始位相

この文書では始位相とその性質について紹介する。強く紹介したいのは定理6である。この定理は筆者が位相空間論を初めて楽しく感じた定理である。始位相とはInitial topologyを訳したものだが逆位相とも呼ばれる。

定義 1 (始位相).

$X$を集合${\{(Y_{\lambda },{𝔒}_{\lambda })\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を位相空間の族とし、各$\lambda$ 毎に写像

$$f_{\lambda }:X\to Y_{\lambda }$$

が与えられているとするこの時$X$に写像族$F={\{f_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$をすべて連続にするような最弱の位相が存在する。それを$F={\{f_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$から誘導された始位相と呼ぶ。此処では記号$\Im (F)$で表すことにする。この位相は準開基$𝔐=\{f_{\lambda }^{-1}(U)|U\in {𝔒}_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$により生成されている

$\Im$は$I$のフラクトゥールである。

例 2 (直積位相).

位相空間の族${\{(X_{\lambda },{𝔒}_{\lambda })\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$の直積空間${\displaystyle \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}}{X}_{\lambda }$の位相はその射影の族${\{{\pi }_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$から定まる始位相である。

例 3 (相対位相).

相対位相は包含写像から定まる始位相である。

例 4 (シェルピンスキー空間と位相空間).

シェルピンスキー空間とは集合$2=\{0,1\}$に

$$\{Ø,\{1\},\{0,1\}\}$$

を開集合族として位相を定義した空間である。$(X,𝔒)$を任意の位相空間とするとこの位相は$𝔒$によって添字付けられた開集合の特性関数の関数の族

$${\chi }_U:X\to \{0,1\}$$

によって定まる始位相である。より強く$(X,𝔒)$の開基の一つを$𝔅$とするとこの空間の位相はシェルピンスキー空間への連続写像の族${\{{\chi }_B\}}_{B\in 𝔅}$から定まる始位相である。証明は容易であろう。この事実は後で使う。

定理 5 (始位相の普遍性).

位相空間$Y$には${\{f_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$から定まる始位相が入っているとしこの関数族の終域を${\{Z_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$とするこの時位相空間$X$からの$Y$への写像$\varphi$について

$$\varphi :X\to Y\mathrm{が}\mathrm{連}\mathrm{続}\iff \forall \lambda \in \mathrm{\Lambda }{f}_{\lambda }\circ \varphi :X\to Z_{\lambda }\mathrm{が}\mathrm{連}\mathrm{続}$$

が成立する。

証明.

$[\Rightarrow ]$の部分は明らかである。$[\Leftarrow ]$を証明しよう。$X$の位相は準開基$𝔐=\{f_{\lambda }^{-1}(U)|U\in {𝔒}_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$により生成されていることを思い出そう。すると任意の$\lambda$と任意の$U\in {𝔒}_{\lambda }$に対して

$${\varphi }^{-1}(f_{\lambda }^{-1}(U))={(f_{\lambda }\circ \varphi )}^{-1}(U)$$

が開集合であることを示せば良いが、それは

$$\forall \lambda \in \mathrm{\Lambda }{f}_{\lambda }\circ \varphi :X\to Z_{\lambda }\mathrm{が}\mathrm{連}\mathrm{続}$$

であることから直ちに分かる。 ∎

定理 6 (始位相の埋め込み定理).

位相空間$(X,𝔒)$には${\{f_{\lambda }\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$から定まる始位相が入っているとしこの関数族の終域を${\{(Y_{\lambda },{𝔒}_{\lambda })\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$とするこのとき関数

$$\varphi =\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }:X\to \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$$

について$\Im (F)=\Im (\varphi )$が成立する。 また$\varphi$が単射ならばこれは埋め込みになっているつまり$(X,𝔒)$は${\prod }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$の部分空間$\varphi (X)$と同相となる。

証明.

