の場合に当てはめれば結論が得られる。 ∎

注意.

また非可換な二元については定理4は成り立たないことに注意せよ。例えば三次の対称群などを考えよ。

定理4をアーベル群に適用すると次のことがわかる。

系 5.

有限可換群 $G$ の元の $\leq$ に関する最大値を $N$ とすると、これは $G$ の元が取りうる位数の中で $\preceq$ に関しても最大値となっている。つまり有限可換群 $G$ のある元 $x$ が存在して

\forall a\in G\ \text{{\rm ord}}(a)\preceq\text{{\rm ord}}(x)

となるということである。

証明.

上の定理を $G$ の元に次々に適用すればわかる。

∎

定理 6.

体 $K$ の乗法群 $K^{\times}$ の有限部分群は巡回群

証明.

$G$ を $K^{\times}$ の有限部分群とする。 $G$ の最大位数を持つ元を $a$ とし、 $\text{{\rm ord}}(a)=N$ と置く。 $G$ の任意の元 $s$ について $\text{{\rm ord}}(s)\preceq N$ なので

s^{N}=1

となる。つまり $G$ の任意の元は $K$ 上の多項式 $x^{N}-1$ の根である。 $x^{N}-1$ の根の個数は高々 $N$ 個なので

|G|\leq N

である。ところで $N\leq|G|$ でもあるから $N=|G|$ よって $a$ は $G$ を生成する。つまり $G$ は巡回群。 ∎