[前半]始位相の普遍性（直積位相ｎ普遍性を用いる）から$\varphi$は$(X,\Im (F))$上$\varphi$は連続なので最小性から

$$\Im (\varphi )\subset \Im (F)$$

そして${\pi }_{\lambda }\circ \varphi =F_{\lambda }$なので$f_{\lambda }$はに$(X,\Im (\varphi ))$上で連続なので始位相の最小性から

$$\Im (F)\subset \Im (\varphi )$$

よって$\Im (F)=\Im (\varphi )$が成り立つ。
[後半]後半は$X$の位相が準開基 $𝔐=\{f_{\lambda }^{-1}(U)|U\in {𝔒}_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ により生成されていることと今は$\varphi$が単射であるから$\varphi$の直像は交わりを保つ。よって$\varphi (f_{\lambda }^{-1}(U))$が$\varphi (X)$の開集合であることを示せばいい。此処で$f_{\lambda }={\pi }_{\lambda }\circ \varphi$を用いると

$$f_{\lambda }^{-1}(U)={\varphi }^{-1}({\pi }^{-1}(U))$$

と書くことができ、$\varphi$の単射性を用いて

$$\varphi (f_{\lambda }^{-1}(U))=\varphi ({\varphi }^{-1}({\pi }^{-1}(U)))={\pi }^{-1}(U)\cap \varphi (X)$$

を得て、直積位相と相対位相の定義から${\pi }^{-1}(U)\cap \varphi (X)$は$\varphi (X)$の開集合である。これで証明が終わる。 ∎

例 7 ($T_0$空間).

$T_0$空間はシェルピンスキー空間の直積に埋め込み可能である。これは開基$𝔅\mathrm{に}\mathrm{対}\mathrm{し}\mathrm{て}$

$$\prod _{U\in 𝔅}{\chi }_U\mathrm{が}\mathrm{単}\mathrm{射}\iff (X,𝔒)\mathrm{が}{T}_0$$

が成立するからである。

[${\displaystyle \prod _{U\in 𝔅}}{\chi }_U\mathrm{が}\mathrm{単}\mathrm{射}\iff (X,𝔒)\mathrm{が}{T}_0$]の証明.
まず$T_0$とは
$(T_0)$  異なる２点$x,y$について$x$の近傍で$y$を含まないようなものが存在するか、もしくは$y$の近傍で$x$を含まないようなものが存在する
であることを思い出そう。この定義の「近傍」を開基$𝔅$の元としても良い。（開基なので）
今、$n\ne y$と仮定すると$T_0$から($x$と$y$を適宜入れ替えて)$B\in 𝔅$が存在して$x\in B,y\notin B$としても一般性を失わない。このとき

$${\chi }_B(x)=1,{\chi }_B(y)=0$$

なので

$$\prod _{U\in 𝔅}{\chi }_U(x)\ne \prod _{U\in 𝔅}{\chi }_U(y)$$

よって

$$x\ne y\Rightarrow \prod _{U\in 𝔅}{\chi }_U(x)\ne \prod _{U\in 𝔅}{\chi }_U(y)$$

なので${\prod }_{U\in 𝔅}{\chi }_U$は単射。逆はこの証明を下から読めばわかる。 $\mathrm{\square }$

定義 8 (位相空間の重み).

位相空間$X$の開基の最小濃度を位相空間$X$の重みと言い、$w(X)$で表す。つまり

$$w(X)=\min \{\mathrm{card}(𝔅)|𝔅\mathrm{は}X\mathrm{の}\mathrm{開}\mathrm{基}\}$$

である。

この位相空間の重みを用いて、位相空間それ自体の濃度が評価出来る。

系 9.

$T_0$空間に対して

$$\text{card}(X)\le 2^{w(X)}$$

証明.

$X$はシェルピンスキー空間の直積${\prod }_{U\in 𝔅}\{0,1\}$に埋め込まれ、

$$\text{card}(\prod _{U\in 𝔅}\{0,1\})=2^{\text{card}(𝔅)}$$

となるので、$𝔅$を$\text{card}(𝔅)=w(X)$となるものとして選べば

$$\text{card}(X)\le 2^{w(X)}$$

が成り立つ。 ∎

直ちに次のことがわかる。

系 10.

第二可算公理を充たす$T_0$空間にたいして

$$\mathrm{card}(X)\le 𝔠$$